TSI 1 DS Lycée Les Lombards
DS : 5 décembre 2020
Calculatrice INTERDITES.
Durée : 2H.
Soin et rédaction notés sur 2 points.
Exercice 1. 6 points.
1. Déterminer les racines 8e de l’unité et placer leur image dans le plan complexes.
2. Résoudre dansCl’équation z2= 3−6i 3. Résoudre l’équation dans Cl’équationz3= 7i
4. Résoudre l’équation dans Cl’équationz4+ 3z2−2 = 0
5. Soitj la racine troisième de l’unité qui vérifie Re(j)<0 etIm(j)>0.
(a) Donner la forme trigonométrique dej (b) Donner la forme algébrique dej
(c) Montrer quej+j2+j3= 0 Exercice 2. 6 points.
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O,~i,~j).
On considère les nombres complexesZ1 = (1 +i)(1 + 2i) , Z2 = 2+6i3−i et Z3 = −4ii−1 et on noteM1, M2 et M3
leurs images respectives dans le plan.
1. MettreZ1,Z2 etZ3 sous forme algébrique et placerM1,M2et M3 dans la plan.
2. Calculer ZZ3−Z1
2−Z1.
3. Quelle est la nature du triangle M1M2M3?
4. DéterminerZ4 tel queM1M2M4M3soient un carré (où on a notéM4l’image de Z4).
Exercice 3. 6 points.
On considère l’équation (E)
z4+ 3iz3−(3i+ 2)z2+ (10−3i)z+ 3i−9 = 0 1. Montrer que cette équation possède une racine réelleaet la déterminer.
En déduire qu’il existe un polynômeP de degré 3 que l’on déterminera tel que : z4+ 3iz3−(3i+ 2)z2+ (10−3i)z+ 3i−9 = (z−a)P(z) 2. Montrer que l’équation P(z) = 0 possède une racine imaginaire pure et la déterminer.
3. En déduire une factorisation deP(z).
4. Résoudre l’équation (E).
Année 2020-2021 Page 1/1 Mathématiques
