ULP - IPST - Master IT 22 janvier 2008
Commande des Machines Examen final : Correction
Enseignant : E. Laroche Dur´ee : une heure
Documents de cours et calculatrice autoris´es
Remarque g´en´erale : Il est n´ecessaire de bien lire l’´enonc´e et de chercher
`a r´epondre r´eellement aux questions en reprenant les notations de l’´enonc´e.
Dans de nombreuses copies, on trouve des recopies d’exercice qui n’ont qu’un rapport que tr`es lointain avec l’´enonc´e.
1 Diagramme de Bode
1. Il faut trac´e le Gain en d´ecibels avec GdB = 20 log(G) en utilisant le logarithme base 10, avec G =Y /U. Le diagramme de Bode est donn´e sur la figure 1. Remarque : sur un trac´e de courbe `a partir de donn´ees exp´erimentales, il est bon de faire apparaitre explicitement les points de mesure avec des croix.
2. En supposant le le gain statique du syst`eme est ´egal au gain mesur´e `a 0,1 rad/s, soit 9,96 dB, le gain chute de 3 dB (par rapport `a 9,96 dB)
`a une pulsation proche de 1 rad/s, soit une fr´equence de coupure de 0,16 Hz. Dans de nombreuses copies, la bande passante a ´et´e mesur´ee pour un gain de -3 dB, ce qui est incorrect.
3. Le gain statique (pour ω tendant vers z´ero) est de 3,15, soit 9,96 dB.
4. Puisque la phase descend en dessous de -180˚, le syst`eme est un moins d’ordre 3.
2 R´ eglage d’un correcteur proportionnel
Dans ce probl`eme, le correcteur est r´egl´e directement grˆace au diagramme de Bode exp´erimental, sans recourir `a un mod`ele math´ematique.
1. Le sch´ema-bloc contient :
– un soustracteur avec en entr´ee r et y et en sortie e=r−y 1
10−1 100 101 102 103
−120
−100
−80
−60
−40
−20 0 20
Magnitude (dB)
10−1 100 101 102 103
−250
−200
−150
−100
−50 0
Phase (deg)
Frequency (rad/s)
Fig. 1 – Diagramme de Bode du syst`eme
– le r´egulateur d’entr´ee e et de sortie u
– le syst`eme `a asservir d’entr´ee u et de sortie y
2. Le diagramme de Bode du syst`eme en boucle ouverte avec un correcteur proportionnel (gain positif) s’obtient `a partir du diagramme de Bode du syst`eme seul en d´ecalant simplement la courbe de gain (vers le haut pour un gain sup´erieur `a 1). Comme la courbe de phase n’est pas modifi´ee, on peut lire directement la pulsation correspondant `a la marge de phase, c’est-`a-dire `a une phase de -135˚. Il s’agit de ω1 = 10 rad/s.
Pour cette pulsation, le gain est de -13 dB (0,222). Il faut donc utiliser un correcteur de gain +13 dB (Kp = 4,5) pour amener le gain en boucle ouverte `a 0 dB `a ω1.
3. La marge de gain se lit `a la pulsation pour laquelle la phase est ´egale `a -180˚, c’est-`a-dire pour environ 60 rad/s. A cette pulsation, le gain du syst`eme est d’environ -42 dB. Avec le gain du correcteur de +13 dB, cela fait un gain en boucle ouverte de -29 dB, soit une marge de gain de 29 dB. Remarque : la marge de gain d’un syst`eme stable n’est pas n´ecessairement infinie, contraitement `a ce qui se trouve ´ecrit dans cer- taines copies.
4. En basse fr´equence, le gain du syst`eme en boucle ouverte est de 3,15×4,5, 2
10−2 10−1 100 101 102
−100
−50 0 50
Gain × L (dB)
10−2 10−1 100 101 102
−180
−160
−140
−120
−100
−80
Phase (deg)
τ × pulsation
Fig. 2 – Diagramme de Bode deH(s)
soitG0 = 14,2. Le gain statique en boucle ferm´e est 1+GG0
0, soit 0,93 (7 % d’erreur).
5. La bande passante est obtenue de mani`ere approch´ee `a partir de la pulsation de coupure `a 0 dB du gain en boucle ouverte, c’est-`a-dire ω1 = 10 rad/s ou une fr´equence de 1,6 Hz.
6. On a tr = 3/ω1, soittr = 300ms.
7. Le syst`eme asservi a ´et´e acc´el´er´e (par 10). Son erreur statique n’est pas nulle. Pour diminuer l’erreur (am´eniorer la pr´ecision), un terme int´egral doit ˆetre ajout´e. Pour acc´el´erer plus encore le syst`eme, il est n´ecessaire d’inclure un effet d´eriv´e (ou avance de phase).
3 Identification d’un mod` ele du second ordre
Il s’agit ici d’identifier un mod`ele approch´e valable sur une plage de fr´equence limit´ee.
1. Voir figure 2. Il faut pr´eciser sur vos courbes les axes et rep´erer les valeurs particuli`eres de la pulsation (1τ) et du gain (Lτ1 `a la pulsation
1 τ).
3
2. ω1 = 10 rad/s.
3. ω1 = 1τ. 4. G1 = 0,222.
5. G1 = Lω1|1+jτ ω1 1| qui se simplifie en G1 = √τ2L. 6. On a τ = ω1
1 = 0,1 s et L= √2Gτ
1 = √2ω1
1G1 = 0,45 s.
4
