Montrer que si γ : [a;b

Universit´e Lille I 2010-2011

M2R - S4 M´etriques invariantes

Examen - 5 mai 2011 (4h)

L’usage des notes de cours et d’expos´es, ainsi que des ´enonc´es et notes de TD, est autoris´e,

`

a l’exclusion de tout autre document.

Exercice 1.

Soit D un domaine de C, muni d’une pseudo-m´etrique infinit´esimale d´efinie par un poids ρ.

Montrer que si γ : [a;b] → D est une g´eod´esique de z a` w, alors pour tous t<sub>1</sub> ≤ t<sub>2</sub> dans [a;b], γ<sub>|[t</sub>1;t<sup>2</sup>]est une g´eod´esique de γ(t<sub>1</sub>) `a γ(t₂).

Exercice 2.

Pour deux couples de points (z₁, z₂) et (w₁, w₂) dans ∆×∆ donn´es, montrer que les propositions suivantes sont ´equivalentes :

i) il existe f ∈Hol(∆,∆) telle quef(z₁) =w₁ etf(z₂) =w₂; ii) d^P_∆(w₁, w₂)≤d^P_∆(z₁, z₂).

Exercice 3.

Soit D un domaine born´e de C. On note kD le noyau de Bergman de D, et (ϕn)n une base hilbertienne deA²(D). Soitz₀ ∈D.

1. Montrer que si f ∈Hol(D,∆) telle que f(z₀) = 0, alors pour tout g ∈ A²(D) de norme

||g||D = 1, la fonction h := f.g est dans A²(D) et s’annule en z₀. Que peut-on dire de

||h||^D?

2. En d´eduire queρ^c_D(z₀)≤ √ ¹

k_D(z⁰,z0)Sup{|h^′(z₀)| |h ∈ A²(D),||h||^D = 1}. 3. Soit h = P

nanϕn un ´el´ement de A²(D). Traduire `a l’aide de a := (an)n les conditions

||h||D = 1 eth(z₀) = 0. Que vaut h^′(z₀) ?

4. Rappelons queb:= (ϕn(z0))n etb^′ := (ϕ^′_n(z0))n sont dansl²(C). Montrer que Sup

||a||=1, a⊥b

ha, b^′i

2 =||b^′||²−

b

||b||, b^′ b

||b||

2

. 5. En d´eduire queρ^C_D ≤√

2ρ^B_D.

Exercice 4.

Montrer que ρ^KC et ρ^KC∗ sont identiquement nulles, mais que d^K_D est non-d´eg´en´er´ee pour tout domaine Dde Cdont le compl´ementaire contient au moins deux points distincts aetb.

Exercice 5.

Montrer que toute fonction holomorphe et born´ee surC² est constante.

1

Probl`eme.

Le but est de montrer le r´esultat suivant :

Th´eor`eme. SiD<sub>1</sub> etD<sub>2</sub> sont deux domaines born´es deC`a bordC², alors tout biholomorphisme f :D₁ →D₂ se prolonge continˆument en une application f˜:D₁→D₂.

Partie I

1. Soit Dun domaine born´e de C`a bordC². (a) Soit z₀ ∈D. Montrer que ρ^K_D(z₀)≤ 1

dist(z₀, ∂D).

(b) Justifier l’existence d’une constante c >0 telle que ∀z∈D, c

dist(z, ∂D) ≤ρ^K_D(z).

2. On se place sous les hypoth`eses du Th´eor`eme. Montrer que

∃c^′ >0/ ∀z∈D₁, |f^′(z)| ≤c^′ dist(f(z), ∂D₂) dist(z, ∂D1) . Partie II

Une fonctionu:U →Rde classeC² sur un ouvertU deC≈R² est ditesous-harmonique si son laplacien ∆u:= ^∂_∂x^2u2 +^∂_∂y^2u2 est positif en tout point de U.

1. Soit u:U →Rde classe C². (a) Montrer que ∆u= 4_∂¯^∂_z∂z^2u.

(b) En d´eduire que siuest sous-harmonique, alorsu◦f est sous-harmonique pour toute fonctionf holomorphe `a valeurs dans U.

2. SoitD₁ un domaine born´e `a bordC² deC, et Φ :C→Rune fonction d´efinissante globale de classeC² de D₁.

(a) Soit k∈R. On poseu := Φ +kΦ² : calculerdu et ∆u en fonction de Φ, dΦ et ∆Φ.

Qu’obtient-on en un point o`u Φ s’annule ?

(b) Trouverktel qu’il existe un voisinage tubulaireU1 de∂D1v´erifiant pour toutz∈U1,











u(z) <0⇔z∈D₁∩U₁ u(z) = 0⇔z∈∂D₁∩U₁ duz 6≡0

∆uz>0

(c) Montrer qu’il existeM₁ >0 tel que pour toutz∈D₁∩U₁,|u(z)| ≤M₁|z−p(z)|o`u p(z) est le projet´e dez sur∂D₁.

Partie III

On se place sous les hypoth`eses du Th´eor`eme, et la fonction u est celle donn´ee dans II.2.a)-b).

1. Montrer que la fonction v := u◦f⁻¹ est bien d´efinie surD₂, et qu’il existe un voisinage U₂ de∂D₂ tel quev_|D2∩U2 soit strictement n´egative et sous-harmonique.

On admet que cela entraˆıne :

∃M₂>0/∀w∈D₂∩U₂, v(w)≤ −M₂dist(w, ∂D₂).

2. Montrer que pour tout z ∈ D₁∩U₁, dist(f(z), ∂D₂) ≤ ^MM¹2 dist(z, ∂D₁), puis que |f^′| est born´ee sur D₁.

3. Conclure.

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