3 Isom´ etries affines de l’espace

Transformations du plan et de l’espace affine euclidien

1 Isom´ etries d’un espace affine euclidien

1.1 Espace affine, applications affines Rappel.

Propri´et´e.

D´efinition. Soit f : EÑ E. On dit quef est uneapplication affine si et seulement si il existeϕPLpEq tel que :

@APE, @~xPE, fpA ~xq fpAq ϕp~xq ϕ est unique et s’appelle lapartie lin´eaire de f.

Remarque.

Propri´et´e. Les applications affines sont de la forme :

f t_~uϕ

o`ut_~u est une translation deE etϕPLpEq.

Exemple. Soit E R³ muni du rep`ere pO;p~ı, ~, ~kqq, c’est-`a-dire que O est l’origine de notre espace affine, et p~ı, ~, ~kqune base de l’espace vectorielE R³ sous-jacent. Soitf etgdont les expressions analytiques sont :

$'

&

'%

x¹ 3 x 2y z y¹2x y 2z z¹ 1 x 2y z

$'

&

'%

x¹ 2 xyz

y¹cosx sinytanz z¹ 3 x² y² z² Sont-elles des applications affines ? Si oui, quelles sont leurs parties lin´eaires ?

Exemple.On reprend les mˆemes notations. SoitBp1,2,3q. Donner l’expression analytique de la transformation affine h telle que hpOq B et de partie lin´eaire ϕ3Id_E.

Exemple. Montrer qu’une homoth´etie du plan est une transformation affine. Quelle est sa partie lin´eaire ? Propri´et´e.Une application affinef de partie lin´eaireϕest injective (resp. surjective) si et seulement siϕl’est.

Remarque.

Propri´et´e.Soitf affine de partie lin´eaireϕetgaffine de partie lin´eaireψ. Alorsgf est affine de partie lin´eaire ψϕ.

Propri´et´e. Une application affine est une translation si et seulement si sa partie lin´eaire estId_E .

1.2 Isom´etries affines

D´efinition.On appelleisom´etrie affinedeEtoute application affine deEqui conserve les distances, c’est-`a-dire

telle que pour tout A etB, on a :

}ÝÝÝÝÝÝÑ

fpAqfpBq} }ÝÝÑAB}

Th´eor`eme.

Soit Eun espace affine, et f une application affine de E. Notonsϕla partie lin´eaire de f.

f est une isom´etrie affine de E si et seulement siϕ est un automorphisme orthogonal deE.

Remarque.

Exemple.

D´efinition. On appelled´eplacement(resp.antid´eplacement) toute isom´etrie affine dont la partie lin´eaire a

pour d´eterminant 1 (resp.1).

Propri´et´e. L’ensemble des isom´etries affines de E est un groupe, not´e IspEq. L’ensemble des d´eplacements est un groupe, sous-groupe de IspEq, not´e DeppEq.

Th´eor`eme.

Deux isom´etries affines ont la mˆeme partie lin´eaire si et seulement si elles sont ´egales `a une translation pr`es, c’est-`a-dire s’il existe un vecteur~utel quef t_~ug.

Exemple.

Remarque.

R´esultat. Lorsqu’il n’y a pas de point fixe, f se d´ecompose de mani`ere unique et commutative en

f tggt

o`u g est une isom´etrie affine admettant au moins un point fixe, et t une translation de vecteur ~v, avec v P

KerpϕIdEq.

1.3 Conservation du barycentre Th´eor`eme.

Les isom´etries affines pr´eservent le barycentre, c’est-`a-direque si Gest le barycentre du syst`eme de points pond´er´es tpAi, αiqu, alorsfpGq est le barycentre du syst`eme de points pond´er´es tpfpAiq, αiqu. Remarque.

2 Isom´ etries affines du plan

2.1 ´Etude des d´eplacements

D´efinition. On appelle rotation de centre Ω et d’angle θl’unique application affine dont la partie lin´eaire est la rotation (vectorielle) d’angle θ et qui laisse fixe le point Ω. C’est une isom´etrie affine (puisque la ro- tation vectorielle est un automorphisme orthogonal) directe (puisque la rotation est directe). C’est donc un d´eplacement.

Remarque. Soitf rpΩ, θq,M, M¹ PE. Alors :

M¹ fpMq ðñ

$&

%

ΩM¹ ΩM Mesp {ÝÝÑΩM ,ÝÝÑ

ΩM¹q θp2πq

Th´eor`eme (Classification des d´eplacements du plan).

Les d´eplacements du plan sont les translations et les rotations.

2.2 ´Etude des antid´eplacements

D´efinition. Soit Dune droite affine deE2. On appeller´eflexiond’axeDl’application affine laissant invariant un point de D, et qui a pour partie lin´eaire la r´eflexion (vectorielle) par rapport `aD, la direction de D. C’est un antid´eplacement.

Th´eor`eme (Classification des antid´eplacements du plan).

Les antid´eplacements du plansont les r´eflexions et les r´eflexions gliss´ees, c’est-`a-dire les compos´ees commutatives d’une r´eflexion d’axe Det d’une translation de vecteur~udirigeantD.

Proposition. Etant donn´es deux points distincts´ pA, Bq, il existe une r´eflexion et une seule ´echangeantA etB. L’axe de cette r´eflexion s’appelle la m´ediatrice du bipoint pA, Bq.

Etude du produit de deux r´´ eflexions du plan. SoitDetD¹ deux droites du plan affine. Alors :

(a) Si D{{D¹, alors la compos´ee des deux r´eflexions S_D1S_D est une translation de vecteur 2~x, o`u ~x est le vecteur orthogonal `a DetD¹ tel queD¹ t_~xpDq.

(b) SiDetD¹ se coupent enA, alors la compos´ee des deux r´eflexions S_D1S_D est la rotation de centreAet d’angle 2θo`uθ est l’angle d´efini `aπ pr`esθ {pD,D¹q

Remarque. On peut montrer que r´eciproquement toute translation et toute rotation est compos´ee de deux r´eflexions, dont l’une est choisie quelconque.

Corollaire. Le groupe IspEq est engendr´e par les r´eflexions.

Remarque. Les isom´etries du plans peuvent ˆetre classifi´ees `a partir de leurs points fixes : d´eplacement translation Fixpfq ∅

rotation Fixpfq tΩu antid´eplacement r´eflexion Fixpfq D

r´eflexion gliss´ee Fixpfq ∅

3 Isom´ etries affines de l’espace

3.1 D´eplacements

D´efinition. SoitD un axe orient´e deE, αP R. On appelle rotation d’axe D et d’angle α l’isom´etrie affine laissant invariant un point de Det de partie lin´eaire RotD,α.

D

M

r(M) α

D´efinition. SoitDun axe deE,αP Ret~uqui dirige et orienteD. On appellevissage d’axe Det d’angle α et de vecteur ~ula compos´ee commutativet_~uRot_D,α.

D

~u

M

r(M) f(M)

α

Proposition. Tout d´eplacement admettant au moins un point fixe est une rotation.

Lemme.Soit~v un vecteur,Dune droite et θP Rr2πZ. Si~vKD, alorst_~vRot_D,θ est une rotation.

Th´eor`eme (Classification des d´eplacements de l’espace).

Les d´eplacements de l’espace sont les translations, les rotations et les vissages.

3.2 Antid´eplacements

Remarque.Leur ´etude g´en´erale est hors programme. Ce sont les r´eflexions, les r´eflexions gliss´ees et les compos´ees r´eflexions/rotations.

Etude du produit de deux r´´ eflexions. Soit PetP¹ deux plans.

• SiP etP¹ sont parall`eles, alors Ref<sub>P</sub>Ref<sub>P</sub>1 est la translation, de vecteur 2~uo`u~uest orthogonal `a Pet tel queP¹ est l’image deP part_~u.

• SiPetP¹ se coupent selonD, alorsRef_PRef_P1 est une rotation d’axe D, d’angle2pP{,P¹q, l’angle ´etant orient´e par l’orientation choisie surD.

Remarque.On peut montrer r´eciproquement que toute translation, toute rotation se d´ecompose comme produit de deux r´eflexions.

4 Similitudes

4.1 D´efinitions

D´efinition.SoitEle plan affine euclidien. Soitf : EÑEune application affine. On dit quef est une similitude de rapport kP R si et seulement si :

@pA, Bq PE², dpfpAq, fpBqq k dpA, Bq

k s’appelle lerapport de similitude.

Exemple.

(a) Une similitude de rapport 1 est une isom´etrie.

(b) Les homoth´eties de rapportsk sont des similitudes de rapport|k|.

Propri´et´e.

• La compos´ee d’une homoth´etie de rapportk et d’une isom´etrie est une similitude de rapport |k|.

• R´eciproquement, soit f une similitude de rapport k ¡ 0, et h une homoth´etie de rapport k. Notons

g h¹f. Alors dpgpAq, gpBqq d h¹fpAq, h¹fpBq

¹_kdpfpAq, fpBqq dpA, Bq. Donc g est

une isom´etrie. Ainsi, toute similitude se d´ecompose sous la forme f hg o`u h est une homoth´etie de

rapport ketg une isom´etrie.

Remarque. La partie lin´eaire d’une similitude satisfait

@xPE, }ϕpxq} k}x}

D´efinition. Soit f une similitude du plan et ϕsa partie lin´eaire. On dit que f est une similitudedirecte si et seulement si detϕ¡0. Elle est diteindirectesi detϕ 0.

4.2 Similitudes directes du plan Th´eor`eme.

Soit f une similitude directe du plan, de rapport k.

• Sik1, alorsf admet un point fixe unique Ω, et il existeθ un r´eel unique `a 2π pr`es, tel que : f h_Ω,kR_Ω,θ R_Ω,θ h_Ω,k

• Sik1, alorsf est une translation ou une rotation.

Remarque.

Remarque. Le th´eor`eme pr´ec´edent permet de dire que les similitudes directes du plan sont : (a) Les translations

(b) Les rotations

(c) Les compos´ees homoth´eties/rotations de mˆeme centre

Proposition. Les similitudes directes conservent les angles orient´es, i.e. si A, B, C sont donn´es et f est une similitude directe, alors :

pÝÝÝÝÝÝÑ{

fpAqfpBq,ÝÝÝÝÝÝÑ

fpAqfpCqq p {ÝÝÑAB,ÝÑACq

Proposition. Les aires sont multipli´ees park² par les similitudes de rapportk.

4.3 Rappels sur l’utilisation des nombres complexes Th´eor`eme.

Soit f : E Ñ E. f est une similitude directe si et seulement si son expression complexe est

Fpzq az bavec aP C etbP C.

Exemple. Donner l’expression complexe de la similitude directe de centre Ωp1,1q, de rapport 2 et d’angle ^π₄. Exemple.Soitf l’application affine dont l’expression complexe estFpzq 2iz 1 i. Reconnaˆıtre et caract´eriser.

Proposition. Soit pA, A¹q etpB, B¹q, avecAB etA¹B¹. Alors il existe une similitude directe et une seule envoyant A surA¹ etB surB¹.

Exemple.SoitAp0,1q,Bp3,1q,A¹p3,1qetB¹p0,4q. D´eterminer la similitude correspondant au probl`eme ci-dessus.

Transformationduplanaffineeuclidien 42.1Dansleplanrapport´e`aunrep`ereorthonormaldirect,d´eter- minerlanatureetles´el´ementscaract´eristiquesdesapplicationsdont lesexpressionsanalytiquessont: paq# x1 3 5x4 5y4 y1 4 5x3 5y2pbq# x1 ? 3 2x1 2y4? 3 y1 1 2x? 3 2y32? 3 pcq# x1 y1 y1 x2pdq# x1 ? 2 2x? 2 2y? 21 y1 ? 2 2x? 2 2y1 transfplanespace_1.tex 42.2SoitpA,B,CquntriangletelquepA;ÝÝÑ AB,ÝÑ ACqsoitunrep`ere direct.SoitpA1 ,B,Cq,pB1 ,C,AqetpC1 ,A,Bqlestrianglesrectangles isoc`elesconstruitsext´erieurementsurpA,B,Cq.SoitIlemilieude rBCs.SoitrB1etrC1lesrotationsdecentresrespectifsB1etC1et d’angleπ 2. Encaract´erisantlatransformationrC1rB1dedeuxfa¸cons(d’abordpar unem´ethodedirectepuispard´ecompositionenproduitder´eflexions), montrerqueletrianglepI,B1 ,C1 qestisoc`elerectangle.transfplanespace_2.tex 42.3SoitpA,B,Cquntriangletelquemesp{ÝÝÑ AB,ÝÑ ACqαp2πq, mesp{ÝÝÑ BC,ÝÝÑ BAqβp2πqetmesp{ÝÑ CA,ÝÝÑ CBqγp2πq.OnnoteIlepoint d’intersectiondesbissectricesdutriangle.D´eterminerlescompos´ees desrotationssuivantes: rpB,βqrpC,γqetrpA,αqrpB,βqrpC,γq transfplanespace_3.tex 42.4SoitA,B,Ctroispointsnonalign´es.Soitslar´eflexiond’axe pACqetDspBq.Soitfl’uniqueapplicationaffineduplantelleque fpAqA,fpBqCetfpCqD.Soitgsf.SoitIlemilieude rBCs.D´eterminergpAq,gpBq,gpCqetgpIq.Reconnaˆıtreetcaract´eriser g.Commentfaut-ilchoisirA,BetCpourquefsoituneisom´etrie? Reconnaˆıtreetcaract´eriserfdanscesconditions.transfplanespace_4.tex 42.5SoitOetAdeuxpointsdistincts,rlarotationdecentreO etd’angleπ 2.Quelestl’ensembledespointsMtelsqueA,MetrpMq sontalign´es?transfplanespace_5.tex Transformationdel’espaceaffineeuclidien 42.6

# y0 ´ Ecrirel’expressionanalytiqueduvissaged’axe∆, z2 π d’angleetdevecteur2~ı.transfplanespace_6.tex 4 42.7Reconnaˆıtreetcaract´eriserl’applicationd’expressionanaly- tique:

$ ' &1221 xxyzβ333 1212 yxyz2p1βq 333' %1221 zxyzβ 333 transfplanespace_7.tex 42.8Reconnaˆıtreetcaract´eriserl’applicationd’expressionanaly- tique:

$ ' &1 xz2 1 yx2 ' %1 zy2 transfplanespace_8.tex 42.9Reconnaˆıtreetcaract´eriserl’applicationd’expressionanaly- tique:

$ ' &1 xz1 1 yx ' %1 zy2 transfplanespace_9.tex 42.10Reconnaˆıtreetcaract´eriserl’applicationd’expressionanaly- tique:

$ ' &1 xy3 1 yx2 ' %1 zz transfplanespace_10.tex

42.11Reconnaˆıtreetcaract´eriserl’applicationd’expressionanaly- tique:

$ ' &1 xy 1 yz1 ' %1 zx1 transfplanespace_11.tex 42.12Reconnaˆıtreetcaract´eriserl’applicationd’expressionanaly- tique:

$ ' &12211 xxyzα 3333 12211 yxyzpα1q3333' %12121 zxyzpα2q 3333 transfplanespace_12.tex 42.13Reconnaˆıtreetcaract´eriserl’applicationd’expressionanaly-

tique:

??$ ' &? 3311 xxzp31q 222 1yy1 ?' %? 1131 zxzp13q 222 transfplanespace_13.tex 42.14Donnerl’expressionanalytiqueduvissaged’axe # xz^{2 0 2}D,d’angleπetdevecteur~u.transfplanespace_14.tex y0 Similitudesdirectesduplan 42.15Dansleplanaffineeuclidien,onconsid`eresunesimilitude directedecentreΩetd’angleθRπZ.SoitAunpoint,Dundroite 11 passantparA,necontenantparΩ.OnnoteDspDqetAspAq. 11 MontrerquelespointsΩ,A,AetDXDsontcocycliques.transfplanes- pace_15.tex