MPSI B DM 8 29 juin 2019
Cet exercice porte sur un procédé connu sous le nom de moyennisation d'un projecteur.
1Soit E un espace vectoriel réel, F un sous espace vectoriel de E et G un sous-groupe ni (avec m éléments) du groupe des automorphismes de E .
On suppose que le sous-espace F est stable par les éléments de G c'est à dire que :
∀g ∈ G, ∀x ∈ F : g(x) ∈ F.
À tout élément u de L(E) , on associe u + déni par u + = 1
m X
g∈G
g
−1◦ u ◦ g.
1. Montrer que u + est un endomorphisme de E commutant avec tout élément h de G . 2. Calculer (u + ) + .
3. Soit p un projecteur de E avec F = Im(p) . a. Montrer que Im(p + ) = F .
b. Montrer que :
∀(g, h) ∈ G 2 , g
−1◦ p ◦ g ◦ h
−1◦ p ◦ h = h
−1◦ p ◦ h.
c. Montrer que p + est un projecteur.
d. Montrer que le noyau de p + est stable par tout élément g de G .
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Exercice 1 de e3a 2001 MP 2
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Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
