TSI 1 DS Lycée Les Lombards
DS 3 : novembre 2020
Le devoir est constitué d’exercices indépendants qui pourront être abordés dans un ordre quelconque.
Une attention particulière sera apportée au soin et à la rédaction. Le soin et la rédaction sont notés sur4 points.
Les calculatrices sont autorisées
Durée : 4h
Exercice 1. 8 points.
Résoudre les équations différentielles suivantes : 1. y00+y= 0
2. y00+ 2y0+y=e−x 3. y00−y= 2ex 4. y00+ 3y0+y=e4x
Exercice 2. 8 points.
Développer en utilisant la formule du binôme de Newton : 1. A= (x+ 1)5
2. B = (x−1)6 3. C= (2 +ix)7 4. D= (1−it)6
Exercice 3. 4 points.
Soituune suite telle queu0= 2 et pour tout n∈N,un+1=−7un. Montrer par récurrence surn∈Nque, pour toutn∈N,un= 2×(−7)n.
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Exercice 4. 4 points.
Montrer par récurrence surn∈Nque, pour toutn∈N,
n
X
k=0
k= n(n+ 1) 2 .
On admet que pour tout (a, b)∈]0; +∞[×]0; +∞[, on a ln(ab) = ln(a) + ln(b).
Soitx∈]0; +∞[.
Montrer par récurrence surnque, pour toutn∈N,
ln(xn) =nln(x) Exercice 5. 6 points.
Soitn∈N∗. On poseSn=
n
X
k=0
k2et Tn =
n
X
k=0
(k+ 1)3et Wn=Pn k=0k3. 1. Développer (k+ 1)3 à l’aide de la formule du binôme de Newton.
2. En déduire une expression deTn en fonction deWn, deSn et de n.
3. En effectuant le changement d’indicej =k+ 1 dans la sommeTn, trouver une autre expression deTn qui dépendra de Wn et den.
4. En utilisant l’égalité des deux expressions de Tn obtenues, exprimer Sn en fonction de n. On montrera queSn =n(n+1)(2n+1)
6 .
Exercice 6. 6 pointsOn considère l’équation (E)
y00−y=f(x) oùf est une fonction continue deRdansR.
1. Justifier qu’il existe une unique solution de (E) vérifiant y0(0) = 0 et y(0) = 0. Dans toute la suite on noteraucette solution.
2. Déterminer explicitementudans les différents cas suivants : (a) f :x7→5
(b) f :x7→sin(5x) (c) f :x7→3e−x (d) f :x7→cos2(x)
3. (a) On rappelle qu’une fonctiong=R→Rest paire si pour toutx∈R,g(−x) =g(x).
Montrer que sif est paire alorsg :x7→u(−x) est aussi solution de (E) et vérifie aussig(0) = 0 et g0(0) = 0.
(b) En déduire queuest paire.
Exercice 7. Bonus.
Montrer la formule du binôme de Newton en utilisant un raisonnement par récurrence.
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