Soit E un espace vectoriel réel, F un sous espace vectoriel de E et G un sous-groupe ni (avec m éléments) du groupe des automorphismes de E .

MPSI B DM 11 29 juin 2019

Exercice 1

Cet exercice porte sur un procédé connu sous le nom de moyennisation d'un projecteur.

Soit E un espace vectoriel réel, F un sous espace vectoriel de E et G un sous-groupe ni (avec m éléments) du groupe des automorphismes de E .

On suppose que le sous-espace F est stable par les éléments de G c'est à dire que :

∀g ∈ G, ∀x ∈ F : g(x) ∈ F.

À tout élément u de L(E) , on associe u ⁺ déni par u ⁺ = 1

m X

g∈G

g

◦ u ◦ g.

1. Montrer que u ⁺ est un endomorphisme de E commutant avec tout élément h de G . 2. Calculer (u ⁺ ) ⁺ .

3. Soit p un projecteur de E avec F = Im(p) . a. Montrer que Im(p ⁺ ) = F .

b. Montrer que :

∀(g, h) ∈ G ² , g

◦ p ◦ g ◦ h

◦ p ◦ h = h

◦ p ◦ h.

c. Montrer que p ⁺ est un projecteur.

d. Montrer que le noyau de p ⁺ est stable par tout élément g de G .

Exercice 2

Soit (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) une base d'un R espace vectoriel E . Les fonctions coordonnées dans cette base sont notées (α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) .

On dénit une famille (u 1 , u 2 , u 3 ) de vecteurs de E par : u 1 = a 1 + a 2 + a 3 + 2a 4

u ₂ = 3a ₁ + 5a ₃ + a ₄

u 3 = −a 1 + 2a 2 − 3a 3 + 3a 4

1. Soit x = x 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3 + x 4 a 4 ∈ E . Déterminer des conditions sur (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) assurant que x ∈ Vect(u 1 , u 2 , u 3 ) .

2. Déterminer une famille libre (α, β) de formes linéaires (exprimées en fonction des α

) telles que

Vect(u 1 , u 2 , u 3 ) = ker α ∩ ker β.

1

Exercice 1 de e3a 2001 MP 2

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1