TSI 1 TD Lycée Les Lombards
TD . . . : Systèmes linéaires Exercice 1.
Déterminer si les deux systèmes suivants sont équivalents
(S)
2x+ 5y= 1 4x+ 12y= 4 et
(S0)
2x+ 5y= 1 y= 1 Exercice 2.
Résoudre les systèmes suivants :
1.
x + 2y + 0z = 0
−2x + y + z = 2
−x − y + 2z = 0
2.
x + 2y = 0
2x + y = 1
x + 2y = −1
3.
2y − z = 1
−2x − 4y + 3z = −1
x + y − 3z = −6
4.
x + y + z = 1
x + 2y + 3z = 2
4x + 6y + 8z = 6
5.
x − 2y + 3z = 1
−2x + 4y − 6z = −2
6.
x + z = 1
y + z = 0
x + y = 1
2x + 3y = 0
7.
x + 3y + 2z + t = −2
2x + 7y + 3z = −5
3x + 8y + 7z + 11t = 13
−2x − 8y − 2z + 6t = 18
8.
x + 2z + t = 1
y − z − 2t = 0 Exercice 3.
On considère l’équation différentielle surRy00−y0−6y= 10xe3x
On admet que cette équation a une solution particulière de la formex7→(ax2+bx+c)e3x où (a, b, c)∈R3 Résoudre le système de Cauchy
y00−y0−6y= 10xe3x y(0) = 25
y0(0) =45 Exercice 4.
Soient (a, b, c)∈R3. On note (S) le système :
x+ 2y−z=a
−2x−3y+ 3z=b x+y−2z=c
1. A quelle condition portant sura,bet cle système (S) admet des solutions ? 2. Résoudre (S) dansR3 lorsque (a, b, c) = (0,0,1)
3. Résoudre (S) dansR3 lorsque (a, b, c) = (1,−2,1) Exercice 5.
Soitm∈Ret
M =
2 1 1
3 −1 2
1 1 m
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Pour quelles valeurs demle système dont M est la matrice augmentée est-il compatible ? Exercice 6.
Discuter suivant les valeurs du nombre réelales solutions dansR3 du système
ax + y + z = a2
x + ay + z = a
x + y + az = 1
Exercice 7.
Déterminer la matrice échelonnée réduite par lignes équivalente à
1 −1 1 −1 1
1 1 2 −1 0
2 −2 3 −1 2
4 −2 6 −3 3
Exercice 8.
Démontrer qu’il existe une unique fonction polynomiale du second degré prenant la valeur 8 en -1, -2 en 1 et -4 en 3 puis déterminermtel que le système dont la matrice augmentée est écrite ci-dessous soit compatible
1 −1 1 8
1 1 1 −2
9 3 1 −4
2 1 −1 m
Résoudre le système pour cette ou ces valeurs dem.
Exercice 9.
L’espace est rapporté à un repère orthonormé (O,~i,~j, ~k) Discuter suivant les valeurs dem∈Rl’intersection de la droiteDd’équations
mx+ 2y+ 3z= 3 (m−1)x+my+z= 1 et du planP d’équation (m+ 1)x+my+ (m−1)z=m−1.
Exercice 10.
Etant donnés trois points du plan A1,A2 et A3 déterminer un triangle M1M2M3 tel queA1 soit le milieu de [M2M3],A2 le milieu de [M1M3] etA3le milieu de [M1M2]
Exercice 11.
Résoudre dansC2 le système suivant :
ix+ (3 + 2i)y = 1 + 2i (1 +i)x−2y = 3−i
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