LM 315 Feuille no2 2007-2008 Exercice no1
Soit Q le carré [0; 1]2. Calculer les valeurs moyennes sur Q de inf(x; y); jx yj et sup(x; y).
Exercice no2
Soit a; b et c trois réels. Montrer que l'intégrale Z
R2exp ax2 + 2bxy + cy2
d2 est nie si et seulement si a; c < 0 et b2 < ac, et la calculer dans ce cas.
Exercice no3
Soit I =
Z
R+R+
1
(1 + x)(1 + xy2)d2(x; y).
1) Montrer, par des changements de variables dans des intégrales simples, que I = 2
Z +1
0
du 1 + u2
2
et donner sa valeur.
On commencera par calculer Z +1
0
dy
1 + xy2 à x xé, en posant u =p x y.
2) Montrer que Z +1
0
ln y
y2 1dy converge et la calculer en utilisant 1) et l'identité 1
(1 + x)(1 + xy2) = 1 y2 1
1
1 + x
y2 1 + xy2
. Exercice no4
Soit B la boule de centre O et de rayon 1 dans R3. Calculer I = Z
Bjxyzj d3(x; y; z).
Exercice no5
Pour a < b 2 R on pose Ia;b = Z 1
0
tb ta ln t dt.
1) Déterminer l'ensemble E des (a; b) tels que Ia;b converge.
2) Lorsque (a; b) 2 E calculer Ia;b.
Utiliser l'identité F (b) F (a) = Z b
a F0(u) du si F est C1 sur [ a; b ] et le Théorème de Fubini.
Exercice no6
Voir envoi 1 exercice 4 pour les notations et les propriétés déjà connues de H.
Soit f : R+ ! R+ une fonction décroissante et continue. On dénit g : R+ ! R par x ! g(x) = f(x) sin x: On suppose que l'intégrale
Z +1
0 f(x) dx converge.
1) Montrer que Z +1
0 g(x) dx converge.
2) Montrer que 8k 2 N;
2k g(x) dx 0:
3) Que conclut-on en sommant sur k 2 N ?
4) En utilisant une intégrale double et des coordonnées polaires, montrer que 8t > 0; [H(t)]2 =
4(i + t) : 5) Montrer que =(H(t)) 0:
(= désigne la partie imaginaire.) 6) Montrer l'existence de lim
t!0+H(t) et calculer cette limite.
7) Peut-on conclure directement à l'existence de H(0) ? Exercice no7
En utilisant la relation 8 x 2 R+; 1 t =
Z +1
0 e xtdx, vérier que l'intégrale Z +1
0
sin t t dt converge et donner sa valeur.
Calculer Z A
" sin t e txdt pour 0 < " < A et bien vérier les hypothèses du Théorème de Fubini.
Exercice no8
Pour > 0 on note () = Z +1
0 t 1e tdt.
Pour ; > 0, on note B(; ) = Z 1
0 t 1(1 t) 1dt.
1) Vériez que les intégrales dénissant et B convergent.
2) En utilisant le Théorème de Fubini et les coordonnées polaires, vériez l'identité 8 ; > 0 () () = B(; ) ( + ):
Poser t = x2 dans () et t = y2 dans ().
3) Précisez les valeurs de ; et > 0 pour lesquelles les intégrales suivantes sont nies, et lorsqu'elles le sont exprimer leurs valeurs à l'aide de la fonction .
Z
R+
d(x) 1 + x;
Poser u = 1 1 + x
Z
R+R+
d2(x; y) 1 + x+ y
Passer en coordonnées polaires et poser X2 = x et Y2 = y
Z
R+R+R+
d3(x; y; z) 1 + x+ y + z
Passer en coordonnées sphériques
.
Exercice no9
Pour x = (x1; x2) 2 R2, on pose kxk =p
x21+ x22. 1) Pour quelles valeurs de l'intégrale I1; =
Z
kxk1
d2
kxk est-elle nie ? Que vaut alors I1;?
2) Pour quelles valeurs de l'intégrale I1; = Z
kxk1
d2
kxk est-elle nie ? Que vaut alors I1;?
3) Reprendre les deux questions précédentes en dimension 3.
4) On xe y 2 R2 tel que y 6= (0; 0).
Pour quelles valeurs de et l'intégrale I; = Z
R2
d2
kxkkx yk est-elle nie ? Indication : On dénit une partition de R2 comme suit :
A1 =
x 2 R2; kxk < kyk=2 d'où x 2 A1 =) kyk=2 < kx yk < 3kyk=2, A2 =
x 2 R2; kx yk < kyk=2 d'où x 2 A2 =) kyk=2 < kxk < 3kyk=2, A3 =
x 2 R2; kxk > 2kyk d'où x 2 A3 =) kxk=2 < kx yk < 3kxk=2, A4 = R2 n (A1 [ A2[ A3).
En utilisant 1) et 2), on déterminera les valeurs de et telles que Z
Ai
d2
kxkkx yk soit nie pour 1 i 4.
Exercice no10
Soit B la boule unité de R3, i.e. centrée en O et de rayon 1, et C l'intérieur du cylindre d'équation x 122
+ y2 = 14: Calculer le volume de E = B \ C.
On notera que, dans le plan Oxy, l'équation en polaires du cercle C de centre 1
2; 0
et de rayon 1=2 est donné par r = cos, variant de =2 à +=2.
On pourra utiliser les coordonnées sphériques, les coordonnées cartésiennes ou les coordonnées cylindriques. Dans ce dernier cas on laisse une variable inchangée et on passe en coordonnées polaires sur les deux autres. Ici la variable inchangée sera z.
Exercice no11
Soit D le disque unité, i.e. de rayon 1 et de centre O. On note la distance moyenne d'une droite (AB) au centre O lorsque A et B sont deux points (distincts) décrivant D. Soit
= 1
4(D D) Z
DDd (AB); O
d4(A; B)
- 6
SS
SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS
>
>
= o r
r r
A
B C AB!
x
y r
(AB)
i
j
O
>
SS SS SS SS SS SS o
Calculer en eetuant les étapes suivantes.
Poser U =AB et passer d'une intégration en (A; B) à une intégration en (A; U).! Passer en polaires par rapport à U.
On note x et y les coordonnées de A dans le repère O; i; j . Intégrer en r.
Intégrer en x.
Intégrer en y puis en .
Devoir 2 I) Soit f une fonction continue sur [ 1; 1].
Soit g : [ 0; 1 ] [ 0; 1 ] ! R dénie par g(x; y) = f(x y).
1) Montrer l'identité Z
[ 0;1 ][ 0;1 ]g d2 = Z 1
1 1 juj
f(u) du.
2) Montrer que Z =4
0
1
cos3d =
p2 + ln(1 +p 2)
2 .
3) Calculer Z
[ 0;1 ]4 (x y)2+ (z t)21=2
d4(x; y; z; t).
Indication : Se ramener à une intégrale sur [ 1; 1 ]2 en utilisant 1), puis à une intégrale sur (u; v); 0 < v < u 1 en utilisant des symétries, et passer en polaires.
Remarque : Cette intégrale représente la distance moyenne entre deux points sur le carré unité.
II) On se place sur R3.
Soit t 2 ]0; 2[; et A de coordonnées (t; 0; 0). Soit B1 la boule de centre O et de rayon 1, et Bt la boule de centre A et de rayon 1. On note Et= B \ Bt.
1) Pour x 2 R, soit Ex;:t =
(y; z); (x; y; z) 2 Et ; la section de Et à x xé. Déterminer l'ensemble Ft des x tels que Ex;:t 6= ;.
2) Lorsque x 2 Ft déterminer la nature de Ex;:t et calculer 2 Ex;:t : 3) Calculer (t) = 3(Et).
On doit trouver (t) = a + bt + ct3; avec b = et a; c > 0.
Soit B2 la boule de centre O et de rayon 2 et f : B2 ! R une fonction intégrable. Soit h : B1 B1 ! R dénie par h(X; Y ) = f(X Y ). On admet que h est mesurable.
4) Montrer que Z
B1B1
h(X;Y )d6(X; Y ) 3(B1) Z
B2
jfj d3.
Transformer en intégrale itérée et poser U = X Y dans l'intégrale intérieure.
5) Montrer que pour kUk < 2, Z
R3B1(Y )B1(U + Y ) d3(Y ) = kUk . 6) Montrer que
Z
B1B1
h(X; Y ) d6(X; Y ) = Z
B2
f(U) kUk
d3(U).
7) On suppose l'existence de g :]0; 2[ ! R telle que 8 U 2 B2; f(U) = g kUk
. Montrez que Z
B1B1
h(X; Y ) d6(X; Y ) = 4 Z 2
0 g(r) (r)r2dr.
8) Calculer la moyenne m sur B1 B1 de l'application dénie par (X; Y ) = 1 kX Y k.
