Exercices sur la dérivabilité Exercice 1 :

(1)

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Exercices sur la dérivabilité

Exercice 1 :(avec solution)

On considère la fonction f définie par :

1- Montrer que f est dérivable au point . 2- Donner une interprétation géométrique aux résultats obtenus.

Exercice 2

Soit la fonction f définie par : . 1- Déterminer le domaine de définition de f .

2- Calculer .

3- Etudier la dérivabilité de f à droite de x₀ 1 . 4- Interpréter géométriquement résultat obtenu .

5- Déterminer pour tout et dresser

Le tableau de variation de f . Exercice 3

Soit la fonction f définie sur IR par : . 1- Déterminer le domaine de définition de f.

2-

3- Etudier la dérivabilité de f à droite de 2 ,puis donner une Interprétation géométrique au résultat obtenu.

4- Montrer que :

5- a) Montrer que f admet une fonction réciproque sur un intervalle J à déterminer.

b) Montrer que est dérivable au point 3 ; puis calculer . Exercice 4 :(avec solution)

Soit la fonction f définie sur par : .

1- Etudier la dérivabilité de f à droite de 0 ,puis donner une interprétation géométrique au résultat obtenu .

2- Montrer que : , puis dresser son tableau De variation .

3- Soit g la restriction de f sur ^I ^



^4;^



^.

a) Montrer que g admet une fonction réciproque sur un intervalle

 

³

2 2 2 2

f x x x si x

f x x si x

   



  



0 0 1 2 x  et x 

 

^{1 2} ²

f x   x x x

   

lim lim

x f x et x f x

 

 

f x ^{x de}



^^{;0 1;}

 

^et ^



 

³ ²

f x x x

 

lim

x f x



   

₂

   

3

4 6

2;

3 2

f x x x

x

     



f

^1

 

^f ^¹ ^

^{ }

³

IR^ ^{f x}

 

^^x



^x^²



²

 

²

 

¹ ²



f x  x x

(2)

J à déterminer.

b) calculer .(on remarquera que . Exercice 5

Soit la fonction f définie par : 1- Calculer

2- Montrer que f est continue en 0 .

3- Etudier la dérivabilité de f à droite et à gauche de 0, puis donner une interprétation géométrique du résultat obtenu.

4- Calculer sur chacun des intervalles Puis dresser le tableau de variation de f . 5- Soit g la restriction de f sur l’intervalle

a) Montrer que g admet une fonction réciproque définie sur un intervalle à déterminer.

b) montrer que est dérivable au point , puis calculer

sachant que : .

Exercice 6 :

Soit la fonction définie sur :

1/ Etudier la continuité de en 2/ Etudier la dérivabilité de en

3/ Donner une interprétation géométrique aux résultats obtenus Exercice 7 :

Donner les fonctions dérivées des fonctions suivantes (il n’est pas demandé l’étude de la dérivabilité)

 

^g^¹ ^

^{ }

⁹ ^g

 

⁹ ^⁹

 

2 0 0 1

f x x x si x

f x x si x

x

   



 

 

 



 

lim lim

x f x et x f x

 

 

f  x  ^0; ^   ^et ^ ^;0 

 

^0;1

g

^1 ³

4

 

 

 

 

¹ ³

g

^

    

4

  

1 3

4 4

 g       

   

 

f 

^0;^



( ) 1 0 1

( ) ² 1 1 4

f x x x

    

   



f x₀ 1

f

x₀ 1

(3)

Exercice 8 :

Etudier la dérivabilité de au point et donner une interprétation géométrique au résultat :

 

5 4 3

3

( ) 1 2 5 4

2

( ) 2 1

² 1

( ) 3

( ) 4 3 ( ) 4

² 1

f x x x x x

f x x x

x x

f x x

     

  

   



  

 



4

3 3

( ) ² 1

( ) sin cos ² ( ) cos 2

4

( ) ² 1

( ) 3 2

f x x

x

f x x x

f x x

f x x x



  

 

    

   

   

( ) 2 ² 3 1 f x x x

   

f x

₀

 a

 

3

0

( ) 1 2

( ) 1 1 au point à droite

f x x a

f x x a ^ x a

   

    

Exercices sur la dérivabilité Exercice 1 :