Suites de fonctions de classe C k : démonstration
Dans tout ce qui suit,K désigneRou C etkest un entier, k≥1.
Théorème :soit(fn) une suite de fonctions deCk(I,K) telle que :
∗ pour toutj tel que0≤j≤k−1, fn(j) converge simplement surI vers gj ;
∗ fn(k) converge uniformémentsur I vers gk ;
alorsf =g0 est de classe Ck sur I et : ∀j∈[[1, k]] f(j)=gj, autrement dit
∀j∈[[1, k]] ∀x∈I f(j)(x) = lim
n→∞fn(j)(x). Dém.Par récurrence sur k.
Au rangk= 1, il s’agit du théorème démontré en classe.
Hypothèse de récurrence : soitk≥1 tel que le théorème soit vrai.
Je considère alors(fn), suite de fonctions deCk+1(I,K) telle que :
•pour toutj tel que0≤j ≤k, fn(j) converge simplement sur I vers gj ;
• fn(k+1) convergeuniformément sur I vers gk+1.
Déjà, le théorème au rang 1 appliqué à fn(k) montre que gk estC1 surI et que g′k=gk+1.
Je considère alors un segmentJ = [a, b]contenu dans I et je montre que je peux appliquer l’hypothèse de récurrence sur J. Il suffit pour cela d’établir la convergence uniforme sur J de fn(k) (toutes les autres hypothèses sont satisfaitesa fortiori !).
Pourn∈N etx∈J, j’ai grâce au théorème fondamental de l’intégration et à l’inégalité de la moyenne fn(k)(x)−gk(t) = fn(k)(a) +
x a
fn(k+1)(t) dt−gk(a)−
x a
gk+1(t) dt
≤ fn(k)(a)−gk(a) +|b−a|sup
J
fn(k+1)−gk+1
et ce dernier majorant est indépendant de x et tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini (grâce à la convergence uniforme de fn(k+1) vers gk+1, surI donc surJ puisqueJ ⊂I).
Noter que le choix de se placer sur le segmentJ permet de majorer |x−a|par la constante|b−a|.
L’hypothèse de récurrence m’indique alors que f = g0 est Ck sur J, cela pour tout segment J inclus dansI, doncCk surI, avecf(j)=gj pour toutj de[[1, k]].
Or nous avons déjà vu quegk est C1 sur I avecg′k=gk+1.
Il en résulte que le théorème est vrai au rang k+ 1, ce qui achève la démonstration.
