TSI 1 DS Lycée Les Lombards
DS 1 : le 26 septembre 2020 Les calculatrices sont interdites
Exercice 1. 6 points.
Pour chacun des polynomes suivants, donner la forme développée, la forme canonique et la forme factorisée : 1. P1(x) =x2+ 4x−5
2. P2(x) = 2(x−2)(x+ 3) 3. P3(x) = 3(x+ 1)2−9 Exercice 2. 6 points.
Résoudre les équations et inéquations suivantes : 1. 3x2−3 = 0
2. 5x2−7x= 0 3. 2x2−14x+ 24≤0 4. 7x2−7x−14>0 5. 4x2−8x−16<0 6. 3x2+x+ 2<0 Exercice 3. 8 points.
Soitf la fonction définie sur ]0; +∞[ par
f(x) = 1
x−ln(x)
On appelleCf sa courbe représentative dans le repère orthonormé (O;~i,~j).
1. Sur le graphique ci-dessous, on donne Cf, et les courbes Γ etC, l’une étant la courbe représentative de f0 et l’autre celle d’une primitiveF def.
(a) Par lecture graphique, indiquer laquelle des deux courbesC ou Γ représentef0. Justifier sa réponse.
(b) Par lecture graphique donnerF(1).
2. Dans cette question on demande d’utiliser l’expression algébrique def mais on pourra vérifier la cohérence des résultats obtenus avec les courbes représentatives données sur le graphique ci-dessus.
(a) Déterminer la limite de la fonctionf quandxtend vers 0.
(b) Déterminer la limite de la fonctionf quandxtend vers +∞.
(c) Déterminer l’expression algébrique def0 puis montrer que pour toutx∈]0; +∞[, f0(x) =−x−1
x2 (d) Dresser le tableau de variations def.
3. SoitH la fonction définie sur ]0; +∞[ par
H(x) =x−(x−1) ln(x)
(a) Montrer queH est une primitive def sur ]0; +∞[ (c’est à dire queH est dérivable de dérivéef).
(b) En déduire l’expression de la fonctionF de la question 1.
(c) Calculer
Z x
1
f(t)dt
Année 2020-2021 Page 1/1 Mathématiques
