SERIE : 2
4 : MATH Mr. Karmous EXERCICE : 1
Exercice 1
1/ Déterminer l’ensemble des points N d’affixe z tels que ´z z² soit un réel . 2/ Soit z un nombre complexe différent de 1 . Montrer que i (z+1
1−z) est un réel si , et seulement si , |z | = 1 3/ Le plan P est muni d’un repère orthonormé direct (o, ⃗u , ⃗v ), on désigne par A , et B les points d’affixes 1 et -1.
Soit l’application du plan P\{A} dans P qui a tout point M(z) associe le point M’(z’ ) tel que : z’ = z−1 1−´z a) Etablir que | z′| = 1 et que z'−1
z−1 est réel . Montrer que z'+1
z−1 est un imaginaire .
b) Interpréter géométriquement les trois propriétés établies dans la question précédente . Donner une construction géométrique de point M’ connaissant le point M .
Exercice 2
Le plan complexe P rapporte a un repère orthonormé direct (O, u, v). Soient les points A(−i) et B(−1) et f l’application : P\{A} → P,
M(z) → M′(z′) avec z′ = 1+i z 1−i z 1. déterminer l’ensemble des points M(z) tel que z′ ϵ R.
2. déterminer l’ensemble des points M(z) tel que |z’| = 1.
3. (a) Montrer que (z′ + 1)(z + i) = 2i.
(b) D´déterminer l’ensemble des points M′ lorsque M ∈ au cercle de centre A et de rayon 1 4. Soit θ ϵ ]0, π[.
(a) Donner l’´ecriture exponentielle des nombres complexes : 1 + eiθ et 1 − eiθ
(b) On pose z = eiθ , donner la forme exponentielle de 1 + iz et 1 − iz. En déduire la forme exponentielle de z′.
5. Soit N un point d’affixe 1 + iz, d´déterminer l’ensemble des points N lorsque θ varie sur ]0, π[.
Exercice 3
Le plan complexe P rapport´e `a un repere orthonormé direct (O, u, v). on considère les points I(1) et A(i) et f l’application : P\{I} → P, M(z) → M′(z′) avec z′ = iz
z−1 1. Déterminer les points invariants par f.
2. Déterminer l’ensemble E des points M(z) tels que ⃗OM et ⃗OM ’ sont colinéaires.
3. D´déterminer l’ensemble F des points M(z) tels que arg z′ ≡ π
6 [ 2 π]
4. On prend z = eiθ ou θ ϵ ]0, 2π[. Montrer que : z ′ = 1 2 sin(θ
2) ei θ2
puis déterminer θ pour que |z′|
= 1
Exercice 4
Dans le plan complexe rapport´e `a un repere orthonormé (O, u, v), on considère le point A d’affixe (−1) et les points M, N et P d’affixes respectives z, z² et z3 où z ϵ C\{−1, 0, 1}.
1. (a) Montrer que : (Le triangle MNPest rectangle en P) ⟺ 1+z
z est imaginaire pur.
(b) On pose z = x + iy où x et y sont deux réels. Montrer que : 1+z
z = x²+y²+x−iy x²+y²
(c) En déduire que l’ensemble des points M tel que le triangle MNP soit rectangle en P est le cercle Γ de diamètre [OA], privé des points O et A.
2. Soit M ϵΓ et H son projeté orthogonal sur l’axe (O, u). On se propose de construire les points N et P d’affixes respectives z² et z3 tels que le triangle MNP soit rectangle en P.
(a) Montrer que : ( ⃗OM , ⃗ON ) ≡( ⃗u , ⃗OM ) [ 2 π] puis que ( ⃗ON , ⃗OP ) ≡( ⃗u , ⃗OM ) [ 2 π]
(b) Montrer que OH = OM².
(c) Donner un procédé de construction des points N et P puis les construire Exercice 5
Le plan complexe P est rapporte a un repère orthonormée direct (O, u, v). On note A le point d’affixe 1 et par C le cercle trigonométrique. On considère l’application f de P dans P, qui `a tout point M(z) on associe le point M’(z’) telle que z′ = 2z – z².
1. Déterminer les points invariants par f.
2. Déterminer l’ensemble des point M(z) tels que arg(z’) − 2 arg(z) ≡ π
2 [2 π ]
3. Soit z1 = 1 + i eiθ et z2 = 1 - i eiθ , montrer que les points M1 et M2 d’affixes respectives z1 et z2 sont symétriques par rapport a un point fixe.
4. Dans cette question M ∈ C ∖ {A}
(a) Montrer que AM = MM′.
(b) Montrer que : z'−1
z est un réel.
(c) En déduire que A et M′ sont symétriques par rapport a la tangente au cercle C au point M.
Exercice 6
Le plan complexe P est rapport´e `a un repère orthonormé direct (O, u, v). On note A le point d’affixe i et f : P\{A} → P, M(z) M′(z′) avec z′ = z²
i−z (a) i. Déterminer les affixes des points invariants par f .
ii. Montrer que si z est imaginaire pur, alors z′ est aussi imaginaire pur.
(b) i. Montrer que si M ≠ O on a : ( ⃗OM , ⃗OM ’ ) ≡ π + ( ⃗AM , ⃗OM ) [2 π ] ii. Déterminer l’ensemble des points M tels que ⃗OM et ⃗OM ’ soient orthogonaux.
