Injectivit´e,surjectivit´e Propri´et´esdesop´erations´el´ementaires Op´erations´el´ementairesdans P ( E ) ProgrammedecollesS1:questionsdecours

ECS 1Dupuy de Lˆome Semaine du 2 septembre 2003

Programme de colles S1 : questions de cours

NB : Les d´emonstrations des th´eor`emes ou propositions ´etoil´ees doivent ˆetre sues Ensembles

Op´ erations ´ el´ ementaires dans P ( E )

D´efinition : SoientE un ensemble, A, B∈P(E), on d´efinit 1. A∪B ={x∈E|x∈A ou x∈B}, la r´eunionde A et B.

2. A∩B ={x∈E|x∈A et x∈B}, l’intersection de A et B.

3. {_EA={x∈E|x /∈A}, lecompl´ementaire de A dans E.

4. A\B={x∈E|x∈A et x /∈B}, la diff´erencede A et B.

Propri´ et´ es des op´ erations ´ el´ ementaires

Proposition.— Distributivit´e

SoientA, B, C des parties d’un ensembleE.

1. L’intersection est distributive sur la r´eunion :A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C).

2. La r´eunion est distributive sur l’intersection :A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C).

Proposition^?.— Caract´erisation du compl´ementaire SoientA etB des parties d’un ensembleE,

B={_EA si et seulement siA∪B =E et A∩B=∅.

Proposition^?.— Propri´et´es du passage au compl´ementaire SoientA, B deux parties d’un ensembleE, alors :

1. {_E(A∪B) = ({_EA)∩({_EB).

2. {_E(A∩B) = ({_EA)∪({_EB).

3. si A⊂B, alors{_EB⊂{_EA.

Applications

Injectivit´ e, surjectivit´ e

D´efinition : Soit f :E→F une application. f est dite :

1. injectivesi pour tout couple (x, x⁰)de E×E, la relationf(x) =f(x⁰)entraˆınex=x⁰. 2. surjectivesi pour tout ´el´ementydeF, il existe au moins un ´el´ementxdeEtel quey=f(x).

Proposition^?.— Soitf :E→F,g:F→Gdeux applications.

1. Sif etg sont injectives, alorsg◦f est injective 2. Sif etg sont surjectives alorsg◦f est surjective.

Proposition^?.— Soient f :E→F,g:F →Gdeux applications.

1. Sig◦f est injective, alorsf est injective, 2. si g◦f est surjective alorsg est surjective.

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Bijectivit´ e

D´efinition : Une applicationf :E→F est ditebijectivesi elle est `a la fois injective et surjective.

Th´eor`eme.— Soitf :E→F une application.

f est bijective ssi pour touty∈F, il existe un unique ´el´ementx∈E tel quey=f(x) ssi il existe une applicationg:F →Gtelle que

f◦g=Id_F etg◦f =Id_E.

D´efinition : Soit f : E → F une bijection, l’application g : F → E donn´ee par le Th´eor`eme ci-dessus s’appelle l’application r´eciproquede f. On la notef⁻¹. elle v´erifie

pour tout (x,y)∈E×F, y=f(x)ssix=f⁻¹(y).

Image directe, image r´ eciproque d’une partie

D´efinition : Soientf :E→F une application, A⊂E, B⊂F, on d´efinit : i. l’image directede A parf comme le sous-ensemble deF :

f(A) ={y∈F |il existex∈A,tel quey=f(x)}

ii. l’image r´eciproquede B parf, comme le sous-ensemble de E : f¯¹(B) ={x∈E|f(x)∈B}.

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