Matrices
1. Définition
UnematriceAde dimensionn×pou de format(n;p)est un tableau de nombres comportant n lignes et p colonnes.
On note aij l’élément se trouvant à l’intersection de la lignei et de la colonne j.
Lorsque n=pon dit que la matrice est une matrice carrée d’ordre n.
2. Exemple A=
2 −5 4 6 3 −8
est une matrice de format (2; 3) Une matrice carrée d’ordre 2 est une matrice de la forme :
a11 a12
a21 a22
3. Matrices particulières
Si n= 1, A est une matrice ligne.
Si p= 1,A est unematrice colonne.
Si tous les coefficients sont nuls, A est une matrice nulle.
4. Égalité de matrices
Deux matrices sont égales lorsqu’elles ont le même format et les mêmes coefficients aux mêmes emplacements.
5. Définition
La matrice transposée d’une matrice A de format (n;p) est la matrice de format (p;n), notée AT obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A.
6. Exemple Si A=
2 −5 4 6 3 −8
alors AT =
2 6
−5 3 4 −8
7. Addition de deux matrices de même format
On appellesomme de deux matrices de même format la matrice obtenue en additionnant les coefficients de même emplacement.
8. Multiplication d’une matrice par un nombre réel
Pour un réel k et une matrice A, on note kA la matrice M dont l’élément mij est égal à kaij
9. Exemple 2
2 −5 4 6 3 −8
=
2×2 2×(−5) 2×4 2×6 2×3 2×(−8)
=
4 −10 8 12 6 −16
10. Propriétés
A, B etC sont des matrices de même format,O est la matrice nulle de même format,k et k0 sont deux nombres réels.
(a) A+B =B+A
(b) A+ (B+C) = (A+B) +C (c) A+O =O+A=A
(d) 0A=O et 1A=A
(e) (k+k0)A=kA+k0A et k(A+B) =kA+kB
11. Multiplication de deux matrices
I Le produit de la matrice ligne L = a1 a2 ... ap
par la matrice colonne C =
b1
b2
. . . bp
est le
nombre LC =a1b1 +a2b2+...+apbp = Xp
k=1
akbk
I Le produit de la matrice A = (aij) de format (n;p) par une matrice B = (bij) de format (p;r) est la matrice, notée AB, de format (n;r) dont le coefficient (cij) est le produit de la matrice ligne i de A par la matrice colonne j de B :
cij = Xp
k=1
aikbkj
12. Exemple
A de format (2; 3) B de format(3; 2),C =AB de format(2; 2)
1 −1 3 2
−3 4
1 3 5
2 4 6
−5 25
−4 30
13. Remarque importante
Si les matrices AB etBA sont définies, en général AB 6=BA. 14. Propriétés
A, B etC sont des matrices dont les formats permettent les calculs indiqués, k est un réel (a) A(BC) = (AB)C
(b) A(B+C) =AB +AC (c) (A+B)C =AC+BC (d) (kA)B =A(kB) =k(AB) 15. Matrices unités
Soit n un entier naturel non nul. On appellematrice unité d’ordre n la matriceI, carrée d’ordre n dont tous les coefficients sont nuls sauf ceux de la diagonale principale (éléments aii) qui sont égaux à 1.
16. Exemple
La matrice unité d’ordre 3 est I =
1 0 0 0 1 0 0 0 1
17. Inverse d’une matrice carrée
A est une matrice carrée d’ordre n. On dit qu’une matrice B, carrée d’ordre n, est l’inverse de A
19. Puissance d’une matrice carrée
A est une matrice carrée et n ∈ N∗. La puissance n-ième de la matrice A, notée An, est la matrice définie par : An =AA....A
| {z }
n fois
Par convention, A0 =I 20. Théorème
Pour n∈N∗ et pour tous nombres réels a etb, a 0
0 b n
=
an 0 0 bn
Démonstration par récurrence : exercice 21. Théorème
Soit A= a b
c d
une matrice carrée d’ordre 2.
1) Si ad−bc6= 0, A admet une inverse A−1 = 1 ad−bc
d −b
−c a
2) Si ad−bc= 0, A n’a pas d’inverse.
Démonstration 1) Soit B = 1
ad−bc
d −b
−c a
. On vérifie que AB =BA =I =
1 0 0 1
2) On suppose que A admet une inverse A0 Soit B =
−c a
−c a
et C =
d −b d −b
BA =
−c a
−c a
a b c d
= 0 0
0 0
=O De même, CA=O B =B(AA0) = (BA)A0 =O donc a=c= 0
C =C(AA0) = (CA)A0 =O donc d=b= 0,A est la matrice O
ce qui implique que : AA0 =I =O ce qui est impossible : A n’a pas d’inverse.
Remarque Le nombre ad−bc s’appelle le déterminant de la matrice A 22. Application aux systèmes linéaires
Tout système linéaire de n équations à n inconnues peut s’écrire sous la forme matricielle AX =B où A est la matrice carrée d’ordre n des coefficients du système, X est la matrice colonne des inconnues et B est la matrice colonne formée par les seconds membres des équations.
Si la matrice carrée Aest inversible alors le système a une unique solution égale à A−1B
Matrices et Suites
23. Suites de matrices
Une suite de matrices colonnes de taillek(k ∈N, k ≥2) est une fonction deNdans l’ensemble des matrices colonnes de taille k.
24. Définition
On dit que la suite de matrices colonnes(Xn)de taillek estconvergentesi lesk suites formées par les termes correspondant à la même ligne sont convergentes.
La limite de la suite est alors la matrice colonne formée des k limites obtenues.
Suites de la forme U
n+1= AU
n+ B
25. Propriété
Soit une suite de matrices colonnes (Un) de taillek telle que, pour tout n∈N, Un+1 =AUn, où A est une matrice carrée d’ordre k
Alors, pour tout n de N , Un =AnU0
Démonstration par récurrence à compléter 1) Initialisation :
2) Hérédité : 26. Propriété
Soit une suite de matrices colonnes(Un)de taillek vérifiant pour toutn∈N,Un+1 =AUn+B, où A est une matrice carrée non nulle d’ordrek et B une matrice colonne de taille k.
S’il existe une matrice C telle que C = AC +B alors le terme général de cette suite peut s’écrire :
Un =An(U0−C) +C Remarque Si I −A est inversible alors C= (I−A)−1B Démonstration
Comme Un+1 =AUn+B etC =AC+B, par différence on a : Un+1−C =A(Un−C) La suite (Vn)telle que Vn =Un−C vérifie Vn+1 =AVn donc Vn =AnV0
D’où : Un−C =An(U0−C) soit Un=An(U0−C) +C 27. Convergence des suites vérifiant Un+1 =AUn+B
Soit une suite de matrices colonnes vérifiant Un+1 =AUn+B On suppose qu’il existe une matrice C telle que C =AC+B 1) Si U0 =C, la suite converge vers C
2) Si U0 6=C et si la suite(An) converge vers une matrice A0 alors la suite (Un) converge vers A0(U0−C) +C
Démonstration Exercice
28. Marche Aléatoire
(a) Marche aléatoire entre deux états i. Définition
On considère un système qui n’a que deux états possibles A et B et qui évolue par étapes successives.
On note pla probabilité qu’il passe de A à B.
On note q la probabilité qu’il passe de B à A.
Legraphe probabilisteci-contre donne l’évolution du système d’une étape à la suivante.
A B
1-p p
q
1-q
On définit la matrice de transitionpar : T =
1−p p q 1−q
Remarque
Tous les coefficients appartiennent à [0; 1]
Pour chaque ligne, la somme des coefficients est 1.
ii. Définition
Pour n∈N , on note :
An l’événement : "à l’étape n le système est dans l’état A".
Bn l’événement : "à l’étape n le système est dans l’état B".
an=p(An), bn=p(Bn). On a : an+bn= 1 iii. Définition
La matrice lignePn= (an bn) est appelée la répartition de probabilité à l’étape n.
iv. Propriété
Pour n∈N, Pn+1 =PnT Démonstration
b b
An an
b An+1
1−p
b Bn+1
p
b
Bn bn
b An+1
q
b Bn+1
1−q
p(An+1) = p(An∩An+1) +p(Bn∩An+1)
= (1−p)an+qbn
—————– —————————————–
p(Bn+1) = p(An∩Bn+1) +p(Bn∩Bn+1)
= pan+ (1−q)bn
1−p p .
q 1−q .
PnT = an bn
(1−p)an+bnq pan+ (1−q)bn On a bien : Pn+1 =PnT
v. Propriété Pour tout n∈N:Pn =P0Tn Démonstration Par récurrence.
vi. Définition
On appelle répartition stable de probabilité une matrice ligne P dont tous les coeffi- cients sont positifs et de somme 1 vérifiant :
P =P T vii. Théorème
Avec les notations précédentes, si (p;q)6= (0; 0) et(p;q)6= (1; 1) alors : 1) il existe une unique répartition stable de probabilité P donnée par :
P = q
p+q p p+q
2) la suite (Pn) converge vers P, indépendamment deP0
Démonstration
0≤p≤1 et0≤q ≤1 donc : 0≤p+q≤2
Comme p+q6= 0 et p+q 6= 2 on a : 0< p+q <2puis −2<−p−q <0 et enfin :
−1<1−p−q <1 (*)
On a vu que : an+1 = (1−p)an+qbn et bn = 1−an donc : an+1 = (1−p−q)an+q A partir de cette dernière formule, on peut démontrer par récurrence que :
an= (1−p−q)n
a0− q p+q
+ q
p+q puis bn= p
p+q −(1−p−q)n
a0− q p+q
D’après (*), lim
n→+∞an= q
p+q et lim
n→+∞bn= p
p+q. On a bien : lim
n→+∞Pn=P 1−p p .
q 1−q .
P T =P ⇔= x y
(1−p)x+qy px+ (1−q)y
= (x y)
On obtient le système :
x−xp+yq =x
x+y = 1 qui donne :
x= q p+q y= p
p+q (b) Marche aléatoire entre plusieurs états
Les définitions et propriétés précédentes se généralisent à un système qui peut se trouver dans plusieurs états.
Théorème
Si la matrice de transition T a une puissance n’ayant aucun coefficient nul, alors : 1) il existe une unique répartition stable de probabilité P telle que P T =P 2) la suite (Pn)converge vers P, indépendamment de P0
