Chapitre 2 : Isom´ etries et figures ´ el´ ementaires

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Universit´ e de Reims Champagne Ardenne UFR Sciences Exactes et Naturelles

Ann´ ee universitaire 2013-2014 SEN 0505 - Licence 3

Chapitre 2 : Isom´ etries et figures ´ el´ ementaires

Dans tout ce qui suit, P d´ esigne le plan usuel.

1 Isom´ etries planes : quelques propri´ et´ es ´ el´ ementaires, et n´ ecessaires

D´ efinition 1 – On appelle bijection de P toute application f de P dans P telle que tout point de P admette un et un seul ant´ ec´ edent, c’est-` a-dire : Quelque soit A

⁰

dans P , il existe un et un seul point A dans P tel que f(A) = A

⁰

. Toute bijection du plan est donc inversible.

– On appelle identit´ e du plan (not´ ee Id) l’application qui ` a tout point A du plan P associe A.

D´ efinition 2 Une isom´ etrie plane est une bijection de P qui conserve les distances. Ceci signifie que si A

⁰

et B

⁰

sont les images de deux points A et B par une isom´ etrie plane, alors AB = A

⁰

B

⁰

.

Proposition 3 – Le produit de composition de deux isom´ etries est une isom´ etrie.

– Toute isom´ etrie est inversible et son inverse est une isom´ etrie.

– Toute isom´ etrie conserve le milieu d’un segment : ceci signifie que si A

⁰

et B

⁰

sont les images de deux points A et B par une isom´ etrie, alors l’image du milieu de [AB] est le milieu de [A

⁰

B

⁰

].

– Toute isom´ etrie conserve le produit scalaire.

– Toute isom´ etrie conserve le barycentre : ceci signifie que si G est le barycentre d’un syst` eme pond´ er´ e de points, alors l’image de G par une isom´ etrie est le barycentre du syst` eme image, avec les mˆ emes pond´ erations.

Cons´ equences fondamentales :

– L’image d’une droite par une isom´ etrie est une droite.

– L’image d’une demi-droite par une isom´ etrie est une demi-droite, les extr´ emit´ es se corres- pondent, c’est-` a-dire que f([AB)) = [A

⁰

B

⁰

).

– L’image d’un segment par une isom´ etrie est un segment de mˆ eme longueur, les extr´ emit´ es se correspondent.

– L’image d’un secteur angulaire par une isom´ etrie est un secteur angulaire de mˆ eme mesure.

– L’image d’un couple de droites parall` eles (resp. perpendiculaires) est un couple de droites parall` eles (resp. perpendiculaires).

– L’image d’un parall´ elogramme par une isom´ etrie est un parall´ elogramme, celle d’un triangle est un triangle, celle d’un carr´ e est un carr´ e, et plus g´ en´ eralement, l’image d’un polygone par une isom´ etrie est un polygone de mˆ eme nature dont les cˆ ot´ es et les angles ont mˆ emes mesures.

– L’image d’un cercle par une isom´ etrie est un cercle de mˆ eme rayon, et l’image d’une droite

tangente (resp. s´ ecante) est une droite tangente (resp. s´ ecante), les points de contact ou d’in-

tersection se correspondent.

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2 Sym´ etries, m´ ediatrices, bissectrices

2.1 Sym´ etrie centrale

D´ efinition 4 On appelle sym´ etrie centrale de centre O, ou encore sym´ etrie de centre O, ou encore sym´ etrie par rapport ` a O, l’application not´ ee s

_O

qui ` a tout point A du plan associe le point A

⁰

tel que O soit le milieu du segment [AA

⁰

]. L’image du point O est donc le point O.

Proposition 5 – Le point O est l’unique point invariant de s

O

. – Toute sym´ etrie centrale est une isom´ etrie.

– Elle est involutive : s

_O

est sa propre inverse.

– Toute droite passant par O est globalement invariante par s

O

.

– L’image par s

_O

d’une droite D ne passant pas par O est une droite parall` ele ` a D.

Remarque. Notons qu’un quadrilat` ere est un parall´ elogramme si et seulement s’il est convexe et admet un centre de sym´ etrie, le point d’intersection de ses diagonales.

2.2 M´ ediatrice d’un segment

D´ efinition 6 Etant donn´ es deux points distincts A et B, on appelle m´ ediatrice du segment [AB]

l’ensemble des points du plan ´ equidistants de A et B.

Proposition 7 La m´ ediatrice d’un segment est la droite perpendiculaire ` a ce segment, qui passe par le milieu de ce segment.

2.3 Sym´ etrie axiale, ou r´ eflexion, ou sym´ etrie orthogonale

D´ efinition 8 Etant donn´ ee une droite ∆, on appelle r´ eflexion d’axe ∆, ou encore sym´ etrie orthogonale d’axe ∆, ou encore sym´ etrie axiale d’axe ∆, not´ ee s

∆

, l’application qui ` a tout point A du plan associe le point A

⁰

tel que :

– ∆ est la m´ ediatrice de [AA

⁰

] si A n’est pas un point de ∆.

– A

⁰

est confondu avec A si A est un point de ∆.

Proposition 9 – s

_∆

admet une infinit´ e de points invariants : les points de ∆.

– Toute r´ eflexion ou sym´ etrie axiale est une isom´ etrie, elle est involutive.

– L’image par une r´ eflexion s

_∆

d’une droite parall` ele ` a ∆ est une droite parall` ele ` a ∆.

– L’image par une r´ eflexion s

_∆

d’une droite s´ ecante ` a ∆ en O est une droite passant par O.

2.4 Bissectrices

Proposition 10 Etant donn´ ees deux droites s´ ecantes, il existe exactement deux r´ eflexions qui

´

echangent ces droites.

D´ efinition 11 Etant donn´ ees deux droites s´ ecantes en O, on appelle bissectrices du couple de droites les axes des deux r´ eflexions qui ´ echangent ces droites. Ces deux bissectrices sont perpen- diculaires en O. Un angle de deux demi-droites admet une bissectrice int´ erieure et une bissectrice ext´ erieure, perpendiculaires.

Proposition 12 Un point est ´ equidistant de deux droites s´ ecantes si et seulement s’il appartient ` a

l’une des deux bissectrices de ces droites.

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2.5 Le rectangle

D´ efinition 13 Un rectangle est un parall´ elogramme dont les diagonales ont mˆ eme longueur.

Proposition 14 Un parall´ elogramme est un rectangle si et seulement s’il admet un (donc quatre) angle droit.

Proposition 15 L’aire d’un rectangle est ´ egale au produit des longueurs de ses cot´ es.

2.6 Le losange

D´ efinition 16 Un losange est un parall´ elogramme dont les diagonales sont perpendiculaires.

Proposition 17 – Un parall´ elogramme est un losange si et seulement si deux cˆ ot´ es cons´ ecutifs ont mˆ eme longueur.

– Un parall´ elogramme est un losange si et seulement si chaque diagonale est bissectrice de deux angles oppos´ es.

Proposition 18 L’aire d’un losange est ´ egale ` a la moiti´ e du produit des longueurs de ses diagonales.

2.7 Le carr´ e

D´ efinition 19 Un carr´ e est un parall´ elogramme dont les diagonales ont mˆ eme longueur et sont perpendiculaires.

Remarque. C’est donc un rectangle et un losange. En particulier, son aire est ´ egale au produit des longueurs de ses cot´ es et ` a la moiti´ e du produit des longueurs de ses diagonales.

3 Translations et rotations

3.1 Translations

D´ efinition 20 Etant donn´ e un vecteur − → v du plan, on appelle translation de vecteur − → v l’appli- cation not´ ee t

⁻^→_v

qui ` a tout point A du plan associe le point A

⁰

tel que −−→

AA

⁰

= − → v .

Proposition 21 – t

⁻^→_v

est l’identit´ e du plan si et seulement si le vecteur − → v est nul.

– Si le vecteur − → v n’est pas nul, la translation n’a aucun point invariant.

– Toute translation est une isom´ etrie.

– Toute translation peut se d´ ecomposer en un produit de deux r´ eflexions.

3.2 Rotations

D´ efinition 22 Etant donn´ es un point O et un nombre r´ eel θ, on appelle rotation de centre O et d’angle θ, l’application not´ ee R

_O,θ

d´ efinie par :

– L’image de O est le point O.

– Si un point A est distinct de O alors son image par R

_O,θ

est un point A

⁰

tel que : – OA = OA

⁰

.

– ( −→

OA, −−→

OA

⁰

) = θ radians (mod 2π) (angle orient´ e).

Proposition 23 – Si θ = 0 (mod 2π), R

_O,θ

est l’identit´ e du plan.

– Si θ 6= 0 (mod 2π), R

O,θ

admet un unique point invariant, le centre O de la rotation.

– Si θ = π (mod 2π), alors R

_O,θ

est la sym´ etrie de centre O.

– Toute rotation est le produit de composition de deux r´ eflexions.

– Toute rotation est une isom´ etrie.

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