TSI 1 TD Lycée Les Lombards
TD . . . : Géométrie du plan et de l’espace Exercice 1.
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct (O;~i,~j), on se donne les points A(1,2),B(2,3) etC(3,0). A l’aide du déterminant, calculer l’aire du triangleABC .
Exercice 2.
Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on donne les droitesdetd0 d’équationsx+y= 2 et 3x−y−1 = 0 1. Montrer que les droitesdetd0 sont sécantes.
On note Aleur point d’intersection et on se donne les pointsB(5,2) etC(2,1).
2. Donner une équation cartésienne de (AB).
3. Donner une équation cartésienne de la perpendiculaire àd0 passant par B.
4. Donner une équation cartésienne de la parallèle à d0 passant parB.
5. Donner une équation cartésienne de la médiatrice de [BC]. Est-elle parallèle àd? àd0? Exercice 3.
Déterminer la distance du pointAà la droite Dsi, dans le plan muni d’un repère orthonormé 1. A(1,2) etDpasse par les points B(−4,1) etC(1,3).
2. A(−1,0) etDpasse parB(2,−2) et est dirigée par~u(−23) 3. A(−1,3) etDpasse parB(1,1) et a pour vecteur normal~n(−21) 4. A(1,4) etDa pour équation 2x+ 3y−9 = 0
Exercice 4.
Soientdla droite d’équationx−2y+ 1 = 0 etAle point de coordonnées (3,4).
1. Déterminer un système d’équations paramétriques ded.
2. Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite qui passe parAet perpendiculaire àd.
3. Calculer la distance deAà d.
Exercice 5.
Déterminer la nature des ensembles d’équations suivantes : 1. x2+y2−2x+ 3y−9 = 0
2. x2+y2−(x−y)2+ 3 = 0 3. 2x−3y=−9
Exercice 6.
1. Donner une équation cartésienne de la droite Dd’équations paramétriques :
x= 1 +t y= 2 + 3t
(t∈R)
2. Déterminer une équation cartésienne ainsi qu’un système d’équations paramétriques du cercleCde centre A(0,2) et de rayon 1.
3. Déterminer les éventuels points d’intersections de DetC Exercice 7.
SoitDmla droite passant parA(0,1) et de coefficient directeurmetCla courbe d’équationx2+y2−4x−2y+4 = 0 1. Vérifier queC est un cercle et déterminer son centre Ω et son rayonr.
2. Déterminer, suivant la valeur dem, le nombre de points d’intersection deDm etC.
3. On suppose quem=12. Donner une équation des tangentes àC issues deA.
Exercice 8.
On considère les pointsA(−1; 2; 1),B(1;−6;−1) ;C(2; 2; 2) etL(0; 1;−3).
1. Déterminer une équation cartésienne du plan contenant les points A, B et C. Le pointLappartient-il à ce plan ?
2. Soit P le plan d’équationx+y−3z+ 2 = 0 et P0 le plan dirigé par les vecteurs~i et~k et contenant le pointO. Déterminer l’intersection de P et P0.
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3. Ecrire une équation de la sphère de centreL et de rayon 5.
4. Déterminer l’intersection de S avec le planP.
5. Déterminer l’intersection de S avec la droite (OJ) oùJ(0,1,0) Exercice 9.
Soitdla droite passant par les pointsA(1,−2,−1) etB(3,−5,−2).
1. Donner un système d’équations paramétriques ded.
2. Soitd0 la droite d’équations paramétriques
x= 2−t y= 1 + 2t z=t
t∈R
Démontrer que les droitedetd0 ne sont pas coplanaires.
3. P est le plan d’équation 4x+y+ 5z+ 3 = 0.
(a) Démontrer queP contient la droited.
(b) Démontrer queP coupe la droited0 en un pointCque vous déterminerez.
4. ∆ est la droite passant parC et dirigée par le vecteur~v
1 1
−1
(a) Démontrer que ∆ etd0 sont coplanaires et orthogonales.
(b) Démontrer que ∆ coupe perpendiculairementden un pointEdont vous déterminez les coordonnées.
Exercice 10.
SoitD la droite d’équations paramétriques :
x+ 3y+ 2z−5 = 0 x+y−3 = 0 1. Le pointA(0,2,0) appartient-il àD?
2. Trouver une équation du plan P contenantD et passant parA.
3. SoitD0
x−z−1 = 0 3x−2y−z−2 = 0 D et D0 sont-elles parallèles ?
4. Déterminer le projeté orthogonal deE(1,2,3) sur D0. Exercice 11.
SoitP le plan d’équation 3x−4y+ 1 = 0 etP0 le plan d’équation 6x−2y−3z+ 2 = 0.
Déterminer l’ensemble des points équidistants deP et P0. Exercice 12.
On considère la sphèreS d’équation
x2+y2+z2−2x+ 6y−4z= 11 1. Donner le centre et le rayon de cette sphère.
2. Vérifier queA(5,−3,5) appartient àS.
3. Donner les coodonnées du point A0 diamétralement opposé àA.
4. Donner les équations cartésiennes des plans tangents àS enAet enA0. Exercice 13.
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct (O;~i,~j), on donne le pointA de coordonnées polaires (4;π3) etM tel que l’angle (−→
OA,−−→
OM) ait pour mesure−π2 etOA=OM etB tel que −−→ OB=−−→
AM.
Déterminer les coordonnées polaires deB et les coordonnées cartésiennes deM.
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Exercice 14.
Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O;~i,~j) on donne les pointsA(−4,1),B(−1,2) etC(1,−4) 1. Montrer de deux manières différentes que le triangleABC est rectangle.
2. Déterminer les coordonnées du pointD tel que le quadrilatèreABCD soit un parallélogramme.
3. Calculer le produit scalaire−→
AC·−−→
BD Exercice 15.
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct (O;~i,~j), on se donne les points A(1,2),B(2,3) etC(3,0). A l’aide du déterminant, calculer l’aire du triangleABC .
Exercice 16.
Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on donne les droitesdetd0 d’équationsx+y= 2 et 3x−y−1 = 0 1. Montrer que les droitesdetd0 sont sécantes.
On note Aleur point d’intersection et on se donne les pointsB(5,2) etC(2,1).
2. Donner une équation cartésienne de (AB).
3. Donner une équation cartésienne de la perpendiculaire àd0 passant par B.
4. Donner une équation cartésienne de la parallèle à d0 passant parB.
5. Donner une équation cartésienne de la médiatrice de [BC]. Est-elle parallèle àd? àd0?
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Exercice 17.
Déterminer la distance du pointAà la droite Dsi, dans le plan muni d’un repère orthonormé 1. A(1,2) etDpasse par les points B(−4,1) etC(1,3).
2. A(−1,0) etDpasse parB(2,−2) et est dirigée par~u(−23) 3. A(−1,3) etDpasse parB(1,1) et a pour vecteur normal~n(−21) 4. A(1,4) etDa pour équation 2x+ 3y−9 = 0
Exercice 18.
Soientdla droite d’équationx−2y+ 1 = 0 etAle point de coordonnées (3,4).
1. Déterminer un système d’équations paramétriques ded.
2. Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite qui passe parAet perpendiculaire àd.
3. Calculer la distance deAà d.
Exercice 19.
Déterminer la nature des ensembles d’équations suivantes : 1. x2+y2−2x+ 3y−9 = 0
2. x2+y2−(x−y)2+ 3 = 0 3. 2x−3y=−9
Exercice 20.
1. Donner une équation cartésienne de la droite Dd’équations paramétriques :
x= 1 +t y= 2 + 3t
(t∈R)
2. Déterminer une équation cartésienne ainsi qu’un système d’équations paramétriques du cercleCde centre A(0,2) et de rayon 1.
3. Déterminer les éventuels points d’intersections de DetC Exercice 21.
SoitDmla droite passant parA(0,1) et de coefficient directeurmetCla courbe d’équationx2+y2−4x−2y+4 = 0 1. Vérifier queC est un cercle et déterminer son centre Ω et son rayonr.
2. Déterminer, suivant la valeur dem, le nombre de points d’intersection deDm etC.
3. On suppose quem=12. Donner une équation des tangentes àC issues deA.
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