2.1 Matrices d’op´ erations ´ el´ ementaires . . . . 11 2.2 Traduction matricielle de l’algorithme de

1 Ensemble des matrices 2 1.1 D´ efinitions . . . . 2 1.2 Op´ erations sur les matrices . . . . 3 1.3 Matrices carr´ ees . . . . 7 2 Op´ erations ´ el´ ementaires de pivot et calcul ma-

triciel 11

2.1 Matrices d’op´ erations ´ el´ ementaires . . . . 11 2.2 Traduction matricielle de l’algorithme de

Gauss-Jordan . . . . 12 2.3 Op´ erations sur les colonnes . . . . 13 3 Matrices carr´ ees inversibles 14 3.1 D´ efinitions et exemples . . . . 14 3.2 Produit de matrices inversibles . . . . 16 3.3 Caract´ erisation des matrices inversibles . . . 16 3.4 M´ ethodes pratiques de calcul de l’inverse . . . 18

Mathieu Mansuy - Professeur de Math´ ematiques en sup´ erieures PCSI au Lyc´ ee Saint Louis (Paris)

mansuy.mathieu@hotmail.fr

1 Ensemble des matrices

Dans tout le chapitre K d´ esigne l’ensemble des nombres r´ eels R ou des nombres complexes C.

1.1 D´ efinitions D´ efinition.

Soient n et p deux entiers ≥ 1.

ˆ On appelle matrice ` a n lignes et p colonnes ou matrice n × p tout tableau de np ´ el´ ements de K rang´ es sur n lignes et p colonnes. Les ´ el´ ements constituant une matrice n × p sont appel´ ees coefficients de la matrice et les entiers n et p sont les dimensions de la matrice.

ˆ Si A est une matrice n × p, on notera a _i,j ou [A] _i,j le coefficient de la i-i` eme ligne et de la j-i` eme colonne et on ´ ecrira :

A = (a i,j ) 1≤i≤n 1≤j≤p

=











a _1,1 a _1,2 · · · a _1,p a _2,1 a _2,2 · · · a _2,p .. . .. . .. . a n,1 a n,2 · · · a n,p











S’il n’y a pas d’ambigu¨ıt´ e sur le nombre de lignes et le nombre de colonnes, on pourra noter plus simplement A = (a _i,j ).

ˆ L’ensemble des matrices ` a n lignes et p colonnes est not´ e M _n,p ( K ).

Exemple. A =

1 0 −2

3 −1 5

∈ M _2,3 ( K ). La matrice A est de dimension 2×3 et on a par exemple :a _1,2 = 0, a _2,3 = 5.

Exemple. Matrices ´ el´ ementaires.

Dans M _n,p ( K ), on d´ efinit pour tout 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ p la matrice not´ ee E i,j suivante :

E i,j =

















0 . . . 0 . . . 0 .. . .. . .. . 0 . . . 1 . . . 0 .. . .. . .. . 0 . . . 0 . . . 0















 ,

o` u l’unique coefficient non nul ´ egal ` a 1 est en position (i, j). Les n × p matrices E _i,j sont appel´ ees matrices ´ el´ ementaires.

D´ efinition.

ˆ Toute matrice n ×1 est appel´ ee matrice colonne et toute matrice 1 ×p est appel´ ee matrice ligne. On identifie les matrices 1 × 1 avec K .

ˆ La matrice nulle de M _n,p ( K ) est la matrice dont tous les coefficients sont nuls. On la note 0 _n,p , ou 0 _n si n = p.

ˆ La matrice identit´ e d’ordre n est la matrice de M _n,n ( K ) dont tous les coefficients diago-

naux sont ´ egaux ` a 1, les autres ´ etant ´ egaux ` a 0. Cette matrice est not´ ee I _n .

1.2 Op´ erations sur les matrices Addition et produit par un scalaire D´ efinition.

ˆ Si A, B ∈ M _n,p ( K ), on d´ efinit la matrice A + B de M _n,p ( K ) par :

∀ (i, j) ∈ [[1, n]] × [[1, p]], [A + B] _i,j = [A] _i,j + [B ] _i,j .

ˆ Si A ∈ M _n,p (K) et si λ ∈ K est un scalaire, on d´ efinit la matrice λA de M _n,p (K) par :

∀ (i, j) ∈ [[1, n]] × [[1, p]], [λA] _i,j = λ[A] _i,j .

Remarque. L’addition de deux matrices de dimensions diff´ erentes n’est pas d´ efinie.

Exemple.

2







1 0

−2 3

− 1 2 5





 +





3 1

2 −5

−1 0



 =

L’addition dans M _n,p ( K )

(1) est associative : ∀ (A, B, C) ∈ (M _n,p (K)) ² , (A + B) + C = A + (B + C).

La somme de trois matrices A, B, C pourra ainsi ˆ etre not´ ee A + B + C sans parenth` eses.

(2) est commutative : ∀ (A, B) ∈ (M _n,p ( K )) ² , A + B = B + A.

(3) admet pour ´ el´ ement neutre la matrice nulle 0 _n,p : ∀ A ∈ M _n,p ( K ), 0 _n,p + A = A + 0 n,p = A.

(4) est telle que tout ´ el´ ement admet un inverse : ∀ A ∈ M _n,p ( K ), ∃ B ∈ M _n,p ( K ), B + A = A + B = 0. Cet inverse est unique, c’est B = −A.

Propri´ et´ e 1 (de l’addition)

Preuve. Soient A = (a i,j ) 1≤i≤n 1≤j≤p

, B = (b i,j ) 1≤i≤n 1≤j≤p

et C = (c i,j ) 1≤i≤n 1≤j≤p

des matrices de M _n,p (K).

(1) Pour tout (i, j) ∈ [|1, n|] × [|1, p|], on a :

[A + (B + C)] i,j = a i,j + (b i,j + c i,j ) = (a i,j + b i,j ) + c i,j = [(A + B ) + C] i,j . Donc A + (B + C) = (A + B) + C.

(2) Pour tout (i, j) ∈ [|1, n|]×[|1, p|], [A+B] _i,j = a _i,j +b _i,j = b _i,j +a _i,j = [B +A] _i,j . Donc A+B = B+A.

(3) Pour tout (i, j) ∈ [|1, n|] × [|1, p|], [A + 0 _n,p ] _i,j = a _i,j + 0 = a _i,j . Donc A + 0 _n,p = A. Par commutativit´ e de +, 0 _n,p + A = A.

(4) Posons B = −A. Alors pour tout (i, j) ∈ [|1, n|] × [|1, p|], [A + B ] _i,j = a _i,j − a _i,j = 0. Donc A + B = 0 n,p . Par commutativit´ e de +, B + A = 0 n,p . Enfin, si B ⁰ est un autre inverse de A, on a par associativit´ e de + :

B = (B ⁰ + A) + B = B ⁰ + (A + B) = B ⁰ .

(1) ∀ λ ∈ K , ∀ (A, B) ∈ (M _n,p ( k )) ² , λ(A + B) = λA + λB.

(2) ∀ (λ, µ) ∈ K ² , ∀ A ∈ M _n,p ( K ), (λ + µ)A = λA + µA.

(3) ∀ (λ, µ) ∈ K ² , ∀ A ∈ M _n,p ( K ), λ(µA) = (λµ)A.

Propri´ et´ e 2 (du produit par un scalaire)

Preuve. La preuve est analogue ` a la proposition pr´ ec´ edente et laiss´ ee en exercice.

Produit de deux matrices D´ efinition.

Soit A ∈ M _n,p ( K ) et B ∈ M _p,q ( K ), on d´ efinit la matrice C = A × B de M _n,q ( K ) par :

∀ (i, j) ∈ [[1, n]] × [[1, q]], [C] _i,j =

p

X

k=1

[A] _i,k [B] _k,j

Remarque.

ˆ Pour calculer le coefficient [C] _i,j , on proc` edera selon le sch´ ema ci-dessous (o` u l’on a repr´ esent´ e en gras les coefficients de A et B utiles au calcul de c i,j ) :

















a 1,1 · · · a _1,k · · · a 1,p

.. . .. . .. . a _i,1 · · · a _i,k · · · a _i,p

.. . .. . .. . a _n,1 · · · a _n,k · · · a _n,p









































b _1,1 · · · b _1,j · · · b _1,q .. . .. . .. . b k,1 · · · b k,j · · · b k,q

.. . .. . .. . b p,1 · · · b p,j · · · b p,q

























=

















c 1,1 · · · c 1,j · · · c 1,q

.. . .. . .. . c _i,1 · · · c _i,j · · · c _i,q

.. . .. . .. . c _n,1 · · · c _n,j · · · c _n,q

















ˆ Pour pouvoir effectuer le produit de A par B , il faut imp´ erativement que le nombre de colonnes de A soit ´ egale au nombre de lignes de B.

Exemple. On consid` ere les matrices A, B, C suivantes :

A =





3 5

1 −4

0 2



 B =

2 1 −3

4 0 0

C =

1 0 0 1

Calculer, s’ils sont d´ efinis, les produits deux ` a deux de ces matrices.

Remarque. Consid´ erons le syst` eme lin´ eaire ` a n ´ equations et p inconnues suivant :

(S)



 

 

 

 

a 1,1 x 1 + · · · + a 1,p x p = b 1

a _2,1 x ₁ + · · · + a _2,p x _p = b ₂ .. .

a _n,1 x ₁ + · · · + a _n,p x _p = b _n

On avait introduit alors la matrice des coefficients associ´ ee au syst` eme A = (a _i,j ) 1≤i≤n 1≤j≤p

, la matrice

colonne B =





 b ₁

.. . b _p





 des seconds membres, et la matrice colonne X =





 x ₁

.. . x _p





 des inconnues. Avec le produit matriciel introduit ici, le syst` eme (S) pr´ ec´ edent se r´ e´ ecrit ici sous la forme AX = B. Ainsi, le p-uplet (x <sub>1</sub> ; . . . ; x <sub>p</sub> ) ∈ K <sup>p</sup> est solution du syst` eme (S ) si et seulement si X est solution de l’´ equation matricielle AX = B.

Remarques.

ˆ Si X =





 x ₁

.. . x _p





 ∈ M _p,1 (K) est une matrice colonne, et si A ∈ M _n,p (K), alors AX est la matrice colonne :

AX = x 1 C 1 + · · · + x p C p ,

o` u C i sont les colonnes de la matrice A. AX est donc une combinaison lin´ eaire des colonnes de A.

ˆ De mˆ eme, si X = x 1 . . . x n

∈ M _1,n (K), alors XA est la matrice ligne : XA = x ₁ L ₁ + · · · + x _n L _n ,

o` u L _j sont les lignes de la matrice A.

ˆ Soient A ∈ M _n,p ( K ) et B ∈ M _p,q ( K ). La j-i` eme colonne de AB est le produit de A par la j-` eme colonne de B (1 ≤ j ≤ q). La i-` eme ligne de AB est le produit de la i-i` eme ligne de A par B (1 ≤ i ≤ n).

(1) Le produit matriciel est associatif :

∀ (A, B, C) ∈ M _n,p (K) × M _p,q (K) × M _q,r (K), (AB)C = A(BC).

Ainsi, le produit de trois matrices A, B et C pourra ˆ etre not´ e ABC sans parenth` eses.

(2) Le produit matriciel est distributif par rapport ` a l’addition :

∀ (A, B, C) ∈ M _n,p ( K ) × M _p,q ( K ) × M _p,q ( K ), A(B + C) = AB + AC, et

∀ (A, B, C) ∈ M _n,p ( K ) × M _n,p ( K ) × M _p,q ( K ), (A + B)C = AC + BC.

(3) ∀ (A, B, C) ∈ M _n,p (K)×M _p,q (K)×M _p,q (K), ∀λ ∈ K, λ(A×B) = (λA)×B ) = A×(λB).

(4) Pour toute matrice A = (a _i,j ) de M _n,p , on a:

I _n × A = A et A × I _p = A, 0 _n × A = 0 _n,p et A × 0 _p = 0 _n,p Propri´ et´ e 3 (du produit matriciel)

Preuve. Montrons l’associativit´ e du produit matriciel (les autres points se d´ emontrent de la mˆ eme fa¸ con). Soient A = (a i,j ) 1≤i≤n

1≤j≤p

, B = (b i,j ) 1≤i≤p 1≤j≤q

et C = (c i,j ) 1≤i≤q 1≤j≤r

des matrices. Alors A × (B ×

C), (A × B) × C ∈ M _n,r ( K ), et pour tout (i, l) ∈ [|1, n|] × [|1, r|], on a : [A × (B × C)] _i,l =

p

X

j=1

a i,j [B × C] _j,l =

p

X

j=1

a i,j q

X

k=1

b _j,k c _k,l =

p

X

j=1 q

X

k=1

a i,j b _j,k c _k,l

et

[(A × B) × C] i,l =

q

X

k=1

[A × B] i,k c k,l =

q

X

k=1 p

X

j=1

a i,j b j,k c k,l =

p

X

j=1 q

X

k=1

a i,j b j,k c k,l

Donc (AB)C = A(BC).

Remarques.

1. Le produit matriciel n’est pas commutatif, comme le montre l’exemple suivant : 0 1

0 0

× 0 0

1 0

= 1 0

0 0

6=

0 0 0 1

= 0 0

1 0

× 0 1

0 0

2. Contrairement ` a ce qui se passe pour la multiplication dans K , on peut avoir AB = 0 _n,q avec A 6= 0 _n,p et B 6= 0 _p,q . Par exemple,

0 1 0 0

× 0 1

0 0

= 0 0

0 0

Exercice. Produit de matrices ´ el´ ementaires dans M _n,n ( K ).

Montrer les formules suivantes :

E _i,k × E _l,j = δ _k,l E _i,j o` u δ _k,l est le symbole de Kronecker : δ _k,l = 1 si k = l, 0 si k 6= l.

ˆ Les lignes de E _i,k sont nulles, sauf la i ^eme . Donc les lignes de E _i,k ×E _l,j sont nulles, sauf peut-ˆ etre la i ^eme .

ˆ Les colonnes de E _l,j sont nulles, sauf la j ^eme . Donc les colonnes de E _i,k × E _l,j sont nulles, sauf peut-ˆ etre la j ^eme .

ˆ Le seul coefficient de E i,k × E l,j qui peut ˆ etre non nul est donc en position (i, j), et c’est le produit de la i ^eme ligne de E _i,k et de la j ^eme colonne de E _l,j . Il vaut donc 1 si k = l, et 0 sinon.

Transpos´ ee d’une matrice D´ efinition.

Soit A = (a i,j ) 1≤i≤n 1≤j≤p

une matrice de M _n,p ( K ). On appelle transpos´ ee de A la matrice not´ ee ^t A de M _p,n ( K ) et d´ efinie par :

∀ (i, j) ∈ [[1, p]] × [[1, n]], [ ^t A] i,j = a j,i .

Autrement dit, ^t A est obtenue ` a partir de A par ´ echange des lignes et des colonnes :

A =











a 1,1 a 1,2 · · · a 1,p

a _2,1 a _2,p

.. . .. .

a _n,1 a _n,2 · · · a _n,p











; ^t A =











a 1,1 a 2,1 · · · a n,1

a _1,p a _n,2

.. . .. .

a _1,p a _2,p · · · a _n,p











Exemple. Calculer la transpos´ ee de A =





3 5

1 −4

0 2



.

(1) ∀ A ∈ M _n,p ( K ), ^{t t} A

= A.

(2) ∀λ, µ ∈ K ∀ (A, B) ∈ (M _n,p ( K )) ² , ^t (λA + µB) = λ ^t A + µ ^t B.

(3) ∀ A ∈ M _n,p ( K ), ∀ B ∈ M _p,q ( K ) ^t (AB) = ^t B ^t A.

Propri´ et´ e 4 (de la transposition)

Preuve. Les deux premi` eres formules sont imm´ ediates ` a ´ etablir. Montrons la troisi` eme formule.

Soient A = (a i,j ) 1≤i≤n 1≤j≤p

et B = (b i,j ) 1≤i≤p 1≤j≤q

deux matrices. Alors A × B ∈ M _n,q (K) est donn´ ee par :

∀ (i, j) ∈ [[1, n]] × [[1, q]], c _i,j =

p

X

k=1

a _i,k b _k,j

Ainsi ^t (A × B) est une matrice de type (q, n) telle que ∀ (j, i) ∈ [[1, q]] × [[1, n]], [ ^t (A × B)] _i,j = P p

k=1 a j,k b k,i .

D’autre part, ^t B ∈ M _q,p ( K ), ^t A ∈ M _p,n ( K ), donc la matrice ^t B × ^t A est bien d´ efinie et de type (q, n)

´

egalement. De plus on a pour tout (j, i) ∈ [[1, q]] × [[1, n]] : [ ^t B × ^t A] _j,i =

p

X

k=1

[ ^t B] _j,k [ ^t A] _k,i =

p

X

k=1

b _k,j a _i,k .

Ainsi on a bien ^t (AB) = ^t B ^t A.

1.3 Matrices carr´ ees L’ensemble M _n ( K ) D´ efinition.

Lorsque n = p, l’ensemble M _n,n (K) des matrices de type (n × n) est not´ e plus simplement M _n (K) et ses ´ el´ ements sont alors appel´ es matrices carr´ ees d’ordre n.

L’addition matricielle et le produit matriciel sont des lois de compositions internes dans M _n ( K ), c’est ` a dire pour tout A, B ∈ M _n ( K ), A + B ∈ M _n ( K ) et A × B ∈ M _n ( K ).

Propri´ et´ e 5

Remarque. Rappelons que :

ˆ l’addition est associative, commutative, et qu’elle admet un ´ el´ ement neutre qui est la matrice nulle 0 n ;

ˆ le produit est associatif, distributif par rapport ` a l’addition, et qu’il admet pour ´ el´ ement neutre

I n

On dit alors que l’ensemble M _n ( K ) munie de l’addition, du produit par un scalaire et du produit matriciel est une alg` ebre. Cette alg` ebre est non commutative : en g´ en´ eral,A × B 6= B × A pour A, B ∈ M _n ( K ). De plus, il existe des diviseurs de z´ eros dans M _n ( K ) (on dit aussi que l’alg` ebre M <sub>n</sub> ( K ) n’est pas int` egre) : A × B = 0 _n ; A = 0 _n ou B = 0 _n .

Matrices carr´ ees particuli` eres D´ efinition.

Soit A = (a _i,j ) ∈ M _n ( K ) une matrice carr´ ee.

ˆ A est dite diagonale si pour tous i 6= j, a i,j = 0.

ˆ A est dite triangulaire sup´ erieure (resp. triangulaire sup´ erieure stricte) si, pour tous i et j tels que i > j (resp. i ≥ j), a _i,j = 0, c’est-` a-dire si tous les coefficients situ´ es en dessous de la diagonale sont nuls.

ˆ A est dite triangulaire inf´ erieure si, pour tous i et j tels que i < j (resp. i ≤ j), a _i,j = 0, c’est-` a-dire si tous les coefficients situ´ es au dessus de la diagonale sont nuls.

Exemples. Les matrices A et B suivantes sont respectivement triangulaire sup´ erieure et triangulaire inf´ erieure stricte :

A =





1 3 1

0 −1 5

0 0 2



 et B =





0 0 0 3 0 0 1 5 0





Remarque. La transpos´ ee d’une matrice triangulaire sup´ erieure (stricte) est une matrice triangulaire inf´ erieure (stricte). Une matrice diagonale est ´ egale ` a sa transpos´ ee.

Le produit de deux matrices diagonales (resp. triangulaires sup´ erieures (strictes), resp.

triangulaires inf´ erieures (strictes)) est diagonale (resp. triangulaire (stricte)). De plus, les coefficients diagonaux de AB sont les produits des coefficients diagonaux de A et de B.

On a ainsi (cas des matrices triangulaires sup´ erieures) :













a _1,1 · · · 0 a 2,2 (∗) .. .

.. . . .. ...

0 · · · 0 a n,n













×













b _1,1 · · · 0 b 2,2 (∗) .. . .. . . .. ...

0 · · · 0 b n,n













=













a _1,1 b _1,1 · · · 0 a 2,2 b 2,2 (∗) .. .

.. . . .. . ..

0 · · · 0 a n,n b n,n











 Propri´ et´ e 6

Preuve. Montrons cette proposition lorsque A = (a i,j ) et B = (b i,j ) sont triangulaires sup´ erieures, i.e. telles que 1 ≤ j < i ≤ n, a _i,j = b _i,j = 0. Pour tout 1 ≤ j < i ≤ n, on a :

[A × B] i,j =

n

X

k=1

a i,k b k,j =

i−1

X

k=1

a i,k b k,j +

n

X

k=i

a i,k b k,j

=

i−1

X

k=1

0 × b _k,j +

n

X

k=i

a _i,k × 0 = 0

car pour la deuxi` eme somme k ≤ i > j et donc b _k,j = 0. Donc A × B est bien triangulaire sup´ erieure.

De plus, pour tout 1 ≤ i ≤ n, [A × B ] _i,i =

n

X

k=1

a _i,k b _k,i =

i−1

X

k=1

a _i,k b _k,i + a _i,i b _i,i +

n

X

k=i+1

a _i,k b _k,i

=

i−1

X

k=1

0 × b _k,j + a _i,i b _i,i +

n

X

k=i+1

a _i,k × 0 = a _i,i b _i,i .

Si A et B sont triangulaires inf´ erieures, alors ^t B et ^t A sont triangulaires sup´ erieures. Donc ^t B × ^t A est triangulaire sup´ erieure par ce qu’on a fait. On obtient finalement que AB = ^t ( ^t B × ^t A) est triangulaire inf´ erieure.

Enfin, puisqu’une matrice est diagonale si et seulement si elle est triangulaire sup´ erieure et inf´ erieure, le r´ esultat en d´ ecoule directement pour les matrices diagonales.

D´ efinition.

Soit A ∈ M _n (K) une matrice carr´ ee.

ˆ On dit que A est sym´ etrique si elle est ´ egale ` a sa transpos´ ee, c’est-` a-dire ^t A = A.

ˆ On dit que A est antisym´ etrique si elle est ´ egale ` a l’oppos´ ee de sa transpos´ ee, c’est-` a-dire

t A = −A.

On notera S _n ( K ) (resp. AS _n ( K )) l’ensemble des matrices sym´ etriques (resp. antisym´ etriques) de M _n (K).

Exemple. La matrice A =





1 0 4

0 2 −1

4 −1 5



 est sym´ etrique, la matrice B =





0 2 −1

−2 0 1

1 −1 0



 est antisym´ etrique.

Remarque.

ˆ La diagonale d’une matrice antisym´ etrique est toujours nulle.

ˆ Les ensembles S _n ( K ) et AS _n ( K ) sont stables par combinaison lin´ eaire, mais ils ne sont pas stables par produit : par exemple,

1 0 0 2

× 1 1

1 1

= 1 1

2 2

∈ S / _n ( K ).

Exercice. Montrer que toute matrice de M _n (K) s’´ ecrit de mani` ere unique comme une somme d’une matrice sym´ etrique et d’une matrice antisym´ etrique.

Puissance d’une matrice carr´ ee D´ efinition.

Pour tout entier k ∈ N et pour toute matrice A ∈ M _n (K), on appelle puissance k-i` eme de A la matrice, not´ ee A ^k , d´ efinie par:

ˆ Si k = 0, A ⁰ = I n .

ˆ Si k = 1, A ¹ = A.

ˆ Si k ≥ 2, A ^k = A × . . . × A

| {z }

k fois

Remarque. On a pour toute matrice A ∈ M _n (K) et tout k ∈ N, A × A ^k = A ^k × A. Ainsi A commute avec toutes les puissances de A. Elle commute en particulier avec tout polynˆ ome en A (i.e. toute combinaison lin´ eaire de puissances de A).

Exemple. Consid´ erons la matrice A ∈ M ₃ ( K ) d´ efinie par:

A =





1 1 1 1 1 1 1 1 1





Calculer, pour tout entier naturel k, la matrice A ^k . Exercice. Soit A =





2 1 1 1 2 1 1 1 2



.

a) Montrer que A ² = 5A − 4I 3 .

b) Montrer que pour tout p ∈ N , il existe α _p , β _p ∈ R tels que A ^p = α _p A + β _p I ₃ .

c) D´ eterminer une relation de r´ ecurrence satisfaite par α _p et β _p . En d´ eduire α _p et β _p en fonction de p.

d) En d´ eduire A ^p pour tout p ∈ N .

Soit A une matrice triangulaire sup´ erieure (resp. triangulaire inf´ erieure, diagonale). Alors pour tout p ∈ N, A ^p est triangulaire sup´ erieure (resp. triangulaire inf´ erieure, diagonale).

De plus, si λ 1 , . . . , λ n sont les coefficients diagonaux de A, on a :

A ^p =













λ ^p ₁ · · · 0 λ ^p ₂ (∗) .. .

.. . . .. ...

0 · · · 0 λ ^p n











 , resp.













λ ^k ₁ 0 · · · 0 λ ^k ₂ . .. ...

.. . (∗) . .. 0

· · · λ ^k _n











 , resp.













λ ^k ₁ 0 · · · 0 0 λ ^k ₂ . .. ...

.. . . .. ... 0 0 · · · 0 λ ^k _n











 . Propri´ et´ e 7 (Puissance d’une matrice triangulaire ou diagonale)

Remarques.

ˆ Il est donc particuli` erement facile de calculer les puissances d’une matrice diagonale : il suffit de prendre les puissances des termes diagonaux.

ˆ On peut avoir A ^k = 0 _n avec A 6= 0 _n . Par exemple, A =

1 −1 1 −1

et A ² =

0 0 0 0

.

D´ efinition.

Une matrice A ∈ M _n ( K ) est dite nilpotente s’il existe p ∈ N ^∗ tel que A ^p = 0 n et A ^p−1 6= 0 _n . Cet entier p est unique et s’appelle l’ordre de nilpotence de la matrice.

Exemple.

ˆ La matrice A =

1 −1 1 −1

est nilpotente d’ordre 2.

ˆ La matrice N =









0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0









est nilpotente d’ordre 4.

Remarques.

ˆ Plus g´ en´ eralement, on peut montrer que toute matrice de M _n (K) triangulaire sup´ erieure stricte ou triangulaire inf´ erieure stricte est nilpotente d’ordre ≤ n.

ˆ De mˆ eme que pour les matrices diagonales, le calcul des puissances d’une matrice nilpotente A est ais´ e : en effet, pour tout k ≥ p, A ^k = 0 n , et il suffit donc de calculer un nombre fini de puissances de A.

Soient A et B deux matrices de M _n (K) qui commutent, c’est-` a-dire telles que AB = BA.

Alors, pour tout entier n ∈ N ,

(A + B) ^k =

k

X

i=0

k i

A ⁱ B ^k−i . Propri´ et´ e 8 (Formule du binˆ ome de Newton)

Preuve. La preuve se fait de mˆ eme que dans le cas complexe.

I La formule du binˆ ome de Newton, valable pour deux matrices qui commutent, permet dans certains cas de calculer la puissance d’une matrice.

Exemple. Soit A =





1 2 6 0 1 2 0 0 1



. Calculer A ^p pour tout p ∈ N.

2 Op´ erations ´ el´ ementaires de pivot et calcul matriciel

2.1 Matrices d’op´ erations ´ el´ ementaires D´ efinition.

On appelle op´ eration ´ el´ ementaire sur les lignes d’une matrice l’une des trois op´ erations suivantes :

ˆ Multiplication d’une ligne L i par un scalaire λ non nul ce que l’on note L i ← λL i .

ˆ Echange des lignes ´ L _i et L _j avec i 6= j ce que l’on note L _i ↔ L _j ;

ˆ Ajout de β L ˙ _j ` a L <sub>i</sub> avec i 6= j ce que l’on note L <sub>i</sub> ← L <sub>i</sub> + βλL <sub>j</sub> o` u β ∈ K .

D´ efinition.

Soient 1 ≤ i, j ≤ n et λ ∈ K . On d´ efinit les matrices d’op´ erations ´ el´ ementaires suivantes. On

appelle

ˆ matrice de dilatation toute matrice carr´ ee D i (λ) ∈ M _n (K) de la forme suivante :

D i (λ) = I n + (λ − 1)E i,i =















 1

. ..

λ . ..

1















 .

ˆ matrice de transposition toute matrice carr´ ee P _i,j ∈ M _n ( K ) de la forme suivante :

P i,j = (I n − E i,i − E j,j ) + E i,j + E j,i =















 1

1

1 1















 .

ˆ matrice de transvection toute matrice carr´ ee T i,j (λ) ∈ M _n (K) de la forme suivante :

T i,j (λ) = I n + λE i,j =















 1

. .. λ 1

. ..

1















 .

Exemple. Pour n = 2, on a : D ₂ (λ) =

1 0 0 λ

; P _1,2 = 0 1

1 0

; T _1,2 (λ) = 1 λ

0 1

.

2.2 Traduction matricielle de l’algorithme de Gauss-Jordan

Soit A ∈ M _n,p ( K ).

(1) D i (λ)A est la matrice obtenue en appliquant L i ← λL i ` a A.

(2) P _i,j A est la matrice obtenue en appliquant L _i ↔ L _j ` a A.

(3) T _i,j (λ)A est la matrice obtenue en appliquant L _i ← L _i + λL _j ` a A.

Propri´ et´ e 9

Preuve. Il suffit de le v´ erifier directement. Montrons le par exemple pour le produit T 1,2 (λ) × A (le raisonnement g´ en´ eral se faisant de la mˆ eme fa¸ con) :



 1 λ 0 1

I n−2



 ×











a _1,1 a _1,2 · · · a _1,p a _2,1 a _2,2 · · · a _2,p .. . .. . .. . a _n,1 a _n,2 · · · a _n,p











=











a _1,1 + λa _2,1 a _1,2 + λa _2,2 · · · a _1,p + λa _2,p a _2,1 a _2,2 · · · a _2,p

.. . .. . .. .

a _n,1 a _n,2 · · · a _n,p











Remarque. T _i,j (λ) = T _i,j (λ) × I _n , ainsi T _i,j (λ) est la matrice obtenue en appliquant L _i ← L _i + λL _j

`

a I _n . Cette remarque permet de retrouver l’expression de T _i,j (λ). On peut bien sˆ ur faire la mˆ eme remarque pour les matrices D i (λ) et P i,j .

Pour toute matrice A ∈ M _n,p ( K ), il existe une matrice E produit de matrices d’op´ erations

´

el´ ementaires, et une unique matrice ´ echelonn´ ee r´ eduite par lignes R telles que E × A = R.

Th´ eor` eme 10

Preuve. Nous avions montr´ e le r´ esultat suivant :

Toute matrice A ∈ M _n,p (K) est ´ equivalente par lignes ` a une matrice ´ echelonn´ ee r´ eduite par lignes (qui est de plus unique).

Ainsi, il existe une unique matrice R ´ echelonn´ ee r´ eduite par lignes telle que A ∼

L R. De plus, on passe de A ` a R par op´ erations ´ el´ ementaires sur les lignes de A, en suivant par exemple l’algorithme de Gauss-Jordan. D’apr` es la proposition pr´ ec´ edente, chaque ´ etape de l’algorithme correspond ` a multiplier

`

a gauche par une matrice de dilatation, de permutation ou de transvection. ` A la fin de l’algorithme de Gauss-Jordan, on obtient donc :

E × A = R,

o` u la matrice E est un produit de matrices d’op´ erations ´ el´ ementaires.

Exemple. On consid` ere la matrice A =





−2 1 −1

1 1 2

3 −2 1



. On applique l’algorithme de Gauss-

Jordan ` a A.





−2 1 −1

1 1 2

3 −2 1



 L ₁ ↔ L ₂





1 1 2

−2 1 −1

3 −2 1





L 2 ← L 2 + 2L 1

L ₃ ← L ₃ − 3L ₁





1 1 2

0 3 3

0 −5 −5





L ₂ ← 1 3 L ₂





1 1 2

0 1 1

0 −5 −5





L 1 ← L 1 − L 2

L ₃ ← L ₃ + 5L ₂





1 0 1 0 1 1 0 0 0





L ₃ ← 3 17 L ₃





1 0 1 0 1 1 0 0 0





L 1 ← L 1 + ¹ ₃ L 3

L ₂ ← L ₂ − ¹ ₃ L ₃





1 0 1 0 1 1 0 0 0





Ainsi, R =





1 0 1 0 1 1 0 0 0



, et :

E = T _2,3 (−1/3) × T _1,3 (1/3) × D ₃ (3/17) × T _3,2 (5) × T _1,2 (−1) × D ₂ (1/3) × T _3,1 (3) × T _2,1 (2) × P _1,2 2.3 Op´ erations sur les colonnes

D´ efinition.

On dira que deux matrices A et A ⁰ sont ´ equivalentes en colonnes si on peut passer de la matrice A ` a la matrice A ⁰ par une suite op´ erations ´ el´ ementaires sur les colonnes de A. On notera alors A ∼

C A ⁰ . Remarque. ∼

C est une relation d’´ equivalence sur l’ensemble des matrices.

Soit A ∈ M _n,p ( K ).

(1) AD _i (λ) est la matrice obtenue en appliquant C _i ← λC _i ` a A.

(2) AP _i,j est la matrice obtenue en appliquant C _i ↔ C _j ` a A.

(3) AT i,j (λ) est la matrice obtenue en appliquant C j ← C j + λC i ` a A.

Propri´ et´ e 11

En particulier, on retrouve le r´ esultat suivant.

Pour toute matrice A ∈ M _n,p ( K ), il existe une matrice E ⁰ produit de matrices d’op´ erations

´

el´ ementaires, et une unique matrice ´ echelonn´ ee r´ eduite par colonnes R ⁰ telles que A × E ⁰ = R ⁰ .

Propri´ et´ e 12

Remarque. Si A ∈ M _n,p ( K ) est de rang r, on a vu qu’il existe une matrice E produit de matrices d’op´ erations ´ el´ ementaires et une matrice R ´ echelonn´ ee r´ eduite par ligne avec r pivots telle que :

EA = R.

Si on agit alors sur les colonnes de R, on obtient une matrice E ⁰ produit de matrices d’op´ erations

´

el´ ementaires telle que :

EAE ⁰ = J r o` u J r =

I r 0 r,p−r

0 n−r,r 0 n−r,p−r

.

3 Matrices carr´ ees inversibles

3.1 D´ efinitions et exemples D´ efinition.

Soit A ∈ M _n ( K ). A est dite inversible si et seulement si il existe B ∈ M _n ( K ) telle que:

AB = BA = I n .

On note GL n (K) l’ensemble des matrices inversibles de M _n (K), appel´ e groupe lin´ eaire d’ordre n.

Remarque.

ˆ On ne peut consid´ erer un inverse que pour une matrice carr´ ee.

ˆ Si A est inversible, alors:

AC = AD ⇒ B (AC) = B(AD) ⇒ (BA)

| {z }

=I

n

C = (BA)

| {z }

=I

n

D ⇒ C = D.

Et de mˆ eme, CA = DA ⇒ C = D.

ˆ Si A est inversible, alors la matrice B telle que AB = BA = I n est unique. En effet, si B 1 et B 2

satisfont toutes deux ces ´ egalit´ es, alors :

B 1 = B 1 × I n = B 1 × (A × B 2 ) = (B 1 × A) × B 2 = I n × B 2 = B 2 .

Cette matrice est alors appel´ ee l’inverse de A et not´ ee A ⁻¹ .

ˆ Si A est inversible, alors A ⁻¹ est inversible et (A ⁻¹ ) ⁻¹ = A.

Exemples. I n est inversible, et I _n ⁻¹ = I n .

La matrice diagonale D = diag(λ 1 , . . . , λ n ) est inversible si et seulement si λ i 6= 0 pour tout 1 ≤ i ≤ n. Et dans ce cas, son inverse est D ⁻¹ = diag(1/λ ₁ , . . . , 1/λ _n ). En effet, si tous les λ _i sont non nuls, on a bien D × D ⁻¹ = D ⁻¹ × D = I n . R´ eciproquement, supposons que l’un des λ i soit nul.

Alors pour tout B ∈ M _n ( K ), la i ^eme ligne de D × B est nulle et donc D × B 6= I n pour tout B . Les matrices d’op´ erations ´ el´ ementaires sont inversibles, et on a pour tout 1 ≤ i, j ≤ n et λ ∈ K , µ ∈ K ^a st :

D i (µ) ⁻¹ = D i (1/µ) ; P _i,j ⁻¹ = P i,j ; T i,j (λ) ⁻¹ = T i,j (−λ).

Soit A =





2 1 1 1 2 1 1 1 2



. On a montr´ e que A ² = 5A − 4I 3 . En particulier, on a :

I 3 = 5 4 A − 1

4 A ² = A × ( 5 4 I n − 1

4 A) = ( 5 4 I n − 1

4 A) × A.

Ainsi, A est inversible et A ⁻¹ = ⁵ ₄ I n − ¹ ₄ A =





3/4 −1/4 −1/4

−1/4 3/4 −1/4

−1/4 −1/4 3/4



.

Remarque. Pour une matrice carr´ ee (2, 2) quelconque, on v´ erifiera la relation suivante : a b

c d 2

= (a + d) a b

c d

− (ad − bc)I 2 .

En proc´ edant comme pr´ ec´ edemment, on d´ eduit de cette relation la proposition suivante :

La matrice A = a b

c d

est inversible si et seulement si ad − bc 6= 0. Et dans ce cas, son inverse est :

A ⁻¹ = 1 ad − bc

d −b

−c a

. Propri´ et´ e 13

Vocabulaire. Le scalaire ad − bc s’appelle le d´ eterminant de A et se note det(A).

Preuve. Si ad − bc 6= 0, alors on a : I ₂ = 1

ad − bc A ² − a + d

ad − bc A = A × 1

ad − bc A − a + d ad − bc I ₂

= 1

ad − bc A − a + d ad − bc I ₂

× A.

Ainsi A est inversible, et A ⁻¹ = 1

ad − bc A − a + d

ad − bc I ₂ = 1 ad − bc

d −b

−c a

. Supposons que ad −bc = 0, alors 0 = A ² − (a + d)A. Si A est inversible, alors A = (a + d)I 2 , et on aurait :



 

 

a = a + d d = a + d b = c = 0

⇔ a = b = c = d = 0,

ce qui est impossible car 0 ₂ n’est pas inversible.

3.2 Produit de matrices inversibles

(1) Si A, B ∈ M _n ( K ) sont deux matrices inversibles, alors AB l’est aussi et (AB) ⁻¹ = B ⁻¹ A ⁻¹ .

(2) Si A ∈ M _n ( K ) est inversible, alors ^t A l’est aussi et ^t A −1

= ^t A ⁻¹ . Propri´ et´ e 14 (de l’inverse)

Remarque. L’ensemble GL n ( K ) est donc stable pour le produit matriciel (mais pas pour la somme

!).

Preuve.

(1) Soient A, B ∈ M _n ( K ) deux matrices inversibles. On a :

(B ⁻¹ A ⁻¹ ) × (AB) = B ⁻¹ (A ⁻¹ A)B = B ⁻¹ B = I n . (AB) × (B ⁻¹ A ⁻¹ ) = A(BB ⁻¹ )A ⁻¹ = A × A ⁻¹ = I n . Ainsi AB est inversible et (AB) ⁻¹ = B ⁻¹ A ⁻¹ .

(2) Soit A ∈ M _n ( K ) inversible. Alors A × A ⁻¹ = A ⁻¹ × A = I _n , et en prenant la transpos´ ee :

t (A ⁻¹ ) × ^t A = ^t A × ^t (A ⁻¹ ).

Ainsi ^t A est inversible et ^t A −1

= ^t A ⁻¹ .

Remarque. Nous avons vu que pour toute matrice A ∈ M _n,p ( K ), il existe une matrice E produit de matrices d’op´ erations ´ el´ ementaires, et une unique matrice ´ echelonn´ ee r´ eduite par lignes R telles que E × A = R. On peut r´ e´ ecrire cette ´ egalit´ e sous la forme :

A = E ⁰ × R

avec E ⁰ = E ⁻¹ produit de matrices d’op´ erations ´ el´ ementaires (l’inverse d’une matrice ´ el´ ementaire

´

etant une matrice ´ el´ ementaire).

3.3 Caract´ erisation des matrices inversibles

Soit A ∈ M _n ( K ) et B ∈ M _n,1 (K).

(1) A est une matrice inversible ;

(2) il existe A ⁰ ∈ M _n ( K ) telle que A ⁰ × A = I _n ;

(3) le syst` eme AX = 0 admet une seule solution (X = 0) ; (4) le rang de la matrice A est n ;

(5) A ∼

L I n ;

(6) pour toute matrice colonne B ∈ M _n,1 (K), le syst` eme AX = B admet une unique solution ;

(7) pour toute matrice colonne B ∈ M _n,1 (K), le syst` eme AX = B admet au moins une solution.

Th´ eor` eme 15

Preuve. On montre (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (5) ⇒ (1), puis (1) ⇒ (6) ⇒ (7) ⇒ (4).

(1) ⇒ (2) Imm´ ediat.

(2) ⇒ (3) Soit X ∈ M _n,1 (K) tel que AX = 0. Alors A ⁰ AX = 0, et puisque A ⁰ A = I n , on obtient X = 0.

(3) ⇒ (4) Supposons que le rang de A soit strictement plus petit que n. Alors d’apr` es le cours sur les syst` emes lin´ eaires, le syst` eme AX = 0 admet une infinit´ e de solutions (il y aura n − r > 0 inconnues param` etres). Ce qui par hypoth` ese est faux. Donc le rang de A est n.

(4) ⇒ (5) Toujours d’apr` es le cours sur les syst` emes lin´ eaires, on a vu que si A est de rang n, alors A ∼

L I n . (5) ⇒ (1) Si A ∼

L I n , alors il existe une matrice E, produit de matrices d’op´ erations ´ el´ ementaires, telle que A = E × I _n = E. Or les matrices d’op´ erations ´ el´ ementaires sont inversibles, donc E l’est

´ egalement, et donc A aussi.

Montrons la deuxi` eme chaine d’implications.

(1) ⇒ (6) Supposons que A est inversible et notons A ⁻¹ son inverse. Soit ´ egalement B ∈ M _n,1 ( K ).

Consid´ erons le syst` eme AX = B . En multipliant ` a gauche par A ⁻¹ , on obtient X = A ⁻¹ B.

Donc le syst` eme admet bien une unique solution.

(6) ⇒ (7) Imm´ ediat.

(7) ⇒ (4) Supposons que pour toute matrice colonne B ∈ M _n,1 (K), le syst` eme AX = B admet au moins une solution. Montrons que A est de rang r = n. Supposons par l’absurde que r < n. Alors A est ´ equivalente par ligne ` a une matrice ´ echelonn´ ee r´ eduite ayant r < n pivots. On sait qu’alors l’ensemble des solutions peut ˆ etre vide s’il y a un pivot dans la derni` ere colonne de la matrice augment´ ee. Ainsi il existe B ∈ M <sub>n,1</sub> ( K ) tel que AX = B n’ai pas de solution, ce qui contredit l’hypoth` ese. Ainsi le rang de A est ´ egal ` a n.

On d´ eduit de ce r´ esultat les cons´ equences suivantes.

Soit T ∈ M _n ( K ) une matrice triangulaire. Alors T est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont tous non nuls.

Propri´ et´ e 16

Preuve. Si tous les coefficients diagonaux de T sont non nuls, on sait alors que pour tout B ∈ M _n ( K ), le syst` eme AX = B est de Cramer, et donc qu’il admet une unique solution. Ainsi par le th´ eor` eme pr´ ec´ edent, T est inversible.

R´ eciproquement, supposons que l’un des coefficients diagonaux t _i,i de T soit nul. En appliquant l’algorithme de Gauss, les i − 1 premiers pivots seront sur la diagonale de la r´ eduite, mais le i-i` eme (s’il y en a un) sera en position k > i. Dans tous les cas, il y aura alors au plus i − 1 + (n − k + 1) pivots, donc au plus n − 1 pivots. La matrice T n’est donc pas de rang n, et T n’est pas inversible.

Soit A ∈ M _n ( K ). Alors : A ∈ GL n ( K ) ⇔ ∃B ∈ M _n ( K ), B × A = I n ⇔ ∃B ⁰ ∈ M _n ( K ), A × B ⁰ = I _n .

Propri´ et´ e 17

Preuve. On a d´ ej` a montr´ e que A ∈ GL <sub>n</sub> ( K ) ⇔ ∃B ∈ M <sub>n</sub> ( K ), B × A = I <sub>n</sub> . Supposons qu’il existe B <sup>0</sup> ∈ M <sub>n</sub> ( K ) telle que A × B <sup>0</sup> = I <sub>n</sub> . Alors en prenant la transpos´ ee, <sup>t</sup> B <sup>0</sup> × <sup>t</sup> A = I <sub>n</sub> . En utilisant le Th´ eor` eme, on obtient que ^t A est inversible, et donc A = ^t ( ^t A)) est inversible aussi.

I Pour montrer qu’une matrice A est inversible, il suffit de trouver une matrice B telle que A×B = I n

(resp. B × A = I _n ). Il est donc inutile de v´ erifier que B × A = I _n (resp. A × B = I _n ), c’est automatiquement v´ erifi´ e.

Toute matrice carr´ ee inversible est le produit d’un nombre fini de matrices d’op´ erations

´

el´ ementaires, ce qui se traduit en disant que le groupe lin´ eaire est engendr´ e par les matrices d’op´ erations ´ el´ ementaires.

Propri´ et´ e 18

Preuve. On vient de le voir, si A est inversible alors A ∼

L I _n et A = E qui est un produit d’un nombre

fini de matrices d’op´ erations ´ el´ ementaires.

Remarque.

ˆ A ∼

L B si et seulement si ∃P ∈ GL n (K) tel que A = P B.

ˆ A ∼

C B si et seulement si ∃P ∈ GL _n ( K ) tel que A = BP . Montrons par exemple le premier point :

Si A ∼

L B, alors il existe une suite d’op´ erations ´ el´ ementaires sur les lignes permettant de passer de B ` a A, ce qui se traduit matriciellement par l’existence d’une matrice E produit de matrices d’op´ erations

´

el´ ementaires telle que A = EB . On obtient alors le r´ esultat puisque E ∈ GL _n ( K ).

R´ eciproquement, supposons que A = P B avec P ∈ GL n (K). Alors par la proposition pr´ ec´ edente, P est produit de matrices ´ el´ ementaires, et donc on peut passer de B ` a A par des op´ erations ´ el´ ementaires sur les lignes. Donc on a bien A ∼

L B .

3.4 M´ ethodes pratiques de calcul de l’inverse Calcul de l’inverse par la m´ ethode de Gauss-Jordan

On consid` ere une matrice carr´ ee A ∈ M _n ( K ).

S’il est possible de ramener ` a l’aide d’op´ erations ´ el´ ementaires sur les lignes la matrice A ` a la matrice identit´ e, la matrice A est inversible et on obtient A ⁻¹ en effectuant sur les lignes de la matrice identit´ e les mˆ emes op´ erations que celle effectu´ ees sur les lignes de A.

Propri´ et´ e 19

Preuve. La premi` ere partie de cette proposition a d´ ej` a ´ et´ e d´ emontr´ ee au th´ eor` eme pr´ ec´ edent. Sup- posons que A ∼

L I n , alors il existe E produit de matrices d’op´ erations ´ el´ ementaires telle que E ×A = I n . Ainsi A ⁻¹ = E = E × I _n , et A ⁻¹ s’obtient en effectuant sur les lignes de la matrice identit´ e les mˆ emes

op´ erations que celle effectu´ ees sur les lignes de A.

I Partant de deux matrices M et I n , on effectue sur M et sur I n les manipulations ´ el´ ementaires sur

les lignes qui ram` enent M ` a I _n , et donc I _n ` a M ⁻¹ .

Exemple. On consid` ere la matrice A =





1 2 3 1 4 1 3 2 1



. On applique l’algorithme de Gauss-Jordan ` a (A|I _n ).





1 2 3 1 0 0

1 4 1 0 1 0

3 2 1 0 0 1





L ₂ ← L ₂ − L ₁ L ₃ ← L ₃ − 3L ₁





1 2 3 1 0 0

0 2 −2 −1 1 0

0 −4 −8 −3 0 1





L ₂ ← ¹ ₂ L ₂





1 2 3 1 0 0

0 1 −1 −1/2 1/2 0

0 −4 −8 −3 0 1





L 1 ← L 1 − 2L 2

L ₃ ← L ₃ + 4L ₂





1 0 5 2 −1 0

0 1 −1 −1/2 1/2 0

0 0 −12 −5 2 1





L ₃ ← − 1 12 L ₃





1 0 5 2 −1 0

0 1 −1 −1/2 1/2 0

0 0 1 5/12 −1/6 −1/12





L 1 ← L 1 − 5L 3

L ₂ ← L ₂ + L ₃





1 0 0 −1/12 −1/6 5/12 0 1 0 −1/12 1/3 −1/12 0 0 1 5/12 −1/6 −1/12





Ainsi A est inversible, et A ⁻¹ =





−1/12 −1/6 5/12

−1/12 1/3 −1/12 5/12 −1/6 −1/12



.

Calcul de l’inverse par la r´ esolution d’un syst` eme lin´ eaire D’apr` es la caract´ erisation des matrices inversibles, nous avons vu que :

A ∈ GL _n ( K ) si et seulement si le syst` eme A × X = Y est de Cramer.

De plus, l’unique solution de ce syst` eme est alors X = A ⁻¹ Y . Cela va nous fournir une autre m´ ethode pour d´ eterminer si A est inversible et pour calculer A ⁻¹ le cas ´ ech´ eant.

I Pour un n-uplet Y = (y 1 , . . . , y n ) de param` etres, on r´ esout le syst` eme (S) AX = Y .

ˆ On ´ echelonne (S) par l’algorithme de Gauss-Jordan. Deux cas se pr´ esentent : – si (S) n’est pas de Cramer, A n’est pas inversible.

– si (S) est de Cramer, A est inversible. De plus,

ˆ L’unique solution de (S) s’exprime en fonction des param` etres y 1 , . . . , y n : X = A ⁻¹ Y .

ˆ On d´ etermine A ⁻¹ par identification.

Exemple. Calculons l’inverse de la matrice A =





3 2 −1

1 −1 1

2 −2 1



 On ´ echelonne le syst` eme (S) AX = Y .

(S) ⇔



 

 

3x 1 + 2x 2 − x 3 = y 1

x ₁ − x ₂ + x ₃ = y ₂ 2x 1 − x 2 + x 3 = y 3

⇔



 

 

x 1 − x 2 + x 3 = y 2

3x ₁ + 2x ₂ − x ₃ = y ₁ 2x 1 − x 2 + x 3 = y 3

⇔



 

 

x 1 − x 2 + x 3 = y 2

5x ₂ − 4x ₃ = y ₁ − 3y ₂

−x ₃ = y 3 − 2y 2

Le syst` eme est sous forme triangulaire avec coefficients diagonaux tous non nuls. On en d´ eduit que le syst` eme (S) est de Cramer, et donc que A est inversible. De plus en faisant la remont´ ee (c’est ` a dire en cherchant l’´ echelonn´ ee r´ eduite), on obtient :

(S) ⇔



 

 

x 1 = 1/5y 1 + +1/5y 3

x ₂ = 1/5y ₁ + y ₂ − 4/5y ₃ x 3 = 2y 2 − y 3

⇔



 x ₁ x ₂ x 3



 = A ⁻¹ ×



 y ₁ y ₂ y 3





Il ne reste plus qu’` a lire les coefficients de A ⁻¹ : A ⁻¹ = 1 5





1 0 1

1 5 −4

0 10 −5



