TSI 1 DS Lycée Les Lombards
DS 6 : février 2021 CALCULATRICES INTERDITES.
Soin et rédaction : 4 points.
Exercice 1. 10 points.
Soientaet bdeux nombres réels. On étudie le système linéaire suivant :
x−2y+ 3z = 1 x+ 3y−2z = 1 2x−y+az = b Déterminer en fonction des valeurs de aet b:
1. Le nombrend’équations 2. Le nombrepd’inconnues 3. Le rang du système
4. Le nombre d’équations de compatibilité 5. Le nombre de paramètres du système 6. L’ensemble des solutions du système
Exercice 2. 10 points.
On donne dans le plan muni d’un repère orthonormé directR= (O,~i,~j).
A(1;−2), B(−3; 4) et (D) : 3x−y+ 4 = 0
1. Donner deux points à coordonnées entières de la droite (D), tracer la droite (D) et placer les pointsAet B.
2. Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB).
3. On note I le point d’intersection des droites (AB) et (D), déterminer par le calcul les coordonnées du pointI et vérifier graphiquement le résultat obtenu.
4. SoitJ le point de (D) d’abscisse nulle, déterminer la distance deJ à la droite (AB).
5. SoitCle cercle d’équation :x2+y2+ 2x−2y−11 = 0 , déterminer les coordonnées du centre et le rayon de ce cercle.
6. Donner une équation cartésienne de la tangente au cercle en K(−4,−1).
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Exercice 3. 20 points.
Pour chacune de ces questions vous devez déterminer parmi les 4 affirmations celles qui sont vraies et celles qui sont fausses.
Toutes les affirmations peuvent être vraies ou une seulement, ou deux, ou trois ou aucune.
Toutes vos réponses doivent être justifiées.
L’espace est muni d’un repère orthonormé direct (O;~i,~j, ~k).
1. On donnez1=−1−i√
3,z2=√ 6−i√
2 (a) |z2|= 2√
2 (b) (z1)=−5π6
(c) z2=i√ 2z1 (d) (z2z1) = π2
2. On considère l’équation à l’inconnuez : 2z2−(2i+a)z+ai= 0 oùaest un nombre complexe donné.
(a) iest toujours solution de l’équation.
(b) −iest toujours solution de l’équation.
(c) Sia= 0 , les deux solutions sont 0 eti.
(d) Les deux solutions de l’équation sont :a2 et−i.
3. On considère l’équation z3=−8
(a) Cette équation admet comme solutions−2,−2j et−2j2 avecj=ei2π3 (b) 1−i√
3 est une solution de l’équation . (c) 1 +i√
3 est une solution de l’équation.
(d) Les points d’affixe les trois solutions forment un triangle équilatéral.
4. On donne~u
m m+ 1 2−m
et~v
1 2 m
oùmest un nombre réel.
(a) ~uet~v ne peuvent jamais être colinéaires.
(b) ~uet~v ne peuvent jamais être orthogonaux.
(c) Il existe une seule valeur dempour laquelle~uet~v sont orthogonaux.
(d) ~uet~v ne peuvent jamais être égaux.
5. On donne~u
1 2
−1
,~v
1 2 3
,w~
3 6 2
et~t
a+ 1 a2+a
a
oùaest un réel donné.
(a) Les vecteurs~u, ~vet w~ sont coplanaires.
(b) [~u, ~v, ~w] = 0
(c) ~u∧~v a pour coordonnées
8 4 0
(d) [~u, ~v, ~t] = 4(a+ 1)(a−2)
6. On donneP le plan d’équation 2x−y+ 3z−5 = 0
(a) ~n
2 1 3
est un vecteur normal à P.
(b) A(2,−4,−1)∈P.
(c) ~u
0 3 1
est un vecteur directeur deP.
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(d) Le planP0 d’équation :−4x+ 2y−6z= 0 est un plan parallèle au planP.
7. On donneA(1,−4,3) , B(−2,−7,0) etC(3,−2,5).
(a) Les pointsA,B et C sont alignés.
(b) Le système
x= 1 +t y=−4 +t z= 3 +t
(t∈R)
est un système d’équations paramétriques de la droite (AB)
(c) ~u
1 1 1
dirige la droite (AB).
(d)
2x−y−z−3 = 0 x−2y+z−12 = 0
est un système d’équations cartésiennes de la droite (AB).
8. On considère l’équation : x2+y2+z2−2x+ 4y+ 4z+ 5 = 0 (a) Cette équation est l’équation d’une sphère dont le rayon est 5.
(b) Cette équation est l’équation d’une sphère dont le rayon est√ 5.
(c) Cette équation est l’équation d’une sphère dont le centre estI(−1,2,2).
(d) A(1,0,−2) est un point de la sphère.
9. On considère le planP d’équation :x+ 2y−4z+ 3 = 0 , le pointI(−2,2,1) et D la droite dirigée par
~ u
0 4
−3
et passant parA(1,−1,2)
(a) La distance entre le pointI et le planP est √1
21
(b) La droiteD rencontre le planP enK 1,15,1110 (c) I est un point de la droiteD.
(d) La distance entre le pointI et la droiteD est
√269 5
10. On considère le système :
mx−2y+z= 1 x−2my+z=−2 x−2y+mz= 1 (a) Pourm= 0, le système n’a pas de solution.
(b) Pourm= 1, le système n’a pas de solution.
(c) Pourm= 2, l’ensemble des solutions du système estS={(1; 1; 1)}
(d) On a
m −2 1
1 −2m 1
1 −2 m
= (m−1)(m−2)(m+ 1)
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