(b) Montrer que B est une base de Hamel si et seulement si B est un un sous-ensemble lin´eairement ind´ependant qui engendre E

UFR de Math´ematiques Master 1 Mention Math´ematiques

Universit´e Lille 1 Analyse 2018/2019

M402, Analyse : Feuille No. 5

Th´eor`eme de Hahn-Banach et applications. Dualit´e

Exercice 1 (Base de Hamel et forme lin´eaire discontinue).

Un sous-ensemble B d’un espace vectoriel E est appel´e base alg´ebrique (ou base de Hamel) si tout vecteurx∈E peut ˆetre exprim´e de fa¸con unique comme une combinaison lin´eaire finie de certains ´el´ements de B:

x=

n

X

k=1

akxk

pour certains scalaires non nuls ak ∈ Ket vecteurs xk ∈ B. On dit qu’un sous-ensemble B de E est lin´eairement ind´ependant si tout sous-ensemble fini de B est lin´eairement ind´ependant dans le sens habituel. EnfinB engendre E si Vect(B) =E, o`u

Vect(B) = (

x=

n

X

k=1

a_kx_k:a_k ∈K, x_k∈ B, n∈N )

.

(a) Montrer que B est une base de Hamel si et seulement si B est un sous-ensemble lin´eairement ind´ependant maximal (au sens de l’inclusion).

(b) Montrer que B est une base de Hamel si et seulement si B est un un sous-ensemble lin´eairement ind´ependant qui engendre E.

(c) Montrer que siB⁰ est un syst`eme lineairement ind´ependant, alors il existe une base de Hamel Btelle que B⁰⊂ B.

Indication : utiliser le lemme de Zorn.

(d) En d´eduire que tout espace vectoriel E admet une base de Hamel.

(e) Montrer que toute base de Hamel d’un espace de Banach de dimension infinie est n´ecessairement non d´enombrable.

Indication : utiliser le th´eor`eme de Baire.

(f) Montrer que sur tout espace vectoriel E de dimension infinie, il existe une forme lin´eaire discontinue.

(g) Montrer que tout sous-espace vectorielFd’un espace vectorielEadmet un suppl´ementaire alg´ebrique G, c’est-`a-dire un sous-espace vectorielG tel que

F∩G={0} et F +G=E.

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Exercice 2 Soit E un espace vectoriel norm´e et M un sous-espace vectoriel ferm´e deE. On note π:E −→E/M la surjection canonique et pour x∈E, on pose

kπ(x)k_E/M := inf

m∈Mkx+mk.

(a) (i) V´erifier quek · k_E/M est une norme sur l’espace quotientE/M et queπ est une application lin´eaire continue de norme inf´erieure ou ´egale `a 1.

(ii) V´erifier que π(B_E(0,1)) = B_E/M(0,1), o`u B_X(0,1) d´esigne la boule ouverte d’un espace vectoriel norm´e X.

(a) On introduit

M^⊥={x^∗∈E^∗ :∀m∈M, x^∗(m) = 0}.

Montrer queM^⊥ est un sous-espace vectoriel ferm´e deE.

(b) Supposons queE est un espace de Banach.

(i) Montrer queE/M est un espace de Banach.

Indication : on pourra montrer que toute s´erie normalement convergente est convergente.

(ii) Montrer qu’il existe un isomorphisme isom´etrique de M^∗ sur E^∗/M^⊥. (iii) Montrer qu’il existe un isomorphisme isom´etrique de (E/M)^∗ sur M^⊥.

Exercice 3 (Suppl´ementaire topologique). Soit E un espace de Banach et F un sous- espace vectoriel ferm´e de E. On dit que F admet un suppl´ementaire topologique s’il existe un sous-espace vectoriel ferm´eG tel que E =F⊕G (c’est-`a-dire F ∩G={0} et E =F +G).

(a) Montrer que F admet un suppl´ementaire topologique si et seulement s’il existe une projection continue p(c’est-`a-direp∈ L(E), p² =p) telle que Imp=F.

(b) Soit E un espace de Banach. Montrer que siF est un sous-espace vectoriel de dimen- sion finie, alorsF admet un suppl´ementaire topologique.

(c) SoitEun espace de Banach etFun sous-espace vectoriel ferm´e deEtel que dim(E/F)<

∞. Montrer queF admet un suppl´ementaire topologique.

Exercice 4 (Limite de Banach). Soit S l’op´erateur de translation sur l’espace E =

`<sup>∞</sup>(N,R), d´efini par Sx(n) =x(n+ 1) six= (x(1), x(2), ...)∈E. On consid`ere M =

x∈E : lim

n

x(1) +...+x(n)

n existe

et on noteL₀(x) cette limite si x∈M.

a) Montrer queL0 se prolonge en une forme lin´eaireL surE telle que kLk= 1.

b) Montrer que L(Sx) = L(x) pour tout x ∈E (commencer par remarquer que y = x−Sx∈M).

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c) Montrer que six∈E v´erifiex_n≥0 pour toutn, alorsL(x)≥0.

d) Montrer alors que lim infn→∞x(n) ≤ L(x) ≤lim sup_n→∞x(n). En d´eduire que L est une extension de la limite classique d’une suite convergente.

e) Calculer L(a) pour la suite a = (0,1,0,1,· · ·). Calculer L(b) si b est une suite p´eriodique.

Exercice 5 (a) Montrer que chaque forme lin´eaire et continue surc0admet une extension unique `a `∞.

(b) Soit G⊂`<sub>1</sub>, G={x∈ `₁ :x₁ =x₃ =x₅ = · · ·= 0}. Montrer que chaque forme lin´eaire et continue non nulle sur g a une infinit´e d’extensions Hahn-Banach.

(c) Soit E un espace vectoriel norm´e et soit M un sous-espace vectoriel de E. On suppose que f : M → C admet deux extensions Hahn-Banach distinctes g, h : E → C. Montrer que f admet une infinit´e d’extensions Hahn-Banach. (Indication: Montrer que l’ensemble d’extensions Hahn-Banach de f est convexe dans X^∗.)

Exercice 6 Pour 1 ≤p ≤+∞, on introduit l’espace `^p comme l’espace des suites com- plexes u= (u_n)n≥0 telles que

kuk_p =

((P∞

n=0|u_n|^p)^1/p si 1≤p <+∞

sup_n≥0|u_n| si p= +∞.

1. Montrer que, pour 1 ≤ p < ∞, (`<sup>p</sup>)<sup>∗</sup> est isomorphe isom´etriquement `a `^q, avec q l’exposant conjugu´e dep, i.e. q=∞si p= 1, et sinonq=p/(p−1).

Indication : on pourra consid´erer pourv= (v_n)n≥0 ∈`^q, l’application ϕ_v(u) =

∞

X

n=0

u_nv_n, u= (u_n)n≥0 ∈`^p.

2. Soit 1≤p <+∞et αk ∈]−1,1[, αk6=α`, k6=`, et supposons queαk →0 lorsque k → +∞. Pour tout k ∈ N, on d´efinit la suite u_k = (u_k(n))n∈N par u_k(n) = αⁿ_k. Montrer que le sous-espace vectoriel engendr´e par les u_k,k∈N, est dense dans`^p. Exercice 7 Soit X un espace vectoriel et E ⊂ X. On appelle enveloppe convexe de E l’ensemble not´eco(E) et d´efinie par

co(E) = ( _N

X

i=1

λixi :λi ≥0,

N

X

i=1

λi = 1, xi∈E, N ∈N^∗ )

.

1. Montrer queco(E) est le plus petit convexe contenantE.

2. SoitE ⊂Rⁿ,x∈co(E). Montrer qu’il existe au plusn+ 1 pointsx1, x2, . . . , xn+1∈ E etλ₁, λ₂, . . . , λ_n+1≥0 tel que

x=

n+1

X

i=1

λ_ix_i et

n+1

X

i=1

λ_i = 1.

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Indication : il suffit de montrer que si k > n et x ∈co({x₁, x₂, . . . , x_k+1}), alors il existeS⊂ {x₁, x2, xk+1}tel que|S| ≤ketx∈co(S). Pour cela montrer qu’il existe (a1, a2, . . . , a_k+1)∈R^k+1\ {0,0, . . . ,0} tel que

k+1

X

i=1

a_ix_i = 0_Rⁿ et

k+1

X

i=1

a_i= 0.

3. En d´eduire le th´eor`eme de Carath´eodory : soit K un compact de Rⁿ. Alorsco(K) est compact.

Exercice 8 On noteM_n(R) l’ensemble des matrices r´eelles de taillen×netO_n(R) le sous- groupe des matrices orthogonales (rappelons qu’une matriceM ∈ M_n(R) est orthogonale si M^tM =^tM M=In). On munit M_n(R) de la norme k| · |k₂, autrement dit

k|M|k₂ = sup

x∈Rⁿ\{0}

kM xk₂ kxk₂ ,

o`uk·k₂est la norme euclidienne surRⁿ. Le but de l’exercice est de montrer que l’enveloppe convexe de O_n(R) estB_Mn(R)–la boule unit´e ferm´ee de M_n(R) pour k| · |k₂.

1. Montrer que les formes lin´eaires surM_n(R) sont les applicationsϕ_A:M_n(R)−→R d´efinie par ϕ_A(M) = Tr(AM), o`u A∈ M_n(R).

Indication : on pourra consid´erer f :M_n(R) −→ (M_n(R))^∗ d´efini parf(A) =ϕ_A et v´erifier que f est un isomorphisme.

2. Pourquoi l’enveloppe convexe de O_n(R) est contenue dans B_Mn(

R)? 3. Soit M ∈ M_n(R),k|M|k₂ ≤1.

(a) Montrer que, pour toutA∈ M_n(R), on a Tr(AM)≤ sup

O∈On(R)

Tr(AO).

Indication : on pourra consid´erer la d´ecomposition polaire de A, ie ´ecrire A = ΩS, avec Ω∈ O_n(R) et S sym´etrique r´eelle positive, consid´erer une base orthonormale (e₁, . . . , e_n) de Rⁿ form´ee de vecteurs propres de S et montrer que Tr(AM)≤Tr(AΩ⁻¹).

(b) En d´eduire que M est dans l’enveloppe convexe deO_n(R) et conclure.

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