Cet exercice 1 porte sur l'étude de la suite (u n ) n∈

MPSI B 2011-2012 DS 5 29 juin 2019

Problème 1.

Cet exercice ¹ porte sur l'étude de la suite (u _n ) _n∈

N

dénie par u n =

√ n 4 ⁿ

2n n

1. a. Calculer u ₁ et ^u

_u

pour n ∈ N ^∗ . b. Montrer par récurrence que u n ≤ q _n

2n+1 pour n ∈ N ^∗ . c. Étudier le sens de variation de la suite (u n ) _n∈

N

et montrer qu'elle converge. On note L sa limite. Montrer que

1

2 ≤ L ≤ 1

√ 2

2. a. En appliquant l'inégalité des accroissements nis à la fonction t → √

t sur un intervalle convenable, prouver l'encadrement suivant

∀x > 0, 1

8(x + ¹ ₂ ) ≤ (x + 1 2 ) − p

x(x + 1) ≤ 1 8 p

x(x + 1)

b. En déduire :

∀k ∈ N ^∗ , u k

8(k + ¹ ₂ ) − u k

8(k + ³ ₂ ) ≤ u k+1 − u k ≤ u k

8k − u k

8(k + 1)

c. Par sommation de ces inégalités, trouver un encadrement de u _p − u _n pour p et n entiers tels que n < p . Établir

∀k ∈ N ^∗ , u n

8(n + ¹ ₂ ) ≤ L − u n ≤ L 8n

d. En déduire

∀k ∈ N ^∗ ,

L − (1 + 1 8n )u n

≤ L 16n ²

3. a. Comment sut-il de choisir n pour que u _n soit une valeur approchée de L à 10 ⁻⁵ près ?

1

d'après un problème ESSEC 1987 sur le nombre moyen de retour à l'origine pour une promenade aléatoire.

b. Comment sut-il de choisir n pour que u n + ^u _8n

soit une valeur approchée de L à 10 ⁻⁵ près ?

4. On admet ici la formule de Stirling qui donne une suite équivalente à la suite des factorielles.

n! ∼ √

2πn n ⁿ e ⁻ⁿ Déterminer une expression formelle exacte de L .

Problème 2.

Ce problème ² porte sur les fonctions et les suites complètement monotones.

On dira qu'une fonction f dénie dans un intervalle I est complètement monotone lorsque elle appartient à C ^∞ (I) et que :

∀p ∈ N , ∀x ∈ I, (−1) ^p f ^(p) (x) ≥ 0

On désigne par E l'ensemble des suites dénies dans N et à valeurs réelles. La notion de suite complètement monotone fait intervenir une fonction ∆ de E dans E dénie de la manière suivante.

Soit u = (u n ) _n∈N ∈ E , la suite ∆u est dénie par :

terme d'indice n de ∆u = (∆u) n = u n+1 − u n

On note ∆ ⁰ = Id E et ∆ ^p = ∆ ◦ · · · ◦ ∆ ( p fois) pour p ∈ N ^∗ . On dira qu'une suite u est complètement monotone lorsque

∀p ∈ N, ∀n ∈ N , (−1) ^p (∆ ^p u) n ≥ 0 1. Soit u = (u _n ) _n∈

N ∈ E et p ∈ N ^∗ , montrer que

∀n ∈ N , (∆ ^p u) n =

p

X

k=0

(−1) ^p−k p

k

u n+k

2. Soit b ∈]0, 1[ et β la suite géométrique β = (b ⁿ ) _n∈N . Calculer (∆ ^p β) n et en déduire que β est complètement monotone.

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d'après Banque X-ENS 2011 Maths B

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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3. Soit a > 0 , λ > 0 , µ > 0 , ν < 0 , b ≥ 1 , c > 0 des réels xés . Montrer que les fonctions suivantes sont complètement monotones.

x → e ^−ax dans R

x → (λ + µx) ^ν dans [0, +∞[

x → ln(b + c

x ) dans ]0, +∞[

4. a. Soit f complètement monotone dans I et m ∈ N. Montrer que m pair entraine f ^(m) complètement monotone et m impair entraine −f ^(m) complètement mono- tone.

b. Soit f et g deux fonctions complètement monotones dans un intervalle I . Montrer que le produit f g des deux fonctions est complètement monotone.

5. Soit f ∈ C ^∞ ([0, +∞[) et u = (u n ) _n∈N dénie par u n = f (n) pour tout n ∈ N. Montrer que pour tout p ∈ N ^∗ et tout n ∈ N, il existe un réel x ∈]n, n + p[ tel que

(∆ ^p u) _n = f ^(p) (x)

On pourra raisonner par récurrence en considérant la fonction g(x) = f (x + 1) − f (x) et la suite dont le terme d'indice n est v n = g(n) .

6. Formuler et prouver un théorème liant les suites et les fonctions complètement mono- tones. En déduire une autre démonstration de la question 2.

Problème 3.

Étude d'une suite de racines d'équations algébriques. ³ Pour p ∈ N ^∗ , on considère l'équa- tion

x ^p + x ^p−1 + · · · + x ² + x = 1 (E _p ) On considère aussi les fonctions f et g dénies dans R ⁺ par :

f (x) = 1

x + 1 g(x) = 1

x ² + x + 1 1. Étude de la suite des racines.

a. Montrer que l'équation (E p ) admet une unique solution positive. Cette solution sera notée x p .

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d'après http ://mpsiddl.free.fr

b. Justier que x p ∈]0, 1] et que x p (1 − x ^p _p ) = 1 − x p . c. Établir que (x p ) _p∈N

est monotone puis convergente.

d. Établir que (x ^p _p ) _p∈N

converge vers 0. En déduire la limite de (x p ) _p∈N

. 2. On dénit la suite (ε p ) _p∈N

par la relation suivante valable pour tous les p ∈ N ^∗

ε _p = 2x _p − 1

a. Soit q ∈]0, 1[ xé, montrer la convergence et donner la limite de (nq ⁿ ) _{n∈ N} . b. Trouver une formule très simple reliant ε _p et x ^p+1 _p .

c. Montrer que

((p + 1) ln(1 + ε _p )) _{p∈ N}

→ 0 d. Trouver une suite équivalente simple à (ε _p ) _{p∈ N}

.

3. Approximation de la racine de (E 2 ) . Dans cette question, p = 2 et x 2 est noté α . a. Simplier f (α) .

b. Montrer que l'intervalle [ ¹ ₂ , 1] est stable par f . c. On considère la suite (u n ) _n∈N dénie par u 0 = 1 et

∀n ∈ N : u n+1 = f (u n )

Montrer que la suite est bien dénie et que pour tout entier n :

|u n+1 − α| ≤ 4

9 |u n − α|

d. En déduire la convergence et la limite de la suite (u _n ) _{n∈ N} .

4. Approximation de la racine de (E ₃ ) . Dans cette question, p = 3 et x ₃ est noté β . a. Former le tableau de variations de g .

b. On considère la suite (v n ) n∈ N dénie par v 0 = 1 et

∀n ∈ N : v n+1 = g(v n )

Montrer que la suite est bien dénie et que v n ∈ [0, 1] pour tout entier n . c. Montrer que les deux suites extraites (v 2n ) _n∈N et (v 2n+1 ) _n∈N sont monotones.

Préciser leurs sens de variations et prouver qu'elles sont convergentes. On note l et l ⁰ leurs limites respectives.

d. Montrer que g(l) = l ⁰ et g(l ⁰ ) = l . e. Montrer que l vérie

(l ² + 1)(l ³ + l ² + l − 1) = 0

f. Montrer que l = l ⁰ = β . En déduire la convergence et la limite pour (v n ) _n∈N .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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