Syst `emes d’ ´equations lin ´eaires
Herv ´e Hocquard
Universit ´e de Bordeaux, France
28 ao ˆut 2019
Notations et vocabulaire
D ´efinition
Soit un syst `eme de m ´equations `a n inconnues x
1,x
2, ...,x
n:
a
11x
1+...+a
1nx
n=b
1.. .
a
m1x
1+...amnx
n=b
mo `u les coefficients a
ijet b
ipour i entre 1 et m et j entre 1 et n sont des r ´eels ou des complexes (des scalaires).
R ´esoudre ce syst `eme consiste `a trouver tous les r ´eels (ou tous les complexes) x
1, ...,x
n(s’il en existe), tels que les ´egalit ´es soient v ´erifi ´ees.
On dira que ce syst `eme comporte m lignes, not ´ees L
1, ...,L
m.Une ligne dont tous les ´el ´ements sont nuls sera dite nulle.
Notations et vocabulaire
D ´efinition
Soit un syst `eme de m ´equations `a n inconnues x
1,x
2, ...,x
n:
a
11x
1+...+a
1nx
n=b
1.. .
a
m1x
1+...amnx
n=b
mo `u les coefficients a
ijet b
ipour i entre 1 et m et j entre 1 et n sont des r ´eels ou des complexes (des scalaires).
R ´esoudre ce syst `eme consiste `a trouver tous les r ´eels (ou tous les complexes) x
1, ...,x
n(s’il en existe), tels que les ´egalit ´es soient v ´erifi ´ees.
On dira que ce syst `eme comporte m lignes, not ´ees L
1, ...,L
m.Une ligne dont tous les ´el ´ements sont nuls sera dite nulle.
Notations et vocabulaire
D ´efinition
Soit un syst `eme de m ´equations `a n inconnues x
1,x
2, ...,x
n:
a
11x
1+...+a
1nx
n=b
1.. .
a
m1x
1+...amnx
n=b
mo `u les coefficients a
ijet b
ipour i entre 1 et m et j entre 1 et n sont des r ´eels ou des complexes (des scalaires).
R ´esoudre ce syst `eme consiste `a trouver tous les r ´eels (ou tous les complexes) x
1, ...,x
n(s’il en existe), tels que les ´egalit ´es soient v ´erifi ´ees.
On dira que ce syst `eme comporte m lignes, not ´ees L
1, ...,L
m.Une ligne dont tous les ´el ´ements sont nuls sera dite nulle.
Notations et vocabulaire
D ´efinition
On associe ´egalement `a ce syst `eme des matrices :
une matrice A
=
a
11 · · ·a
1n.. . . .. .. . a
m1 · · ·a
mn
`a m lignes et n colonnes, la matrice du syst `eme.
une matrice B
=
a
11 · · ·a
1nb
1.. . . .. .. . .. . a
m1 · · ·a
mnb
m
`a m lignes et n
+1 colonnes, la matrice compl `ete du syst `eme.
La colonne
b
1.. . b
m
s’appelle le second membre du
syst `eme.
Notations et vocabulaire
D ´efinition
On associe ´egalement `a ce syst `eme des matrices : une matrice A
=
a
11 · · ·a
1n.. . . .. .. . a
m1 · · ·a
mn
`a m lignes et n colonnes, la matrice du syst `eme.
une matrice B
=
a
11 · · ·a
1nb
1.. . . .. .. . .. . a
m1 · · ·a
mnb
m
`a m lignes et n
+1 colonnes, la matrice compl `ete du syst `eme.
La colonne
b
1.. . b
m
s’appelle le second membre du
syst `eme.
Notations et vocabulaire
D ´efinition
On associe ´egalement `a ce syst `eme des matrices : une matrice A
=
a
11 · · ·a
1n.. . . .. .. . a
m1 · · ·a
mn
`a m lignes et n colonnes, la matrice du syst `eme.
une matrice B
=
a
11 · · ·a
1nb
1.. . . .. .. . .. . a
m1 · · ·a
mnb
m
`a m lignes et n
+1 colonnes, la matrice compl `ete du syst `eme.
La colonne
b
1.. . b
m
s’appelle le second membre du
syst `eme.
Notations et vocabulaire
D ´efinition
On associe ´egalement `a ce syst `eme des matrices : une matrice A
=
a
11 · · ·a
1n.. . . .. .. . a
m1 · · ·a
mn
`a m lignes et n colonnes, la matrice du syst `eme.
une matrice B
=
a
11 · · ·a
1nb
1.. . . .. .. . .. . a
m1 · · ·a
mnb
m
`a m lignes et n
+1 colonnes, la matrice compl `ete du syst `eme.
La colonne
b
1.. . b
m
s’appelle le second membre du
syst `eme.
Op ´erations ´el ´ementaires
D ´efinition
On utilise trois types d’op ´erations, dites ´el ´ementaires, pour r ´esoudre ce probl `eme :
Remplacer une ligne du syst `eme par la somme de celle-ci et du multiple d’une autre ligne.
Echanger deux lignes ou deux colonnes du syst `eme. ´ Multiplier une ligne par un scalaire non nul.
Remarque
Il est `a peu pr `es ´evident que par ces op ´erations ´el ´ementaires, on transforme un syst `eme en un syst `eme ´equivalent, c’est `a dire ayant les m ˆemes solutions. Ces op ´erations se font
indiff ´eremment sur les lignes du syst `eme ou sur les lignes de la
matrice compl `ete du syst `eme.
Op ´erations ´el ´ementaires
D ´efinition
On utilise trois types d’op ´erations, dites ´el ´ementaires, pour r ´esoudre ce probl `eme :
Remplacer une ligne du syst `eme par la somme de celle-ci et du multiple d’une autre ligne.
Echanger deux lignes ou deux colonnes du syst `eme. ´
Multiplier une ligne par un scalaire non nul. Remarque
Il est `a peu pr `es ´evident que par ces op ´erations ´el ´ementaires, on transforme un syst `eme en un syst `eme ´equivalent, c’est `a dire ayant les m ˆemes solutions. Ces op ´erations se font
indiff ´eremment sur les lignes du syst `eme ou sur les lignes de la
matrice compl `ete du syst `eme.
Op ´erations ´el ´ementaires
D ´efinition
On utilise trois types d’op ´erations, dites ´el ´ementaires, pour r ´esoudre ce probl `eme :
Remplacer une ligne du syst `eme par la somme de celle-ci et du multiple d’une autre ligne.
Echanger deux lignes ou deux colonnes du syst `eme. ´ Multiplier une ligne par un scalaire non nul.
Remarque
Il est `a peu pr `es ´evident que par ces op ´erations ´el ´ementaires, on transforme un syst `eme en un syst `eme ´equivalent, c’est `a dire ayant les m ˆemes solutions. Ces op ´erations se font
indiff ´eremment sur les lignes du syst `eme ou sur les lignes de la
matrice compl `ete du syst `eme.
Op ´erations ´el ´ementaires
D ´efinition
On utilise trois types d’op ´erations, dites ´el ´ementaires, pour r ´esoudre ce probl `eme :
Remplacer une ligne du syst `eme par la somme de celle-ci et du multiple d’une autre ligne.
Echanger deux lignes ou deux colonnes du syst `eme. ´ Multiplier une ligne par un scalaire non nul.
Remarque
Il est `a peu pr `es ´evident que par ces op ´erations ´el ´ementaires, on transforme un syst `eme en un syst `eme ´equivalent, c’est `a dire ayant les m ˆemes solutions. Ces op ´erations se font
indiff ´eremment sur les lignes du syst `eme ou sur les lignes de la
matrice compl `ete du syst `eme.
Matrices `a lignes ´echelonn ´ees
Th ´eor `eme
Par une suite d’op ´erations ´el ´ementaires, on peut transformer toute matrice en une matrice poss ´edant la propri ´et ´e suivante : le nombre de coefficients nuls au d ´ebut de chaque ligne augmente `a chaque ligne, l’augmentation ´etant stricte pour les lignes qui suivent une ligne non nulle.
D ´efinition
Une matrice poss ´edant la propri ´et ´e ci-dessus sera dite `a lignes
´echelonn ´ees. Le premier ´el ´ement non nul d’une ligne non nulle
de cette matrice est appel ´e pivot.
Matrices `a lignes ´echelonn ´ees
Th ´eor `eme
Par une suite d’op ´erations ´el ´ementaires, on peut transformer toute matrice en une matrice poss ´edant la propri ´et ´e suivante : le nombre de coefficients nuls au d ´ebut de chaque ligne augmente `a chaque ligne, l’augmentation ´etant stricte pour les lignes qui suivent une ligne non nulle.
D ´efinition
Une matrice poss ´edant la propri ´et ´e ci-dessus sera dite `a lignes
´echelonn ´ees. Le premier ´el ´ement non nul d’une ligne non nulle
de cette matrice est appel ´e pivot.
Matrices `a lignes ´echelonn ´ees
Exemples
la matrice A
=
0 1 3 5 2 8 0 0 2 6 8 9 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
est `a lignes
´echelonn ´ees.
la matrice B
=
0 1 1 3 0 0 2 3 0 0 3 5 0 0 0 2
n’est pas `a lignes
´echelonn ´ees.
Matrices `a lignes ´echelonn ´ees
Exemples
la matrice A
=
0 1 3 5 2 8 0 0 2 6 8 9 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
est `a lignes
´echelonn ´ees.
la matrice B
=
0 1 1 3 0 0 2 3 0 0 3 5 0 0 0 2
n’est pas `a lignes
´echelonn ´ees.
R ´eduite de Gauss-Jordan vs M ´ethode du pivot de Gauss
Th ´eor `eme
On peut, par une suite d’op ´erations ´el ´ementaires, transformer une matrice A en une matrice `a lignes ´echelonn ´ees dont les pivots valent 1 et dans laquelle tous les coefficients situ ´es au-dessus de chaque pivot sont nuls. Une telle matrice sera appel ´ee une r ´eduite de Gauss-Jordan. On peut montrer qu’une telle r ´eduite est unique.
M ´ethode du pivot de Gauss
Le principe g ´en ´eral du pivot de Gauss est de transformer le
syst `eme que l’on veut r ´esoudre en un syst `eme triangulaire qui
a les M ˆ EMES SOLUTIONS.
R ´eduite de Gauss-Jordan vs M ´ethode du pivot de Gauss
Th ´eor `eme
On peut, par une suite d’op ´erations ´el ´ementaires, transformer une matrice A en une matrice `a lignes ´echelonn ´ees dont les pivots valent 1 et dans laquelle tous les coefficients situ ´es au-dessus de chaque pivot sont nuls. Une telle matrice sera appel ´ee une r ´eduite de Gauss-Jordan. On peut montrer qu’une telle r ´eduite est unique.
M ´ethode du pivot de Gauss
Le principe g ´en ´eral du pivot de Gauss est de transformer le
syst `eme que l’on veut r ´esoudre en un syst `eme triangulaire qui
a les M ˆ EMES SOLUTIONS.
Application aux syt `emes
Soit le syst `eme
a
11x
1+...+a
1nx
n=b
1.. .
a
m1x
1+...amnx
n=b
m.
Par une suite d’op ´erations ´el ´ementaires sur la matrice compl `ete du syst `eme (ou, ce qui revient au m ˆeme, sur les lignes du syst `eme), on transforme le syst `eme en un syst `eme ´equivalent dont la matrice compl `ete est `a lignes ´echelonn ´ees. Les lignes nulles de ce syst `eme correspondent `a des ´equations :
0x
1+...+0x
n=0
On peut donc les ignorer. Soit r le nombre de lignes non nulles
et p
1, ...,p
rles pivots.
Application aux syt `emes
Si le dernier pivot p
rest dans la derni `ere colonne (la
(n+1)
`eme), alors la derni `ere ligne non nulle du syst `eme est :
0x
1+...+0x
n=p
rLe syt `eme n’admet pas de solution.
Si le dernier pivot n’est pas dans la derni `ere colonne, appelons j
1, ...,j
rles indices des colonnes des pivots, de sorte que :
1
≤j
1<j
2< ... <j
r ≤n
et que la matrice compl `ete soit de la forme :
Application aux syt `emes
0 · · · 0 p1 ∗ · · · ∗ 0 ∗ · · · ∗ 0 0 ∗
0 · · · · · · 0 0 · · · 0 p2 ∗ · · · ∗ 0
..
. ∗
0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · 0 0 · · · 0 p3
.. .
.. . 0
.. .
0 · · · 0 0 · · · · · · · · · 0 · · · · · · · · · 0 0 · · · 0 pr ∗ · · · ∗
En faisant passer dans le membre de droite les variables
d’indices diff ´erents de j
1, ...,j
r, et en divisant par p
1, ...,p
r,on
peut exprimer les variables d’indices j
1, ...jren fonction des
autres. Le syst `eme admet des solutions. En particulier, si r
=n,
il n’admet qu’une solution, et si r
<n, il en admet une infinit ´e.
Exercices
Exercice 1
R ´esoudre les syst `emes `a inconnues r ´eelles :
2x
+6y
−z
=−3x
−y
+z
=2
−x−
3y
+3z
=9
x
+2y
+3z
−2t
=1 x
+y
−z
−t
=0 x
+3y
+7z
−3t
=2
x
+3y
−z
=0
2x
+5y
+3z
=5 Exercice 2
R ´esoudre dans
Rles syst `emes suivants o `u m est un param `etre r ´eel :
3x
+4y
−7z
=−29x
+y
+z
=4 mx
+y
+z
=m
+3
x
−y
−2z
=6 3x
+my
+z
=m
2x
+y
−z
=6
Correction Exercice 1
(S1)
2x+6y−z=−3 x−y+z=2
−x−3y+3z=9
(S1)⇐⇒
x−y+z=2 2x+6y−z=−3
−x−3y+3z=9
L1↔L2
(S1)⇐⇒
1 −1 1 2
2 6 −1 −3
−1 −3 3 9
(S1)⇐⇒
1 −1 1 2
0 8 −3 −7
0 −4 4 11
L2←L2−2L1
L3←L3+L1
(S1)⇐⇒
1 −1 1 2
0 8 −3 −7
0 0 5 15
L3←2L3+L2
(S1)⇐⇒
x−y+z=2 8y−3z=−7
5z=15
(S1)⇐⇒
z=3 y=14 x=−34
d’o `u S= n
(−34; 14;3)o .
Correction Exercice 1
(S1)
2x+6y−z=−3 x−y+z=2
−x−3y+3z=9
(S1)⇐⇒
x−y+z=2 2x+6y−z=−3
−x−3y+3z=9
L1↔L2
(S1)⇐⇒
1 −1 1 2
2 6 −1 −3
−1 −3 3 9
(S1)⇐⇒
1 −1 1 2
0 8 −3 −7
0 −4 4 11
L2←L2−2L1
L3←L3+L1
(S1)⇐⇒
1 −1 1 2
0 8 −3 −7
0 0 5 15
L3←2L3+L2
(S1)⇐⇒
x−y+z=2 8y−3z=−7
5z=15
(S1)⇐⇒
z=3 y=14 x=−34
d’o `u S= n
(−34; 14;3)o .
Correction Exercice 1
(S1)
2x+6y−z=−3 x−y+z=2
−x−3y+3z=9
(S1)⇐⇒
x−y+z=2 2x+6y−z=−3
−x−3y+3z=9
L1↔L2
(S1)⇐⇒
1 −1 1 2
2 6 −1 −3
−1 −3 3 9
(S1)⇐⇒
1 −1 1 2
0 8 −3 −7
0 −4 4 11
L2←L2−2L1
L3←L3+L1
(S1)⇐⇒
1 −1 1 2
0 8 −3 −7
0 0 5 15
L3←2L3+L2
(S1)⇐⇒
x−y+z=2 8y−3z=−7
5z=15
(S1)⇐⇒
z=3 y=14 x=−34
d’o `u S= n
(−34; 14;3)o .
Correction Exercice 1
(S1)
2x+6y−z=−3 x−y+z=2
−x−3y+3z=9
(S1)⇐⇒
x−y+z=2 2x+6y−z=−3
−x−3y+3z=9
L1↔L2
(S1)⇐⇒
1 −1 1 2
2 6 −1 −3
−1 −3 3 9
(S1)⇐⇒
1 −1 1 2
0 8 −3 −7
0 −4 4 11
L2←L2−2L1
L3←L3+L1
(S1)⇐⇒
1 −1 1 2
0 8 −3 −7
0 0 5 15
L3←2L3+L2
(S1)⇐⇒
x−y+z=2 8y−3z=−7
5z=15
(S1)⇐⇒
z=3 y=14 x=−34
d’o `u S= n
(−34; 14;3)o .
Correction Exercice 1
(S1)
2x+6y−z=−3 x−y+z=2
−x−3y+3z=9
(S1)⇐⇒
x−y+z=2 2x+6y−z=−3
−x−3y+3z=9
L1↔L2
(S1)⇐⇒
1 −1 1 2
2 6 −1 −3
−1 −3 3 9
(S1)⇐⇒
1 −1 1 2
0 8 −3 −7
0 −4 4 11
L2←L2−2L1
L3←L3+L1
(S1)⇐⇒
1 −1 1 2
0 8 −3 −7
0 0 5 15
L3←2L3+L2
(S1)⇐⇒
x−y+z=2 8y−3z=−7
5z=15
(S1)⇐⇒
z=3 y=14 x=−34
d’o `u S= n
(−34; 14;3)o .
Correction Exercice 1
(S1)
2x+6y−z=−3 x−y+z=2
−x−3y+3z=9
(S1)⇐⇒
x−y+z=2 2x+6y−z=−3
−x−3y+3z=9
L1↔L2
(S1)⇐⇒
1 −1 1 2
2 6 −1 −3
−1 −3 3 9
(S1)⇐⇒
1 −1 1 2
0 8 −3 −7
0 −4 4 11
L2←L2−2L1
L3←L3+L1
(S1)⇐⇒
1 −1 1 2
0 8 −3 −7
0 0 5 15
L3←2L3+L2
(S1)⇐⇒
x−y+z=2 8y−3z=−7
5z=15
(S1)⇐⇒
z=3 y=14 x=−34
d’o `u S= n
(−34; 14;3)o .
Correction Exercice 1
(S1)
2x+6y−z=−3 x−y+z=2
−x−3y+3z=9
(S1)⇐⇒
x−y+z=2 2x+6y−z=−3
−x−3y+3z=9
L1↔L2
(S1)⇐⇒
1 −1 1 2
2 6 −1 −3
−1 −3 3 9
(S1)⇐⇒
1 −1 1 2
0 8 −3 −7
0 −4 4 11
L2←L2−2L1
L3←L3+L1
(S1)⇐⇒
1 −1 1 2
0 8 −3 −7
0 0 5 15
L3←2L3+L2
(S1)⇐⇒
x−y+z=2 8y−3z=−7
5z=15
(S1)⇐⇒
z=3 y=14 x=−34
d’o `u S= n
(−34; 14;3)o .
Correction Exercice 1
(S1)
2x+6y−z=−3 x−y+z=2
−x−3y+3z=9
(S1)⇐⇒
x−y+z=2 2x+6y−z=−3
−x−3y+3z=9
L1↔L2
(S1)⇐⇒
1 −1 1 2
2 6 −1 −3
−1 −3 3 9
(S1)⇐⇒
1 −1 1 2
0 8 −3 −7
0 −4 4 11
L2←L2−2L1
L3←L3+L1
(S1)⇐⇒
1 −1 1 2
0 8 −3 −7
0 0 5 15
L3←2L3+L2
(S1)⇐⇒
x−y+z=2 8y−3z=−7
5z=15
(S1)⇐⇒
z=3 y=14 x=−34
d’o `u S= n
(−34; 14;3) o
.
Correction Exercice 1
(S2)
x+2y+3z−2t=1 x+y−z−t=0 x+3y+7z−3t=2
on peut remarquer queL3=2L1−L2, d’o `u :
(S2)⇐⇒
x+2y+3z−2t=1
x+y−z−t=0 (S2)⇐⇒
1 2 3 −2 1
1 1 −1 −1 0
(S2)⇐⇒
1 2 3 −2 1
0 −1 −4 1 −1
L2←L2−L1 (S2)⇐⇒
x+2y+3z−2t=1
−y−4z+t=−1
(S2)⇐⇒
y=1−4z+t
x=−1+5z d’o `u S=
(−1+5z;1−4z+t;z;t) ; (z;t)∈R2 .
Correction Exercice 1
(S2)
x+2y+3z−2t=1 x+y−z−t=0 x+3y+7z−3t=2
on peut remarquer queL3=2L1−L2, d’o `u :
(S2)⇐⇒
x+2y+3z−2t=1
x+y−z−t=0 (S2)⇐⇒
1 2 3 −2 1
1 1 −1 −1 0
(S2)⇐⇒
1 2 3 −2 1
0 −1 −4 1 −1
L2←L2−L1 (S2)⇐⇒
x+2y+3z−2t=1
−y−4z+t=−1
(S2)⇐⇒
y=1−4z+t
x=−1+5z d’o `u S=
(−1+5z;1−4z+t;z;t) ; (z;t)∈R2 .
Correction Exercice 1
(S2)
x+2y+3z−2t=1 x+y−z−t=0 x+3y+7z−3t=2
on peut remarquer queL3=2L1−L2, d’o `u :
(S2)⇐⇒
x+2y+3z−2t=1 x+y−z−t=0
(S2)⇐⇒
1 2 3 −2 1
1 1 −1 −1 0
(S2)⇐⇒
1 2 3 −2 1
0 −1 −4 1 −1
L2←L2−L1 (S2)⇐⇒
x+2y+3z−2t=1
−y−4z+t=−1
(S2)⇐⇒
y=1−4z+t
x=−1+5z d’o `u S=
(−1+5z;1−4z+t;z;t) ; (z;t)∈R2 .
Correction Exercice 1
(S2)
x+2y+3z−2t=1 x+y−z−t=0 x+3y+7z−3t=2
on peut remarquer queL3=2L1−L2, d’o `u :
(S2)⇐⇒
x+2y+3z−2t=1
x+y−z−t=0 (S2)⇐⇒
1 2 3 −2 1
1 1 −1 −1 0
(S2)⇐⇒
1 2 3 −2 1
0 −1 −4 1 −1
L2←L2−L1 (S2)⇐⇒
x+2y+3z−2t=1
−y−4z+t=−1
(S2)⇐⇒
y=1−4z+t
x=−1+5z d’o `u S=
(−1+5z;1−4z+t;z;t) ; (z;t)∈R2 .
Correction Exercice 1
(S2)
x+2y+3z−2t=1 x+y−z−t=0 x+3y+7z−3t=2
on peut remarquer queL3=2L1−L2, d’o `u :
(S2)⇐⇒
x+2y+3z−2t=1
x+y−z−t=0 (S2)⇐⇒
1 2 3 −2 1
1 1 −1 −1 0
(S2)⇐⇒
1 2 3 −2 1
0 −1 −4 1 −1
L2←L2−L1
(S2)⇐⇒
x+2y+3z−2t=1
−y−4z+t=−1
(S2)⇐⇒
y=1−4z+t
x=−1+5z d’o `u S=
(−1+5z;1−4z+t;z;t) ; (z;t)∈R2 .
Correction Exercice 1
(S2)
x+2y+3z−2t=1 x+y−z−t=0 x+3y+7z−3t=2
on peut remarquer queL3=2L1−L2, d’o `u :
(S2)⇐⇒
x+2y+3z−2t=1
x+y−z−t=0 (S2)⇐⇒
1 2 3 −2 1
1 1 −1 −1 0
(S2)⇐⇒
1 2 3 −2 1
0 −1 −4 1 −1
L2←L2−L1 (S2)⇐⇒
x+2y+3z−2t=1
−y−4z+t=−1
(S2)⇐⇒
y=1−4z+t
x=−1+5z d’o `u S=
(−1+5z;1−4z+t;z;t) ; (z;t)∈R2 .
Correction Exercice 1
(S2)
x+2y+3z−2t=1 x+y−z−t=0 x+3y+7z−3t=2
on peut remarquer queL3=2L1−L2, d’o `u :
(S2)⇐⇒
x+2y+3z−2t=1
x+y−z−t=0 (S2)⇐⇒
1 2 3 −2 1
1 1 −1 −1 0
(S2)⇐⇒
1 2 3 −2 1
0 −1 −4 1 −1
L2←L2−L1 (S2)⇐⇒
x+2y+3z−2t=1
−y−4z+t=−1
(S2)⇐⇒
y=1−4z+t x=−1+5z
d’o `u S=
(−1+5z;1−4z+t;z;t) ; (z;t)∈R2 .
