Considérons deux points du plan A et B. La translation de A vers B est la trans- formation qui, à tout point C du plan, associe le point D tel que [AD] et [BC]

Chapitre V Vecteurs

Table des matières

1 Translations . . . 2

2 Translations . . . 2

3 Veteurs . . . 3

3.1 Dénitions . . . 3

3.2 Veteurs et géométrie . . . 4

3.3 Somme de deux veteurs . . . 5

3.4 Multipliation d'un veteur par un nombre réel . . . 6

4 Colinéarité . . . 7

4.1 Intuitivement . . . 7

4.2 Dénition etaratérisation . . . 8

5 Veteurs et oordonnées . . . 9

6 Compléments . . . 12

6.1 Chasles . . . 12

1.

Translations

Intuitivement, une translation est une

transformationgéométriquequiorrespond

à l'idée de glissement d'un objet, sans ro-

tation,retournementnidéformationde et

objet.

Définition 1 : Translation

Considérons deux points du plan A et B. La translation de A vers B est la trans- formation qui, à tout point C du plan, associe le point D tel que [AD] et [BC]

ont le même milieu.

Illustration :

A

b

b B

C 1

b

D 1

b

b

C 2

b

D 2

b

b

Translation

A translation movesevery point ofa gure by the same amountin agiven diretion.

2.

Veteurs

2.1. Dénitions

Conrètement direque

D

^{est l'imagede}

C

^{par la}translation quitransforme

A

^en

B

^,ela

signie que le trajet qui va de

A

^vers

B

^{est le même que elui qui va de}

C

^vers

D

^{. Les}

notions de segment et de droite ne susant pas à dérireles trajets, il onvient d'intro-

duire une nouvelle notion: lesveteurs.

Définition 2 : Vecteur

Un vecteur ^→ u est un objet mathématique caractérisé par : une direction, un sens, et une longueur (ou norme notée || ^→ u ||). Graphiquement, un vecteur est représenté par une flèche.

Vector

Avetor isageometriobjetthathasbothamagnitude(orlength)andadiretion.A

vetorisfrequentlyrepresentedbyalinesegmentwithadenitediretion,orgraphially

as anarrow.

Remarque : Unveteur

→ u

^{n'estpas xe: onpeut ledessiner n'importe oùsur unefeuille.}

Illustration :

Le veteur

→ u

^{i-dessous peut se plaer n'importe où sur lafeuille :}

→ u

→ u

→ u

→ u

Définition 3 : vecteurs égaux, opposés, nuls

• Des vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont même direction, même sens et même norme.

• Si A et B sont deux points tels que ⁻ AB ^{− − →} = ^→ u , alors on dit que ⁻ AB ^{− − →} est un représentant de ^→ u ;

• Le vecteur ⁻ BA ^{− − →} est l’opposé du vecteur ⁻ AB. Il a même direction, même norme mais ^{− − →} sens opposé à ⁻ AB ^{− − →} ;

• ^→ u = ⁻ AA ^{− − →} = ⁻ BB ^{− − − →} = · · · est appelé le vecteur nul et est noté ^→ 0 . Il n’a ni direction, ni sens.

Illustration :

Sur la gure i-dessous :

→ u

→ s

→ t

→ v

→ w

•

^Lesveteurs

^→ u

^et

^→ t

^{ne sont pas égaux, ar ils n'ont pas la mêmediretion.}

•

^Lesveteurs

^→ u

^et

^→ v

^{ne sont pas égaux, ar ils n'ont pas la mêmenorme.}

•

^Lesveteurs

^→ u

^et

^→ w

^{nesontpaségaux,arilsn'ontpaslemêmesens.Ilssontopposés.}

•

^Lesveteurs

^→ u

^et

^→ s

^{sont égaux.}

Equal vectors

Twoarrows

− − − − − →

AB

^and

− − − − − − − − →

A ^′ B ^′

^{representthesamevetoriftheyhavethesamemagnitudeand}

diretion. Equivalently,they are equalif the quadrilateral

ABB ^′ A ^′

^isa parallelogram.

Two vetors are opposite if they have the same magnitude but opposite diretions.

The null vetorhas nodiretionand amagnitude equalto

0

^.

2.2.

Veteurs et géométrie

Théorème 1 : Parallélogramme et vecteurs

ABCD est un parallélogramme (éventuellement aplati) si et seulement si ⁻ AB ^{− − →} = ⁻ DC. ^{− − − →}

Preuve. Supposons que

ABCD

^{soit un} parallélogramme. Les tés

[AB]

^et

[DC]

^{sont don}

égaux et parallèles et don les veteurs

− − − →

AB

^et

⁻ DC ^{− − − →}

^{ont même diretion, même sens, et même}

longueur. Ilssont don égaux.

Réiproquement, si

− − − →

AB = ⁻ DC ^{− − − →}

^{alors lessegments}

[AB]

^et

[DC]

^{sont égauxetparallèles etdon}

lequadrilatère

ABCD

^{est un}parallélogramme.

Exerie résolu 1 :

Soient

ABCD

^un parallélogramme,

E

^et

F

^{deux points tels que}

CDEF

^{soit aussi un}

parallélogramme, non onfonduave

ABCD

^.

1

^{. Faire une gure.}

2

^{. Traduire leshypothèses par deux égalités} vetorielles.

3

^{. Prouver que}

ABF E

^{est un} parallélogramme.

Solution :

1

^.

A

B D

C

E F

2

^.

ABCD

^un parallélogramme don

− − − − − →

AB = ⁻ DC ^{− − − − →}

^.

CDEF

^un parallélogramme don

− − − − − →

DC = ⁻ EF ^{− − − − →}

^.

3

^{. On déduit de 2. que}

⁻ AB ^{− − − − →} = ⁻ EF ^{− − − − →}

^{, e}

quiimpliqueque

ABEF

^{est unpar-}

allélogramme.

Théorème 2 : Milieu d’un segment

Le point I est le milieu de [AB] si et seulement si ⁻ AI ^{− →} = ⁻ IB ^{− →} (égalité qui peut aussi s’écrire ⁻ AI ^{− →} + ⁻ IB ^{− →} = ^→ 0 ou encore à ⁻ AB ^{− − →} = 2 ⁻ AI, voir section suivante). ^{− →}

Preuve. Supposons que

I

^{soitle mileude}

[AB]

^{.Ona alors}

IA = IB

^et

(IA)

^{parallèlesà}

(IB)

^.

Les veteurs

− − →

AI

^et

⁻ IB ^{− →}

^{ont même diretion,même sens,et même longueur.Ils sont don égaux.}

Réiproquement,si

− − →

AI = ⁻ IB ^{− →}

^{alors d'unepartleslongueurs}

AI

^et

IB

^{sontégalesetd'autrespart}

(AI)

^{est parallèle à}

(IB)

^{.Les droitesayant un point ommun, lespointssont alignés etdon}

I

est lemilieu de

[AB]

^.

2.3.

Somme de deux veteurs

Définition 4 : Somme

Soient ^→ u et ^→ v deux vecteurs, on définit le vecteur ^→ w somme des vecteurs ^→ u et ^→ v de la façon suivante :

Soit A un point du plan, on trace le représentant de ^→ u d’origine A : il a pour extrémité B.

Puis on trace le représentant de ^→ v d’origine B : il a pour extrémité C.

Le vecteur ⁻ AC ^{− − →} est un représentant du vecteur ^→ w = ^→ u + ^→ v .

Illustration : Construction de ^→ w = ^→ u + ^→ v à partir d’un point A donné.

→ u

→ v

A

→ u B

→ v

C

→ w

Théorème 3 : Relation de Chasles

¹

Pour tout point A, B et C du plan, on a :

− − − →

AB + ⁻ BC ^{− − − →} = ⁻ AC. ^{− − →}

Remarque : Cette propriété est onnue sous le nom de relation de Relation de Chasles.

Elle n'a pas de nom spéique dans lesautres pays.

The parallelogram rule

If two vetors

~ u

^and

~v

^{form the sides of a} parallelogram, then

~ u + ~v

^{is one of the}

diagonals.

Théorème 4 : Propriétés de l’addition de vecteurs Quels que soient les vecteurs ^→ u , ^→ v et ^→ w du plan, on a :

• ^→ u + ^→ v = ^→ v + ^→ u (commutativité) ;

• ( ^→ u + ^→ v ) + ^→ w = ^→ u + ( ^→ v + ^→ w) (transitivité) ;

• ^→ u + ^→ 0 = ^→ u .

2.4.

Multipliation d'un veteur par un nombre réel

Définition 5 : Multiplication

Soit ^→ u un vecteur non nul et k un réel non nul, on définit le vecteur ^→ v = k ^→ u par :

• Si ^→ u = 0 ou k = 0 alors k ^→ u = ^→ 0 .

• Si k > 0, ^→ v et ^→ u ont même direction, même sens et la norme de ^→ v vaut k fois celle de ^→ u ;

• Si k < 0, ^→ v et ^→ u ont même direction, sont de sens opposés et la norme de ^→ v est égale à |k| fois celle de ^→ u .

Illustration :

Sur la gure i-dessous :

→ u

→ v = 2 ^→ u

w → = −3 ^→ u

→ x = ¹ 2

→ u

→ y = − ⁴ ₃ ^→ u

• ^→ v = ⁻ 2u ^{− →}

^.

• w ^→ = ⁻ −3u ^{− − − − − − →}

^.

• ^→ x = ¹ ₂ ^→ u

^.

• ^→ y = − ⁴ ₃ ^→ u

^.

Théorème 5 : Propriété de la multiplication d’un vecteur par un nombre Quels que soient les vecteurs ^→ u , ^→ v et les réels k et l , on a :

• k( ^→ u + ^→ v ) = k ^→ u + k ^→ v (distributivité par rapport aux vecteurs) ;

• (k + l) ^→ u = k ^→ u + l ^→ u (distributivité par rapport aux réels) ;

• k(l ^→ u ) = (kl ^→ u ) (associativité) ;

Théorème 6 : Produit nul

Soit k un nombre réel et ^→ u un vecteur.

k ^→ u = ^→ 0 si et seulement si k = 0 ou ^→ u = ^→ 0

3.

Colinéarité

3.1.

Intuitivement

Exemple :

→ u ^→ v ^→ u

→ v

→ u

→ v

→ v = 2 ^→ v ^→ v = −4 ^→ v

^Impossible

Ces exemplespermettent de sentir intuitivement que :

•

^Si

^→ u

^et

^→ v

^{ont lamême diretion, il existe un réel}

k

^telque

^→ u = k ^→ v

•

^Si

^→ u

^et

^→ v

^{n'ontpas lamême diretion, il n'existe pas de réel}

k

^telque

^→ u = k ^→ v

3.2.

Dénition et aratérisation

Définition 6 : Colinéarité

Deux vecteurs sont dits colinéaires si et seulement si ils ont la même direction.

Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

Collinear vectors

Two vetors are ollinearwhen one is a non-zero salar multipleof the other.

Théorème 7 : Caractérisation de la colinarité

→ u et ^→ v sont colinéaires si et seulement s’il existe un réel k tel que ^→ u = k ^→ v .

Théorème 8 : Conséquence géométrique

Les droites (AB) et(CD) sont parallèles si et seulement si ⁻ AB ^{− − →} et ⁻ CD ^{− − − →} sont colinéaires.

Les points A, B et C sont alignés si et seulement si ⁻ AB ^{− − →} et ⁻ AC ^{− − →} sont colinéaires.

Preuve. En eet, le fait que les veteurs

− − − →

AB

^et

⁻ CD ^{− − − →}

^{soient olinéaires équivaut au fait qu'ils}

aient lamême diretion,'està direqueles droites

(AB)

^et

(CD)

^soient parallèles.

D'après la proposition préédente, les

− − − →

AB

^et

⁻ AC ^{− − →}

^{sont olinéaires si et seulement si les droites}

(AB)

^et

(AC )

^sont parallèles, 'està diresi etseulement si lespoints

A

^,

B

^et

C

^{sont alignés.}

Exerie résolu 2 :

ABC est un triangle.M et N sontles points tels que

− − − − − →

CN = 3 ⁻ AB ^{− − − − →}

^et

⁻ AM ^{− − − − − →} = − ¹ ₂ ⁻ AC ^{− − − − →}

^.

1

^{. Plaer lespointsM et N.}

2

^{. Exprimer}

⁻ M B ^{− − − − − − →}

^{en fontion de}

⁻ AB ^{− − − − →}

^et

⁻ AC ^{− − − − →}

^.

3

^{. Exprimer}

⁻ M N ^{− − − − − − →}

^{en fontion de}

⁻ AB ^{− − − − →}

^et

⁻ AC ^{− − − − →}

^.

4

^{. Conlure sur} l'alignement des points M,B etN.

Solution :

1

^.

b M

b A ^b B

b C ^b N

2

^.

⁻ M B ^{− − − − − − →} = ⁻ M B ^{− − − − − − →} + ⁻ AB ^{− − − − →} = ¹ 2

− − − − − →

AC + ⁻ AB ^{− − − − →}

^.

3

^.

⁻ M N ^{− − − − − − →} = ⁻ M A ^{− − − − − →} + ⁻ AC ^{− − − − →} + ⁻ CN ^{− − − − →} = ³ 2

− − − − − →

AC + 3 ⁻ AB ^{− − − − →}

4

^{. De 2. et 3., on onlut que}

⁻ M N ^{− − − − − − →} = 3 ⁻ M B ^{− − − − − − →}

^{don les veteurs}

⁻ M N ^{− − − − − − →}

^et

⁻ M B ^{− − − − − − →}

^sont

olinéaires don lespointsM,B et N sont alignés.

4.

Veteurs et oordonnées

Théorème 9 : Coordonnées d’un vecteur

Dans le repère (O; I, J ), on considère les points A(x A ; y A ), et B(x B ; y B ). On a :

− − − →

AB

x B − x A

y B − y A

Exerie résolu 3 :

Lire lesoordonnées des veteurs de la guresuivante :

1 2 3

−1

−2

1 2 3

−1

−2

−3

→ u

→ v

→ w

Solution :

→ u

^{a pour origine}

A(1; 1)

^{et pour extrémité}

B(4; 3)

^{don ses oordonnées}

sont

→ u

4 − 1 3 − 1

soit

3 2

,equipouvaitselirediretementsurlegraphique.Enfaisant

de même,ontrouve

→ v −2

3

et

w →

2

−1

.

Théorème 10 : Soient ^→ u

x

y

, ^→ v x ^′

y ^′

deux vecteurs et leurs coordonnées dans un repère et k un réel

• Egalité de deux vecteurs :

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales

→ u = ^→ v ⇐⇒

x = x ^′

y = y ^′

• Somme de deux vecteurs :

Le vecteur ^→ w = ^→ u + ^→ v a pour coordonnées ^→ w

x + x ^′ y + y ^′

• Produit d’un vecteur par un réel :

Le vecteur ^→ w = k ^→ u a pour coordonnées ^→ w

kx

ky

Exerie résolu 4 :

Soient

→ u 1

−3

,

→ v 5

3

et

→ w 5x

x + y

.

1

^{. Déterminerlesoordonéesde}

^→ u + ^→ v

^;

2

^{. Déterminerles oordonées de}

− ^→ u

^;

3

^{. Déterminerles oordonées de}

5 ^→ v

^;

4

^{. Déterminer lesoordonées de}

− ^→ u + 5 ^→ v

^;

5

^{. Déterminer}

x

^et

y

^{pour que}

^→ v = w ^→

^.

Solution :

1

^.

^→ u + ^→ v

1 + 5

−3 + 3

= 6

0

2

^.

− ^→ u −1

3

3

^.

5 ^→ v

5 × 5 5 × 3

= 25

15

4

^.

− ^→ u + 5 ^→ v

−1 + 25 3 + 15

= 24

18

5

^.

^→ v = w ^→ ↔

5x = 5 x + y = 3 ↔ x = 1

y = 2

Théorème 11 : Colinéarité Soient ^→ u

x

y

et ^→ v x ^′

y ^′

.

→ u et ^→ v sont colinéaires si et seulement si xy ^′ − x ^′ y = 0.

Preuve. Ondémontrera seulement

→ u

^et

^→ v

^{olinéaire implique}

x ^′ y − y ^′ x = 0

^.

Soient

→ u

^et

^→ v

^{deu veteurs}olinéaires.

Il existe unréel

k

^telque

^→ u = k ^→ v

^don

^→ u

^et

k ^→ v

^{ont lesmêmes} oordonnées.

Or

k ^→ v

^{apour oordonnées}

(kx ^′ ; ky ^′ )

^don

x = kx ^′

^et

y = ky ^′

^.

Onen déduit que

xy ^′ − yx ^′ = x(ky) − y(kx) = kxy − kxy = 0

^.

Définition 7 : Déterminant

La quantité xy ^′ − yx ^′ est appellé le déterminant des vecteurs ^→ u et ^→ v

Exerie résolu 5 :

1

^{. Les veteurs}

^→ u 6

−9

et

→ v −8

12

sont-ilsolinéaires?

2

^{. Les veteurs}

^→ a 2

−6

et

→

b −3

7

sont-ilsolinéaires?

Solution :

1

^.

6 × 12 − (−8) × (−9) = 72 − 72 = 0

^don

^→ u

^et

^→ v

^sont olinéaires.

2

^.

2 × 7 − (−3) × (−6) = 14 − 18 = −4 6= 0

^don

^→ a

^et

^→ b

^{ne sont pas} olinéaires.

Exerie résolu 6 :

Dans un repère

(O; I, J )

^{, ona}

A(4; 2), B(3; 7

2 ), C (1; 5

2 )

^et

D(1; 1 2 )

^.

Démontrer que ABCD est un trapèze.

Solution :

− − − − − →

AD

x D − x A

y D − y A

−3

− ³ ₂

− − − − − →

BC

x C − x B

y C − y B

−2

−1

−3 × (−1) − (−2) × (− ³ ₂ ) = 3 − 3 = 0

^{. Les veteurs}

⁻ AD ^{− − − − →}

^et

⁻ BC ^{− − − − →}

^{sont don} olinéaires.

Ainsi lesdroites

( AD )

^et

( BC )

^{sont parallèlesdon ABCD est un trapèze.}

Exerie résolu 7 :

Dans lerepère

(O ; I, J )

^{,ononsidère lespoints}

A(−1; 5)

^,

B(0; 3)

^et

C(2; −1)

^.

Montrer que les points

A, B

^et

C

^{sont alignés.}

Solution :

− − − − − →

AB

x B − x A

y B − y A

1

−2

− − − − − →

AC

x C − x A

y C − y A

3

−6

On remarque que

− − − − − →

AC = 3 ⁻ AB ^{− − − − →}

^{(ou onalulele} déterminant :

1 × (−6) − 3 × (−2) = 0)

Les veteurs

− − − − − →

AB

^et

⁻ AB ^{− − − − →}

^{sont olinéaires don lespoints}

A, B

^et

C

^{sont alignés.}

5. Compléments

5.1. Chasles

5.1.i) Bibliographie

MihelChasles,né en1793àÉpernon(Eure-et-Loir)etmortle18déembre1880àParis,

est un mathématiienfrançais.

Ilestnéen1793danslavilled'Épernon,situéenonloindeChartres.Aprèsdesétudesse-

ondairesbrillantes, Chaslesentre à l'Éole polytehnique en 1812. Il y devient professeur

en1841.En1846,unehairedegéométriesupérieureestrééepourluiàlaSorbonne.Ilest

élu en 1851 membre de l'Aadémiedes sienes, dont il était orrespondant depuis 1839.

En1837, ilpublieun ouvrageintitulé Aperçu historiquesur l'origineetledéveloppement

des méthodes en géométrie.

Son nom est attahé à la relation de Chasles mais ette propriété était déjà utilisée

longtemps avant lui. D'autre part, on lui doit aussi le théorème de Chasles qui stipule

que toutefontion harmonique, 'est-à-dire toutefontion qui est une solutionde l'équa-

tiondeLaplae,peutsereprésenterparunpotentieldesimpleouhesurl'unequelonque

de ses surfaes équipotentielles.

Il a inventé leterme homothétie,qu'ilprononçait /omoteti/aulieude /omotesi/omme

aujourd'hui.Il aaussi travaillésurleshomographiesetlagéométrie projetive. Ilaintro-

duit le rapport anharmonique appeléaussi birapportde 4 points alignés. Ses travaux de

géométrie lui valurent laMédaille Copley en 1865.

Il meurt le18 déembre 1880 àParis.

5.1.ii) Anedote

DansApologiepourl'Histoire,MarBlohrappelleunemésaventure humiliantesurvenue

àMihelChasles, éminenthommede sienes mais quiavaitvoulusemêler d'histoire,un

domaine oùil n'entendait rien.

Enjuillet1857l'illustremathématiienprésentaàl'AadémiedesSienestouteunesérie

de lettres inédites de Pasal, que le fameux faussaire Vrain-Luas venait de fabriquer.

Elles établissaient qu'avant Newton l'auteur des Pensées avait déouvert le prinipe de

l'attration universelle. Malheureusement un savant anglais t observer qu'on y trouvait

des mesures astronomiques bien postérieures à la mort de Pasal. Approvisionné une

nouvelle fois par Vrain-Luas, Chasles montra alors des lettres oùGalilée ommuniquait

à Pasal les résultatsde ses observations.

Sans se délarer battu notre Anglais remarqua ette fois que dans une lettre de 1641

Galiléeseplaignaitde samauvaisevuealors qu'ilétaitomplètementaveugledepuisprès

de quatre ans. Surgit alors une nouvelle lettre, postérieure à la préédente et datée de

déembre 1641 dans laquelleun autresavantitalien apprenait à Pasal que Galilée,dont

la vuen'avaitessé de baisser,avaitni par la perdre entièrement.

Sesollèguesdel'Institutprirentlahoseavebonnehumeur,maisàl'étranger(àLondres

en partiulier) on t des gorges haudes du manque d'esprit ritique des sientiques

français. Quant au pauvre Chasles, il se montra désespéré de s'être fait ainsi mystier.

D'autantque, ommeonl'appritplus tard, ilavaitaheté àVrain-Luas d'autres lettres,

de VeringétorixàJules César,de CésaràCléopâtre,toutesrédigées dans unsimilivieux

français.

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