Exercice n 3( 8 points ) Exercice n 2( 6 points )  Exercice n 1(6 points )

Texte intégral

(1)Lycée secondaire : ALI BOURGUIBA KALAA KBIRA Prof : MAATALLAH. Année scolaire : 2011 - 2012. Devoir de contrôle n ° 1. Classes : 4 M. Date : 19 – 11 - 2011. Durée : 2 heure. Epreuve : Mathématiques. Exercice n 1 (6 points ) 1/On considère les suites ( a) b) c) 2/. ). ∈. ∗. ,( ). ∈. ∗. et (. ). ∈. ∗. (1) k = , Vn  U 2 n et k k 1 n. définies par :. =. Etudier le sens de variation des suites ( ) ∈ ∗ et ( ) ∈ ∗ . Etablir que ( ) ∈ ∗ et ( ) ∈ ∗ sont adjacentes . Montrer que ( ) ∈ ∗ est convergente . soit ( ) ∈ et ( ) ∈ deux suites à valeurs dans [0 ; 1 ] telles que lim SnTn  1 . Etudier le comportement n . des deux suites (. ). ∈. et ( ). Exercice n 2 ( 6 points ). ∈. en +∞ .. 1/ Déterminer l’ensemble des points. d’affixe tels que ̅. 2/ Soit un nombre complexe différent de 1 . Montrer que. soit un réel .. est un réel si , et seulement si , | | = 1. 3/ Le plan P est muni d’un repère orthonormé direct (o, u,v ), on désigne par A , et B les points d’affixes1 et -1. Soit. l’application du plan P\{A} dans P qui à tout point M(z) associe le point M’(z’ ) tel que : z =. a) Etablir que | ′| = 1 et que. est réel . Montrer que. est un imaginaire .. ̅. b) Interpréter géométriquement les trois propriétés établies dans la question précédente . Donner une construction géométrique de point M’ connaissant le point M .. Exercice n 3 ( 8 points ). Soit la fonction. définie sur [0, [ par:. ( )= 1−2. ( ).. 1/ Montrer que l’équation ( ) = 0 admet dans ]0, [ une unique solution 2/ Soit. la fonction définie sur −. ,. par :. ( )=. et que. | |cos( ) .. ∈]. ,. [ .. a) Montrer que est paire . b) Etudier la dérivabilité de. à droite en 0 puis interpréter graphiquement le résultat obtenu .. d) Etudier les variations de. sur [0, ] puis construire. c) Montrer que. est dérivable sur ]0, ] et que ∀. ∈]0, ] :. e) Donner un encadrement de ( ) et montrer que ∀. 3/ Soit. la fonction définie sur [ , ] par :. a) Etudier les variations de. . b) En déduire qu’il existe un unique réel. ( ). √. ( ). dans un repère orthonormé ( , , ).. ∈ [0, ] on a :. ( ) = cos( ) − √ .. ∈]. ( )=. ( ) < 1.. , [ tel que ( ) =. Il sera tenu compte de la rédaction et la bonne présentation de la copie ..

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