DM de MPSI2
Devoir non surveill´ e
Isom´ etries et groupes di´ edraux
Partie A – Isom´ etries du plan
On consid`ere le plan euclidienP, muni d’un rep`ere orthonormal direct (O,~i,~j). On l’identifie au corpsCdes nombres complexes.
Uneisom´etriedu plan est une applicationf :P → P conservant les distances, c’est-`a-dire, pour tous points M etN du plan :
f(M)f(N) =M N
On noteI(P) l’ensemble des isom´etries du plan.
A.1Montrer queI(P) n’est pas vide. Montrer que la compos´ee de deux isom´etries est une isom´etrie. Montrer que sif est une isom´etrie bijective, alors sa bijection r´eciproque est une isom´etrie.
A.2Montrer que l’unique isom´etrie fixant trois points non align´es est l’identit´e.
Indication : si A, B, C sont trois points align´es, et M un point du plan, on pourra consid´erer les cercles de centres respectifsA, B, C et passant parM.
A.3 Soitϕune similitude du plan (directe ou indirecte) de rapport 1,i.e.il existe des nombres complexes aet b,ade module 1, tels que l’expression complexe deϕsoit z7→az+b (siϕest directe) ouz7→a¯z+b(siϕ est indirecte).
a Montrer queϕest une isom´etrie bijective.
b On consid`ere les trois pointsA, B, C d’affixes respectives 0,1, i, et trois pointsA0, B0, C0 formant un triangle rectangle isoc`ele d’hypoth´enuse [B0C0] de longueur√
2. Montrer qu’il existe une similitudeϕde rapport 1 telle que :
ϕ(A) =A0, ϕ(B) =B0 et ϕ(C) =C0
A.4Montrer que l’ensemble des isom´etries du plan est l’ensemble des similitudes de rapport 1.
Etant inclus dans le groupe des permutations de´ P, on d´eduit du travail effectu´e queI(P) est un groupe (muni de la loi de composition entre applications).
On note en particulier que toute isom´etrie du plan est une bijection, que l’image d’un segment [AB] par une isom´etrief du plan est un segment de mˆeme longueur, d’extr´emit´esf(A) etf(B).
Partie B – Groupes di´ edraux
Fixons un entier natureln>3. On sait que l’ensemble Un des racinesn-i`emes de l’unit´e est :
Un={e2ikπn , k∈[[1, n]]}
Pour tout entier k ∈ [[1, n]], on note Ak le point d’affixe zk = e2ikπn , et Pn le polygone convexe r´egulier A1A2. . . An.
On ´etudie l’ensembleDn des isom´etriesf du plan laissantPn globalement invariant, c’est-`a-dire telles que : f(Pn) =Pn
B.1Montrer queDn n’est pas vide, et que sif, gsont des ´el´ements deDn, alorsf get f−1appartiennent `a Dn. D’apr`es des r´esultats g´en´eraux sur les (sous-)groupes, on peut en d´eduire queDn (muni de la composition) est un groupe.
B.2
a Donner l’expression complexe r de la rotation ρ de centre O et d’angle de mesure 2πn. Montrer que IdP, ρ, ρ2, . . . , ρn−1 (ne pas oublier : ici, on a par exempleρ2=ρ◦ρ) sont des ´el´ements deDn. Que vaut ρn?
bDonner l’expression complexesde la sym´etrie orthogonaleσpar rapport `a l’axe des abscisses. Montrer queσ, ρσ, . . . , ρn−1σsont des ´el´ements de Dn. Que vaut (ρσ)2?
cEn d´eduire queDn est de cardinal au moins 2n.
B.3Montrer queDn est de cardinal au plus 2n.
Indication : on pourra consid´erer l’image du segment [A1A2].
B.4On consid`ere un groupeG, d’´el´ement neutre e, et engendr´e par deux de ses ´el´ementsa et b(i.e.dont tout ´el´ement s’exprime comme produit des ´el´ements a, b, a−1, b−1). On suppose ´egalement que a et bv´erifient les trois relationsan=e,b2=eet (ab)2=e.
a Montrer, pour tout entier naturelk∈[[0, n−1]], la formule : bakb=an−k
bPour tout ´el´ement hdeG, on introduit l’application
ϕh : G → G g 7→ hg
de multiplication `a gauche par h.
Montrer que pour tout ´el´ement hdeG,ϕh est une permutation deG, et donner sa bijection r´eciproque.
cMontrer queGest fini, d’ordre inf´erieur ou ´egal `a 2n.
Indication : on pourra introduire l’ensemble X = {e, a, a2, . . . , an−1, b, ab, a2b, . . . , an−1b}, et montrer que ϕa(X) =ϕb(X) =X.
