Syst` emes ` a deux ´ equations et deux inconnues
D´edou
Septembre 2010
Mon premier syst` eme
Exo 1
R´esoudre le syst`eme
3x−2y = 1
−5x+ 4y =−4.
Conjonction et intersection
R´esoudre le syst`eme
3x−2y = 1
−5x+ 4y =−4, c’est calculer l’intersection de deux droites.
Exo 2
Calculez l’intersection des deux droites d’´equationy = 3x+ 4 et y= 2x−1.
La stabilit´ e par multiplication
Exemple
Le point (1,2) v´erifie l’´equation 2x+ 3y = 8.
Il v´erifie aussi l’´equation 4x+ 6y = 16.
Si un point (x,y) v´erifie une ´equation, il v´erifie aussi ses multiples.
La stabilit´ e par addition
Exemple
Le point (1,2) v´erifie l’´equation 2x+ 3y = 8 et l’´equation 5x+ 6y = 17.
Il v´erifie aussi l’´equation 7x+ 9y = 25.
Si un point (x,y) v´erifie deux ´equations, il v´erifie aussi leur somme.
La stabilit´ e par combinaison lin´ eaire
Si un point (x,y) v´erifie deux ´equations, il v´erifie aussi leur somme.
Si un point (x,y) v´erifie une ´equation, il v´erifie aussi ses multiples.
Si un point (x,y) v´erifie deux ´equations, il v´erifie aussi leurs combinaisons lin´eaires.
Le principe de la r´ esolution par combinaison lin´ eaire
Pour r´esoudre un syst`eme, on va faire des combinaisons lin´eaires d’´equations, et produire ainsi des ´equations plus simples.
La solution par combinaison lin´ eaire
Exemple
Les points qui v´erifient le syst`eme E1: 3x−2y= 1 E2: −5x+ 4y =−4.
v´erifient aussi les ´equations
2E1+E2 : x=−2 5E1+ 3E2 : 2y =−7.
On a trouv´e la condition n´ecessaire :
x =−2
y =−7/2.
On v´erifie (“facilement”) que c’est bien une solution.
R´ esoudre par combinaison lin´ eaire
Exo 3
a) Choisissez un entierm entre 3 et 8.
b) R´esoudre par combinaison lin´eaire le syst`eme
E1 : mx+ (m−1)y = 2
E2 : (m+ 1)x+my = 4.
Nombre de solutions
Un syst`eme de deux ´equations lin´eaires `a deux inconnues peut avoir exactement une solution.
mais il peut aussi en avoir moins (z´ero), ou plus (une infinit´e).
Syst` emes insolubles
Exemple Le syst`eme
y = 3x+ 1
y = 3x+ 2, n’a pas de solution,
les deux droites sont parall`eles ! Exo 4
Donnez un autre syst`eme qui n’a pas de solution.
Infinit´ e de solutions
Exemple Le syst`eme
y = 3x+ 1
3x−y =−1, a une infinit´e de solutions,
les deux droites sont confondues ! Exo 5
Donnez un autre syst`eme de deux ´equations distinctes ayant une infinit´e de solutions.
