On considère la transformation f du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que z ′ =

(1)

Spé Correction exo 2 travail maison 4 _2011-2012

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O; − → u ; − → v ) ; unité graphique : 8 centimètres.

On considère la transformation f du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point M ^′ d’affixe z ^′ telle que z ^′ =

√ 2

4 ( − 1 + i)z.

1. Nature et les éléments caractéristiques de la transformation f : L’écriture complexe de f s’écrit également : z ^′ − 0 = 1

2 e ⁱ

^3π⁴

(z − 0) . Sous cette forme, on reconnaît l’écriture de la forme réduire de f , ce qui permet de donner les éléments carctéristiques :

f a pour centre O, pour rapport 1

2 et pour angle 3π 4 .

Remarque 1 f est donc la composée dans un ordre indifférent de l’homothétie de centre O et de rapport 1 2 et de la rotation de centre O et d’angle 3π

4 .

2. On définit la suite de points (M n ) de la façon suivante : M 0 est le point d’affixe z 0 = 1 et, pour tout nombre entier naturel n, M n+1 = f (M n ). On note z n l’affixe du point M n .

(a) Pour tout nombre entier naturel n, a-t-on z n = 1

2 n

e ⁱ (

^3nπ4

) ? Notons P n cette propriété et démontrons-la par récurrence :

• Initialisation : 1

2 ⁰

e ⁱ⁰ = 1 = z 0 donc P 0 est vérifiée.

• Hérédité : On suppose que P k est vraie pour k ∈ N . Montrons que P k+1 est vraie.

M n+1 = f (M n ) ⇔ z n+1 = 1

2 e ⁱ

^3π⁴

z n ⇔ z n+1 = 1 2 e ⁱ

^3π⁴

×

1 2

ⁿ e ⁱ (

^3nπ4

)

⇔ z n+1 = 1

2 ⁿ⁺¹

e ⁱ

^3(n+1)π⁴

Ce qui prouve que P n+1 est vraie.

• D’après le principe du raisonnement par récurrence, P n est vraie pour tout n et donc : Pour tout nombre entier naturel n, z n =

1 2

ⁿ e ⁱ (

^3nπ4

) (b) Construction des points M 0 , M 1 , M 2 , M 3 et M 4 .

z 0 = 1 ; z 1 = 1

2 e

^3iπ⁴

= 1 2 ×

−

√ 2 2 + i

√ 2 2

= −

√ 2 4 + i

√ 2 4 ; z 2 =

1 2

²

e

^3iπ²

= − 1 4 i z 3 =

1 2

³ e

^iπ⁴

=

√ 2 16 + i

√ 2

16 et z 4 = 1

2 ⁴

e ^iπ = − 1 16

O ~ u

~ v

b

M 0 (1)

b

M 1 ( −

√ 2 4 + i ^√ ₄ ² )

b

M 2 ( − ¹ 4 i)

b

M 3 ( ^√ ₁₆ ² + i ^√ ₁₆ ² )

b

M 4 ( ₁₆ ¹ )

3. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative meme non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

My Maths Space 1 sur 2

(2)

Spé Correction exo 2 travail maison 4 _2011-2012

Soient n et p deux entiers naturels. À quelle condition sur n et p les points M n et M p sont-ils alignés avec l’origine O du repère ?

M n et M p alignés avec O si et seulement si ( −−−→ OM n ; −−−→ OM p ) = 0 (π) Évaluons ( −−−→

OM n ; −−−→

OM p )=arg z p

z n

=arg

1 2

^p e

^3ipπ⁴

1 2

ⁿ e

^3inπ⁴

!

=arg

1 2

^p − n

e

^3i(p−n)π⁴

=arg

e

^3i(p−n)π⁴

(2π) Ainsi M n et M p alignés avec O ⇔ 3(p − n)π

4 = 0 (π) ⇔ 3(p − n)π

4 = kπ ⇔ p − n = 4k 3 Or p, n ∈ N et k ∈ Z donc la relation précédente impose à k d’être un multiple de 3.

Ainsi la propriété se réalise si et seulement si p − n est un multiple de 4 . Vérification : M 4 , O et M 0 sont alignés.

On considère la transformation f du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que z ′ =

Spé Correction exo 2 travail maison 4 2011-2012

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O; − → u ; − → v ) ; unité graphique : 8 centimètres.

On considère la transformation f du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que z ′ =

√ 2

4 ( − 1 + i)z.

1. Nature et les éléments caractéristiques de la transformation f : L’écriture complexe de f s’écrit également : z ′ − 0 = 1

2 e i

(z − 0) . Sous cette forme, on reconnaît l’écriture de la forme réduire de f , ce qui permet de donner les éléments carctéristiques :

f a pour centre O, pour rapport 1

2 et pour angle 3π 4 .

Remarque 1 f est donc la composée dans un ordre indifférent de l’homothétie de centre O et de rapport 1 2 et de la rotation de centre O et d’angle 3π

4 .

2. On définit la suite de points (M n ) de la façon suivante : M 0 est le point d’affixe z 0 = 1 et, pour tout nombre entier naturel n, M n+1 = f (M n ). On note z n l’affixe du point M n .

(a) Pour tout nombre entier naturel n, a-t-on z n = 1

2 n

e i (

) ? Notons P n cette propriété et démontrons-la par récurrence :

• Initialisation : 1

2 0

e i0 = 1 = z 0 donc P 0 est vérifiée.

• Hérédité : On suppose que P k est vraie pour k ∈ N . Montrons que P k+1 est vraie.

M n+1 = f (M n ) ⇔ z n+1 = 1

2 e i

z n ⇔ z n+1 = 1 2 e i

×

1 2

n e i (

)

⇔ z n+1 = 1

2 n+1

e i

Ce qui prouve que P n+1 est vraie.

• D’après le principe du raisonnement par récurrence, P n est vraie pour tout n et donc : Pour tout nombre entier naturel n, z n =

1 2

n e i (

) (b) Construction des points M 0 , M 1 , M 2 , M 3 et M 4 .

z 0 = 1 ; z 1 = 1

2

e

= 1 2 ×

−

√ 2 2 + i

√ 2 2

= −

√ 2 4 + i

√ 2 4 ; z 2 =

1 2

2

e

= − 1 4 i z 3 =

1 2

3 e

=

√ 2 16 + i

√ 2

16 et z 4 = 1

2 4

e iπ = − 1 16

O ~ u

~ v

M 0 (1)

M 1 ( −

√ 2 4 + i √ 4 2 )

M 2 ( − 1 4 i)

M 3 ( √ 16 2 + i √ 16 2 )

M 4 ( 16 1 )

3. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative meme non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

My Maths Space 1 sur 2

Spé Correction exo 2 travail maison 4 2011-2012

Soient n et p deux entiers naturels. À quelle condition sur n et p les points M n et M p sont-ils alignés avec l’origine O du repère ?

M n et M p alignés avec O si et seulement si ( −−−→ OM n ; −−−→ OM p ) = 0 (π) Évaluons ( −−−→

OM n ; −−−→

OM p )=arg z p

z n

=arg

1 2

p e

1 2

n e

Spé Correction exo 2 travail maison 4 _2011-2012

On considère la transformation f du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point M ^′ d’affixe z ^′ telle que z ^′ =

1. Nature et les éléments caractéristiques de la transformation f : L’écriture complexe de f s’écrit également : z ^′ − 0 = 1

2 e ⁱ

e ⁱ (

2 ⁰

e ⁱ⁰ = 1 = z 0 donc P 0 est vérifiée.

2 e ⁱ

z n ⇔ z n+1 = 1 2 e ⁱ

ⁿ e ⁱ (

2 ⁿ⁺¹

e ⁱ

ⁿ e ⁱ (

²

³ e

2 ⁴

e ^iπ = − 1 16

√ 2 4 + i ^√ ₄ ² )

M 2 ( − ¹ 4 i)

M 3 ( ^√ ₁₆ ² + i ^√ ₁₆ ² )

M 4 ( ₁₆ ¹ )

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^p e

ⁿ e

^p − n