Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses et justifier : JJJG JJJG e) AB = DC a) OB = OC JJJG b
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Texte intégral
(2) Exercice 4 Sur. la. figure. ci-contre,. formée. de. ou ki. parallélogrammes juxtaposés, déterminer : JJJG (1) un représentant de DB JJJG (2) trois représentants de AE JJJG (3) un représentant de FG d’origine B JJJG (4) un représentant de CF d’extrémité E G (5) un représentant de 0 JJJG (6) un représentant de −AF. (1). C. ha. Exercice 5. Reproduire le parallélogramme ABCD ci-dessus dans votre cahier puis. ou ra. a. construire les points E, F, G, H et I définis par : JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG CE = AC ; BF = AC ; DG = AC ; JJJG JJJG JJJG JJG AH = −BC ; IA = AC . (2). Quelle est la nature des quadrilatères BCEF et DGEC.. (3). Que représente le point A pour le segment [ IC ] ?. Exercice 6. uz. Calculer les sommes vectorielles indiquées en. Bo. utilisant la figure ci-contre : JJJG JJJG (1) AE + AO JJJG JJJG (2) AE + DF JJJG JJJG JJJG (3) BD − BA − AO JJJG JJJG (4) OC − FC JJJG JJJG JJJG (5) DO + BC + AE JJJG JJJG (6) AB + AD.
(3) Exercice résolu 7 Déterminer la somme des vecteurs sur chacune des figures suivantes et expliquer votre démarche.. a. C. ha. ou ki. (1). Bo. uz. ou ra. (2). (3).
(4) (5). (6). a. ou ra. uz. Bo. ou ki. ha. C. (4).
(5) (9). a. ou ra. uz. Bo. ou ki. ha. (8). C. (7).
(6) (12). a. ou ra. uz. Bo (11). ou ki. ha. C. (10).
(7) (15). a. ou ra. uz. Bo (14). ou ki. ha. C. (13).
(8) Exercice 8 (1) (2) (3). G G Sur les figures (1) à (8) de l’exercice 7, construire u − v . G G G Sur les figures (9) et (10) de l’exercice 7, construire u − v − w . G G G Sur les figures (11) et (12) de l’exercice 7, construire u = a − b , G G G G G G G G G v = b − c et w = a − c . Quelle est la relation entre u , v et w ?. C. ha. ou ki. Exercice résolu 9. uz. ou ra. représentant de JJJG JJJG (1) AD + CF JJJG JJJG (2) GC + AC JJJG JJJG (3) HE + BC JJJG JJJG DH (4) DE JJG − JJJ G (5) GJ + BF JJG JJG (6) DI + JI JJJG JJG (7) FG − AI. a. Sur la figure ci-dessus, formée de parallélogrammes juxtaposés, déterminer un (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14). JJG JJG IF JJG − FJ JJJG JJG AI + AE + FJ JJJG JJJG JJJG AF + HD + BD JJG JJJG JJG JE + FG − ID JJG JJJG JJG GJ − DA + BI JJJG JJG JJJG JJJG FD + IA + CG − FH JJJG JJJG JJJG JJJG ED + AH + CF − FH. Bo. JJJG JJJG JJJG JJG Déterminer le point O sur la figure tel que : AO = CF + 21 FG − IA . JJJG JJJG JJJG JJJG Déterminer le point P sur la figure tel que : EP = AD + 21 GC + AB. Exercice 10. Démontrer les propriétés vectorielles suivantes à l’aide d’une figure. G G G G G G (1) − ( −a ) = a (5) 2 ⋅ (a − b ) = 2a − 2b G G G G G G G G G (2) v − u = −( u − v ) (6) u + v + u = 2u + v G G G G G G G G (3) u − ( v + w ) = u − v − w (7) −3 ⋅ ( 2u ) = −6u G G G G G G G G (4) a − (e − r ) = a − e + r (8) 2 ⋅ ( − 53 z ) = − 130 z.
(9) a. C. ha. ou ki. Exercice résolu 11. ou ra. Sur la figure ci-dessus, construire le point JJJG JJG (1) I tel que EI = 2AB (5) JJJG JJG (2) J tel que GJ = −AB (6) JJJG JJJG (3) K tel que CK = − 25 AB (7) JJJG JJG J (4) L tel que LC = 21 CD (8). JJJG JJJG M tel que MA = 23 EF JJJG JJJG N tel que NH = − 23 DC JJJG JJJG JJJG P tel que EP = 2EF + CD JJJG JJJG JJJG Q tel que HQ = 2 ( AB − CD ). uz. Exercice 12. Bo. Soit ABCD un parallélogramme. Construire les points M, N, P, Q définis par : JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG AM = 21 AB + 23 AD ; BN = 23 BD − 13 AC ; JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG CP = 43 AD − 21 AB + BC ; 2AB + QD = 3CD − 21 BC .. Exercice 13 A et B étant deux points distincts donnés, construire si possible les points inconnus Q, R, S, T, U, V, W, X, Y et Z en résolvant les équations vectorielles correspondantes : JJJG JJJG JJJG (1) AQ = AB + QB JJJG JJJG (2) AR = RB JJJG JJJG (3) AS = 5BS. (4) (5) (6). JJJG JJJG JJJG BT − 3AT = 2AB JJJG JJJG G AU + BU = 0 JJJG JJJG G AV + VB = 0.
(10) (7) (8). JJJG JJJG JJJG 2AY − 3BY = 21 AB JJJG JJJG JJJG (10) −2AZ + BZ = 2BA. JJJJG JJJG 2AW = −WB JJJG JJJG JJJG XA + XB = 2AB. (9). Exercice 14 A et B étant deux points distincts donnés, construire les points M et P tels JJJJG JJJG JJJG G G JJJG que : 2AM − 3AB = 0 et PA − 5BP = 0. ou ki. Exercice 15 A, B et C étant trois points non alignés donnés, construire si possible les. points inconnus U, V, W, X, Y et Z en résolvant les équations vectorielles (4) (5) (6). a. C. Exercice résolu 16. JJJG JJJG JJJG G −3XA + XB + XC = 0 JJJG JJJG JJJG JJJG AY − 2BY + 3CY = 2AB JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG AZ − 3ZB = 2 (CZ + AZ − BC ). ha. correspondantes : JJG JJJG JJJG JJJG (1) UA + UB + UC = BC JJJG JJJG JJJG G (2) AV − VB − VC = 0 JJJJG JJJJG JJJJG JJJG (3) 2AW − BW − CW = AB. Bo. uz. ou ra. En observant la figure ci-dessus, compléter les relations de colinéarité suivantes : JJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJJG (10) MK = ... KG et GK = ... MK (1) AE = ... AB et AB = ... AE JJJG JJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJG JJJG (2) GD = ...JP et JP = ...GD (11) DN = ... HR et HR = ... ND JJG JJJG JJG JJJG JJJG JJG JJJG JJJG (3) CL = ...QN et NQ = ...CL (12) LA = ... RB et RB = ... AL JJJG JJJG JJJG JJJG JJG JJJG JJJG JJJG (4) DH = ... AF et FA = ... HD (13) FL = ... NE et NE = ... LF JJJG JJG JJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG (5) GR = ... IQ et IQ = ...GR (14) KJ = ... BP et PB = ...JK JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJG (6) OH = ...OE et OE = ...OH (15) AA = ... AM et BB = ... IJ JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJG JJG (7) BP = ... LG et PB = ... LG (16) IO = ... AR et RA = ...OI JJG JJG JJG JJG JJJG JJG JJJG JJJG (8) QI = ... IE et IQ = ... EI (17) BK = ...CL et BK = ... LC JJJG JJJG JJG JJG JJG JJG JJJG JJJG (9) JE = ...JQ et JQ = ...JE (18) GG = ... AD et AD = ...GG.
(11) Exercice 17. JJJG Dans chacun des cas suivants, déterminer une relation de colinéarité entre AB et JJJG AC , puis faire une figure : JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG (1) AB = 2BC (4) 2BA = 3CB − AC JJJG JJJG JJJG JJJG (2) CB = AB (5) AC = − 43 BC JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG (3) AC = −BC (6) 13 AB = 65 CB + AC. Soit A et B deux points distants de 1,5 cm. JJJG JJJG (1) Construire le point C tel que BC = 25 AB . JJJG JJJG (2) Construire le point D tel que AD = − 43 AB . (4). JJJG JJJG Compléter et démontrer la relation de colinéarité : CD = ... AB . JJJG En déduire la longueur du vecteur CD en cm.. ha. (3). ou ki. Exercice résolu 18. Exercice 19. (3) (4). JJJG JJJG AD et AC . JJJG JJJG AB et AD . JJJG JJJG AC et BC .. a. (2). Construire le point D. JJJG Exprimer AB en fonction de JJJG Exprimer AC en fonction de JJJG Exprimer AD en fonction de. ou ra. (1). C. Soit ABC un triangle quelconque et D le point défini par : JJJG JJJG JJJG AD = AB − 3AC .. Exercice 20. Soit ABCD quadrilatère quelconque, M le milieu de [AB], N le milieu de [BC],. uz. P le milieu de [CD] et Q le milieu de [AD]. JJJG JJJG JJJJG JJJG (1) Montrer que MN = 21 AC et QP = 21 AC . (2). En déduire la nature du quadrilatère MNPQ.. Bo. Exercice 21. Soit G le centre de gravité d’un triangle ABC et A ' = mil [ BC ] , JJJJG JJJJG JJJJG G B ' = mil [CA ] , C ' = mil [ AB ] . Montrer que AA ' + BB ' + CC ' = 0 .. Exercice 22 Soit G le centre de gravité d’un triangle ABC. Montrer JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJG JJJG JJJG AG = 13 ( AB + AC ) , BG = 13 ( BA + BC ) et CG = 13 (CA + CB ) .. 11. que.
(12) Exercice 23 Soit G le centre de gravité d’un triangle ABC et. A ' = mil [ BC ] ,. B ' = mil [CA ] , C ' = mil [ AB ] .. (1). Compléter les relations de colinéarité suivantes : JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJG GA = ...GA ' ; GB = ...GB ' ; GC = ...GC ' .. (2). En déduire que G est le centre de gravité du triangle A ' B 'C ' .. ou ki. Exercice 24. Soit G le centre de gravité d’un triangle ABC et B ' = mil [CA ] , C ' = mil [ AB ] .. A ' = mil [ BC ] ,. (3). Quelle est l’isométrie qui transforme le triangle ABC en le triangle. ha. (2). Construire les points P,Q et R tels que : JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG a) GP = GB + GC , b) GQ = GC + GA et c) GR = GA + GB . JJJG JJJG JJG J JJJG JJJG JJJG Montrer que : GP = −GA , GQ = −GB et GR = −GC .. (1). C. PQR ?. Exercice 25 respectivement.. a. Soit G et G ' les centres de gravité de deux triangles ABC et DEF JJJG JJJG JJJG JJJG J Montrer que : AD + BE + CF = 3GG ' .. (2). En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que deux triangles. ou ra. (1). aient le même centre de gravité.. Exercice 26. Soit G le centre de gravité d’un triangle ABC.. JJJG JJJG JJJG JJJG Montrer qu’il existe un point unique D tel que DA + DB + DC = 3AB .. (2). Quelle est la nature du quadrilatère ABGD ?. uz. (1). Bo. Exercice 27. Soit ABC un triangle.. (1). (2). Construire les points I, J et K tels que : JJG JJJG JJJG • AI = AB + AC JJJG JJJG JJJG • BJ = 2BA + AC JJG JJJG JJJG • CK = CA + CB Démontrer que les droites AI, BJ et CK sont concourantes en G, centre de gravité du triangle ABC.. 12.
(13) Exercice 28 Soit G le centre de gravité d’un quadrilatère quelconque ABCD, c.-à-d. G est l’unique point vérifiant l’égalité : JJJG JJJG JJJG JJJG G GA + GB + GC + GD = 0 . Construire le point G après avoir démontré que : JJJG JJJG JJJG JJJG AG = 14 ( AB + AC + AD ) .. (2). Soit M le milieu de [AB] et P le milieu de [CD]. Donner une construction G JJJG JJJG plus simple du point G après avoir démontré que GM + GP = 0 .. (3). Soit N le milieu de [BC] et Q le milieu de [AD]. Donner une construction G JJJG JJJG encore plus simple du point G après avoir démontré que GN + GQ = 0 .. (4). Quelle est la nature du quadrilatère MNPQ ?. ha. ou ki. (1). Exercice 29. C. Soit ABC un triangle quelconque, O le centre du cercle circonscrit C à ABC. a. et A ' le milieu de [ BC ] . On définit le point H par la relation vectorielle : JJJG JJJG JJJG JJJG OH = OA + OB + OC . JJJG JJJG (1) a) Démontrer que : AH = 2OA ' .. ABC. (2). ou ra. b) En déduire que H appartient à la hauteur issue de A dans le triangle a) Démontrer de même que H appartient aux deux hauteurs issues de B et de C respectivement dans le triangle ABC. b) Quel théorème vient-on de démontrer de cette façon ? Rappeler. uz. comment on appelle le point H dans le triangle ABC.. Soit G le centre de gravité du triangle ABC. En utilisant une JJJG JJJG caractérisation vectorielle de G, démontrer que : OH = 3OG . Que peut-. Bo. (3). on en déduire pour les points O, G. et H ? Enoncer le théorème. démontré ainsi.. Remarque : La droite passant par les points O, G et H est appelé droite d’Euler. (4). Montrer que les symétriques de l'orthocentre par rapport aux milieux des côtés du triangle sont situés sur le cercle circonscrit C au triangle.. 13.
(14) (5). Montrer que les symétriques de l'orthocentre par rapport aux côtés du triangle sont situés sur le cercle circonscrit C. au. triangle.. Exercice 30 La figure ci-contre représente le pentagone régulier. ABCDE de centre O, c.-à-d. O est le centre du cercle. du pentagone ABCDE.. (4) (5). Montrer qu’on a également : JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG OA + OB + OC + OD + OE //OE . JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G En déduire que OA + OB + OC + OD + OE = 0 .. ha. (3). JJJG JJJG JJJG Montrer de même que OE + OC //OD . JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG En déduire que OA + OB + OC + OD + OE //OD. C. (2). ou ki. circonscrit à ce pentagone. JJJG JJJG JJJG (1) Montrer que OA + OB //OD . Indication : OD est un axe de symétrie. (O est donc le centre de gravité du pentagone ABCDE.) Utiliser le résultat précédent pour prouver que : JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G a) AC + BD + CE + DA + EB = 0 et JJJG JJJG JJG JJJG JJJG G b) AD + BE + CA + DB + EC = 0. ou ra. a. (6). Exercice 31. Soit ABC un triangle. On définit les points D, F et G par JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG AD = 23 AB , AF = 14 BA et GC = 5GA . Par D on trace la parallèle à BC qui coupe AC en E. Donner les relations JJJG JJJG JJJG JJJG de colinéarité entre a) les vecteurs CE et AC b) DE et CB . Justifier.. uz. (1) (2). Démontrer que GF et DE sont parallèles. Justifier !. Bo. Exercice 32. Soit un parallélogramme ABCD de centre O. JJJG JJJG JJJG JJJG (1) Construire les points E et F tels que : AE = 14 AC et AF = 3FC . JJJG JJJG JJJG JJJG (2) Montrer que AE = EO = OF = FC . (3). Montrer que BEFD est un parallélogramme.. (4). Soit. I = mil [ AD ]. et. J = mil [ BC ] . Montrer que IEJF est un. parallélogramme. (5). La droite BE coupe respectivement AD en G et CD en H. Montrer que : JJJG JJG • AG = 23 AI 14.
(15) • •. JJJG JJJG BE = 14 BH JJJG JJJG HD = 2DC. Exercice 33 Soit ABCD un rectangle, I = mil [ AB ] et J = mil [ DC ] . Les droites DI et BC sont sécantes en K et les droites KJ et DB sont sécantes en G. JJJG JJG (1) Démontrer que KG = 2GJ . Que représente G pour le triangle DCK ? Démontrer que GC // AJ .. (3). AJ coupeDB en H. Démontrer que IGJH est un parallélogramme.. Bo. uz. ou ra. a. C. ha. ou ki. (2). 15.
(16) Solution de l’exercice 7. ha. ou ki. (1). C. JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJJG G G u + v = AB + CD = AB + BB ' = AB '. Bo. uz. ou ra. a. (2). JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJJG G G u + v = DB + DC = DB + BC ' = DC '. (3). JJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG G G u + v = RS + RT = RS + ST ' = RT '. 16.
(17) C. ha. ou ki. (4). uz. (5). ou ra. a. JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJJG G G u + v = AB + CD = AB + BB ' = AB '. JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJJG G G u + v = AB + CD = AB + BB ' = AB '. Bo. (6). JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJJG G G u + v = AB + AC = AB + BC ' = AC '. 17.
(18) ha. ou ki. (7). C. JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJJG G G u + v = AB + CB = AB + BB ' = AB '. uz. ou ra. a. (8). JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJJJG G G u + v = AB + CD = AB + BB ' = AB ' = A ' A ''. Bo. (9). 18.
(19) ou ki. JJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJJJJG JJJJG G G G u + v + w = AB + CD + EF = AB + BB ' + B ' B '' = AB ''. ou ra. a. C. ha. (10). JJG JJJG JJJJG JJG JJJG JJG G G G G G G u + v + w = ( u + w ) + v = ( IJ + JK ) + MN = IK + KL = IL. (On a utilisé la commutativité et l’associativité de l’addition des vecteurs.). Bo. uz. (11). JJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJJJG JJJJG G G G a + b + c = OA + OB + OC = OA + AA ' + A ' A '' = OA '' (12). 19.
(20) ou ki. ha. JJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJJJG JJJJG G G G a + b + c = OA + OB + OC = OA + AA ' + A ' A '' = OA ''. uz. ou ra. a. C. (13). Bo. JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJJG G G G G a + b + c = (OA + AC ) + OC = OC + OC = OC + CC ' = OC ' ( = 2c ) JJJG JJJG JJJG G JJJG G G G (14) a + b + c = OA + AC + CO = OO = 0 (vecteur nul). (15). 20.
(21) Solution de l’exercice 9 (2). JJJG EC. (3). G 0. (7). JJG FJ. (8). JJJG DF. (9). JJJG AH. (13). ( FD + CG ) + IA − FH. JJJG. JJG. JJJG. JJJG HE. JJJG (10) AD. JJG JJJG JJG JJJG = FH + IA − FH = IA. ou ra. JJJG. (4). C. JJJG AE. a. (1). Bo. uz. JJJG JJJG JJJG JJG AO = CF + 21 FG − IA ⇔ O = mil [ EF ] JJJG JJJG JJJG JJJG EP = AD + 21 GC + AB ⇔ P = mil [GC ]. 21. ou ki. ha. G G G G G G a +b +c +d +u + v G G G G G G = (a + b + u ) + (c + d ) + v JJG G JJJG JJJG G G = 0 + w + v = CD + DA = CA. (5). JJG CJ. G (11) 0 JJJG (14) AF. (6). JJG JB. JJJG (12) BD.
(22) ou ra. Solution de l’exercice 16. a. C. ha. ou ki. Solution de l’exercice 11. Bo. uz. En observant la figure ci-dessus, compléter les relations de colinéarité suivantes : JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG (1) AE = 4AB et AB = 14 AE (11) DN = HR et HR =− ND JJG JJJG JJJG JJG JJJG JJG JJJG JJJG 11 RB et (2) GD = − 21 JP et JP = −2GD (12) LA = 16 RB = − 16 11 AL JJG JJJG JJJG JJG JJG JJJG JJJG JJJG (3) CL = −3QN et NQ = 13 CL (13) FL = − 23 NE et NE = 23 LF JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG (4) DH = 45 AF et FA = 54 HD (14) KJ = − 141 BP et PB = −14JK JJJG JJG JJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJG 8 (5) GR = 11 8 IQ et IQ = 11 GR (15) AA = 0 AM et BB = 0 IJ JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJG JJG 7 (6) OH = 10 OE et OE = 10 7 OH (16) IO = 176 AR et RA = 176 OI JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJG JJJG JJJG 14 LG (7) BP = − 14 LG et PB = 5 5 (17) BK =CL et BK = − LC JJG JJG JJG JJG JJJG JJJG JJJG JJJG (8) QI = 2 IE et IQ = 2 EI (18) GG = 0 AD et AD = ...GG JJG JJG JJG JJG (9) JE = − 75 JQ et JQ = − 75 JE impossible ! JJJJG JJJG JJJG JJJJG (10) MK = 21 KG et GK = −2 MK. 22.
(23) Solution de l’exercice 18 (1) et (2) :. (4) CD =. 29 6. ⋅ 1, 5. =. 29 6. ⋅ 23. =. 29 4. = 7,25 cm. ou ki. JJJG JJJG JJJG JJJG CD = CB + BA + AD JJJG JJJG JJJG = − 25 AB − AB − 43 AB JJJG = ( − 25 − 1 − 43 ) AB JJJG = − 29 6 AB. Bo. uz. ou ra. a. C. ha. (3). 23.
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