TSI 1 TD Lycée Les Lombards
TD 3 : Géométrie du plan Exercice 1.
Le plan vectoriel−→
P est muni de la base orthonormée directe usuelle (~i,~j).
On se donne les vecteurs suivants par leur coordonnées dans la base (~i,~j) :~u(2; 1) ,~v(8;−2) etw~(−4; 1) . Déterminer si les couples de vecteurs suivants sont des bases de−→
P. Le cas échéant déterminer s’il s’agit d’une base directe ou indirecte, orthogonale ou non, orthonormée ou non :
(~u, ~v), (~u, ~w), (w, ~~ u), (~v, ~w) Exercice 2.
Le plan vectoriel−→
P est muni de la base orthonormée directe usuelle (~i,~j).
Soient les vecteurs~u(3; 1) et~v(1; 3) 1. Montrer que (~u, ~v) est une base de−→
P.
2. Cette base est-elle directe ou indirecte ? Est-elle normée ? Est-elle orthogonale ? 3. Donner les coordonnées des vecteurs~i et~jdans la base (~u, ~v)
4. Soient les vecteurs w~1 et w~2 de coordonnées respectives dans la base (~i,~j) : (4; 1) et (1; 2). Donner les coordonnées de w~1 et w~2 dans la base (~u, ~v).
Exercice 3.
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct (O;~i,~j), on donne le pointA de coordonnées polaires (4;π3) etM tel que l’angle (−→
OA,−−→
OM) ait pour mesure−π2 etOA=OM etB tel que −−→ OB=−−→
AM.
Déterminer les coordonnées polaires deB et les coordonnées cartésiennes deM. Exercice 4.
Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O;~i,~j) on donne les pointsA(−4,1),B(−1,2) etC(1,−4) 1. Montrer de deux manières différentes que le triangleABC est rectangle.
2. Déterminer les coordonnées du pointD tel que le quadrilatèreABCD soit un parallélogramme.
3. Calculer le produit scalaire−→
AC·−−→
BD Exercice 5.
Le plan est muni d’un repère non orthonormé (O;~u, ~v) tels quek~uk = 1, k~vk= 3 et (~u, ~v) = π3. On considère les vecteursw~1et w~2 dont les coordonnées respectives dans la base (~u, ~v) sont (5;−3) et (2; 4)
1. Placer sur une figure un couple (~u, ~v) respectant les contraintes de l’énoncé. Tracer ensuite les vecteurs
~
w1 etw~2.
2. Calculer le produit scalaire~u·~v et le déterminant det(~u, ~v).
3. Calculer le produit scalairew~1·w~2 et le déterminant det(w~1, ~w2).
Exercice 6.
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct (O;~i,~j), on se donne les points A(1,2),B(2,3) etC(3,0). A l’aide du déterminant, calculer l’aire du triangleABC .
Exercice 7.
Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on donne les droitesdetd0 d’équationsx+y= 2 et 3x−y−1 = 0 1. Montrer que les droitesdetd0 sont sécantes.
On note Aleur point d’intersection et on se donne les pointsB(5,2) etC(2,1).
2. Donner une équation cartésienne de (AB).
3. Donner une équation cartésienne de la perpendiculaire àd0 passant par B.
4. Donner une équation cartésienne de la parallèle à d0 passant parB.
5. Donner une équation cartésienne de la médiatrice de [BC]. Est-elle parallèle àd? àd0?
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Exercice 8.
Déterminer la distance du pointAà la droite Dsi, dans le plan muni d’un repère orthonormé 1. A(1,2) etDpasse par les points B(−4,1) etC(1,3).
2. A(−1,0) etDpasse parB(2,−2) et est dirigée par~u(−23) 3. A(−1,3) etDpasse parB(1,1) et a pour vecteur normal~n(−21) 4. A(1,4) etDa pour équation 2x+ 3y−9 = 0
Exercice 9.
Soientdla droite d’équationx−2y+ 1 = 0 etAle point de coordonnées (3,4).
1. Déterminer un système d’équations paramétriques ded.
2. Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite qui passe parAet perpendiculaire àd.
3. Calculer la distance deAà d.
Exercice 10.
Déterminer la nature des ensembles d’équations suivantes : 1. x2+y2−2x+ 3y−9 = 0
2. x2+y2−(x−y)2+ 3 = 0 3. 2x−3y=−9
Exercice 11.
1. Donner une équation cartésienne de la droite Dd’équations paramétriques :
x= 1 +t y= 2 + 3t
(t∈R)
2. Déterminer une équation cartésienne ainsi qu’un système d’équations paramétriques du cercleCde centre A(0,2) et de rayon 1.
3. Déterminer les éventuels points d’intersections de DetC Exercice 12.
SoitDmla droite passant parA(0,1) et de coefficient directeurmetCla courbe d’équationx2+y2−4x−2y+4 = 0 1. Vérifier queC est un cercle et déterminer son centre Ω et son rayonr.
2. Déterminer, suivant la valeur dem, le nombre de points d’intersection deDm etC.
3. On suppose quem=12. Donner une équation des tangentes àC issues deA.
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