TSI 1 TD Lycée Les Lombards
TD . . . : Applications Exercice 1.
Soitf l’application deC\ {i}dansCqui a tout complexez∈C\ {i}associef(z) =2z−iiz+1 1. Déterminer l’image de 1 et les éventuels antécédents de 0 parf.
2. Le complexe −2ipossède-t-il une image parf? Un antécédent parf?
3. Montrer que tout complexez0 différent de−2ipossède un unique antécedent parf. Exercice 2.
Les applications suivantes sont-elles injectives ? surjectives ? bijectives ?
1. g1:
R→R x7→2x 2. g2:
[1,5]→R x7→2x
3. g3:
[2,5]→[2,10]
x7→2x 4. g4:
[1,5]→[2,10]
x7→2x Exercice 3.
Les applications suivantes sont-elles injectives ? surjectives ? bijectives ?
1. f1:
R → [−1; 1]
x 7→ cos(x) 2. f2:
R2 → R2
(x, y) 7→ (x+y, x−y) 3. f3:
[0; 2π] → C x 7→ eix
5. f4:
N →N n 7→ n+ 1 6. f5:
Z →Z n 7→ n+ 1 7. f6:
R+ →R
x 7→ √
x2+ 2 Exercice 4.
On considère l’applicationf deR\ {2}dansRdéfinie parf(x) = 4x+1x−2. 1. Calculer les limites def en +∞et−∞.
2. Calculer les limites def en 2+ et 2−.
3. Dresser le tableau de variations def. 4. Déterminer l’image réciproque f−1({4}).
5. L’applicationf est-elle surjective ?
6. SoitI=]2,+∞[. Prouver quefI est une bijection deI dansJ oùJ est un intervalle à préciser.
7. Déterminer l’application réciproquefI−1:J →I.
Exercice 5.
On considère l’applicationf deR2 dansR2 définie parf(x, y) = (x+y, xy) 1. Montrer quef n’est ni injective ni surjective.
2. Déterminerf−1({(3,2)}).
3. Déterminerf(R2).
Exercice 6.
On considère l’applicationf deNdansZdéfinie par
f(n) =
n
2 sinest pair
−n+12 sinimpair 1. Donner les valeurs def(n) pournallant de 1 à 8
2. Montrer quef est bijective et déterminer sa fonction réciproquef−1. Indication : Pour kfixé, on pourra chercher les antécédents de k parf.
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Exercice 7.
Soientf et gles applications deNdansNdéfinies pour toutn∈Npar f(n) =n+ 1
et
g(n) =
0 sin= 0 n−1 sin≥1
Etudier l’injectivité et la surjectivité de ces applications. Déterminerg◦f et f◦g.
Exercice 8.
On considère des applicationsf :A→B,g:B→C eth:C→D 1. Montrer queg◦f injective⇒f injective.
2. Montrer queg◦f surjective⇒g surjective.
3. Montrer que (g◦f eth◦g bijectives)⇔(f, get hsont bijectives) Exercice 9.
Calculer
1. arcsin(sin(8π9 )) 2. arcsin(cos(10π9 )) 3. arcsin(sin(10π9 )) 4. sin(arccos(13)) 5. sin(arccos(−14)) 6. tan(arccos(−13)) Exercice 10.
Montrer que pour toutx∈[−1; 1],
arcsin(x) + arccos(x) =π 2 Exercice 11.
Résoudre les équations suivantes à l’aide des fonctions trigonométriques réciproques : 1. cos(x) =13
2. sin(x) = 23 3. cos(3x) = 15 4. sin(2x) =14 Exercice 12.
Démontrer les propositions suivantes : 1. pour toutx∈[−1; 1],
cos(arcsin(x)) = sin(arccos(x)) =p 1−x2 2. Pour toutx∈]−1; 1[,
tan(arcsin(x)) = x
√1−x2 3. pour toutx∈[−1; 1]\ {0},
tan(arccos(x)) =
√1−x2 x
Exercice 13. 1. A l’aide de la fonction arctan, déterminer les arguments des nombres complexes 2 +i, 7 +i et 1 +i
2. Montrer la relation 2(2 +i)2= (1 +i)×(7 +i) 3. En déduire la formule 2 arctan(12)−arctan(17) =π4 4. Monter la relation (5+i)239+i4 = 2(1 +i)
5. En déduire une autre formule concernant π4 Exercice 14.
Etudier les variations et tracer la courbe représentative de chacune des fonctions suivantes : f(x) = arcsin
2√ x 1 +x
g(x) = (x−1)2arctan(x) h(x) =p
1−x2earcsin(x) k(x) = arctan
x−1 2−x
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