Suites Exercice 1 : Suites définies par une formule explicite Dans chacun des cas suivants, calculer u, u, u et u :

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Suites

Exercice 1 : Suites définies par une formule explicite

Dans chacun des cas suivants, calculer u₀,u₁,u₂, u₃, u₄ et u₅ : 1) u_n =n² 2) u_n =2n−3 3) u_n =500×0,1ⁿ Solution

1) u₀ =0, u₁ =1, u₂ =4, u₃ =9, u₄ =16, u₅ =25.

2) u₀ = − 3, u₁ = − 1, u₂ =1, u₃ =3, u₄ =5, u₅ =7.

3) u₀ =500, u₁ =50, u₂ =5, u₃ =0,5, u₄ =0,05, u₅ =0,005.

Exercice 2 : Suites définies par une relation de récurrence Dans chacun des cas suivants, calculer u₀,u₁,u₂, u₃, u₄ et u₅ :

1) 2) 

3) 





=

=

+ 2

1

0 3

n

n u

u u

 = −

=

+ 2 3

1

1 0

n

n u

u u

 =

=

+ n

n u

u u

1 , 0 500

1 0

Solution

1) u₀ =3, u₁ =9, u₂ =81, u₃ =6561, u₄ =43046721, u₅ =1853020188851841.

2) u₀ =1, u₁ = − 1, u₂ = − 5, u₃ = − 13, u₄ = − 29, u₅ = − 61.

3) u₀ =500, u₁ =50, u₂ =5, u₃ =0,5, u₄ =0,05, u₅ =0,005.

Exercice 3 : Définir des suites Dans chacun des cas suivants : 1) Choisir une valeur pour "?".

2) Définir la suite

( )

n

)

u

3) Définir la suite

(

a) 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; ? b) 0 ; 0 ; 0 ; ?

c) 2 ; 7 ; 12 ; ? ; 22 ; 27 ; d) 1 ; -1 ; 1 ; -1 ; 1 ; ? e) 0 ; 1 ; 0 ; 1 ; 0 ; 1 ; ?

Solution

a) Par exemple ? 32, = , u .



 ==

+ n

n u

u u

2 1

1

0 n = 2ⁿ

b) Par exemple ? 0, =  , 0.

 ==

+ n

n u

u u

1

0 0

un =

c) Par exemple ? 17, = , u 5u 2.



 == +

+ 5

2

1 0

n

n u

u u

n = _n +

d) Par exemple ?= − 1,  , u .

 ==−

+ n

n u

u u

1

0 1

n = (−1)ⁿ e) Par exemple ? 0, = , u



 ==−

+ n

n u

u u

1 0

1

0 n =

2 1 ) 1 (− ⁿ⁺¹ +

.

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Exercice 4 : Somme des termes d'une suite arithmétique Rappel : 1+2+...+n=

2 ) 1 (n+

n .

Calculer les sommes suivantes :

1) 1+2+3+…+100 2) 2+4+6+…+2000

3) 1+3+5+…+1999 4) 1515+1516+1517+…+1788+1789.

Solution

1) 1+2+3+…+100=5050

2) 2+4+6+…+2000=2(1+2+3+…+1000)=500500 et 1+2+3+…+1999+2000=2001000 donc 1+3+5+…+1999=2001000-500500=1500500.

4) 1515+1516+1517+…+1788+1789 = (1+2+…+1789)-(1+2+…+1514) = 1601155-1146855 = 454300.

Exercice 5 : Somme des termes d'une suite géométrique.

1) Montrer que pour tout entier naturel n et pour tout x≠1 : xn

x

x+ + +

+ ...

1 ² =

x xⁿ

−

− ⁺ 1 1 1

2) Que vaut cette somme si x=1 ?

3) Application : calculer 1+3+3²+…+3¹⁰.

4) Exprimer en fonction de x : 1+x² +x⁴ +...+x²⁰⁰⁰ Solution

3) 1+3+3²+…+3¹⁰= 3 1

3 1 ¹¹

−

− =88573.

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