I Matrice et vocabulaire associé
I.1 Définitions
Définition 1 Deux entiers naturelsmetnétant donnés non nuls, on appellematricede format(m, n)tout tableau rectangulaire ayantm×néléments, disposés surmlignes et ncolonnes. Les éléments étant des nombres réels.
La matriceA=
a11 a12 . . . a1n
... ... ... ... ai1 ai2 . . . ain
... ... ... ... am1 am2 . . . amn
peut aussi être notéeA= (aij), la notationaij désigne le coefficient
situé à l’intersection de la ligneiet la colonnej. C’est le coefficient générique de la matrice A.
Remarque 1 :
• Dans tout ce qui suit, on notera Mmn(R) l’ensemble des matrices àmlignes etncolonnes dont les coefficients sont des réels.
• Lorsque m = n, on dit que la matrice est carrée d’ordre n ou qu’elle appartient à Mn(R) . Les coefficients a11, a22, . . . , ann sont les coefficients de la diagonale principale de la matrice.
La matrice identité d’ordrenest la matrice carrée d’ordrendont tous les coefficients sont nuls à l’exception de ceux situés sur la diagonale principale de la matrice qui sont égaux à 1. Elle est notéeIn.
In =
1 0 . . . 0 0 1 . .. ...
... ... 1 0 0 . . . 0 1
• Deux matrices A et B sont égales si et seulement si pour tout indice de ligne i et tout indice de colonne j, aij=bij . L’égalité entre deux matrices ne peut intervenir que si elles sont de même taille.
• Une matrice est dite matrice nulle que si tous ces coefficients sont égaux à zéro. Deux matrices nulles qui n’ont pas la même taille ne sont pas égales.
• Si A∈ Mm1(R) alorsAest une ...
• Si A∈ M1n(R) alorsA est une ...
I.2 Opérations sur les matrices
1. Addition
Définition 2 Soit les matricesA,B etC appartenant àMmn(R). (elles sont de même taille) En ajoutant les coefficients deA et deB en même « position » on obtient la matriceC.
On écritC=A+B, ce qui signifie que ∀i, j entiers tels que16i6met16j 6n, cij =aij+bij .
Exemple 1 ...
2. Multiplication d’une matrice par un scalaire Définition 3 SoitA∈ Mmn(R) et λun réel.
En multipliant chaque coefficient deAparλ, on obtient la matriceλA. On noteλA= (λaij).
Exemple 2 ...
Remarque 2 On peut désormais définir la différence de deux matrices de même taille : A−B=A+ (−1)B 3. Produit de matrices
Très Important: Le produit AB de deux matricesAet B n’existe que si lenombre de colonnesdeA est égal aunombre de lignesdeB.
A∈ B∈ C=AB, C∈ M23(R) M23(R) . . . M23(R) M32(R) . . . M3(R) M3(R) . . . M3(R) M2(R) . . . M1n(R) Mn1(R) . . . Mn1(R) M1n(R) . . . Mmn(R) Mnp(R) . . . Mn(R) Mn(R) . . .
(a) Multiplication d’une matrice ligne par une matrice colonne Définition 4 SoitA∈ M1n(R)etB∈ Mn1(R).
on appelle produitABlenombre obtenu de la façon suivante :
a11 a12 . . . a1n
b11
b21
. . . bn1
=a11×b11+a12×b21+. . .+a1n×bn1
Remarque 3 Le produitBA existe-t-il ? ....
(b) Multiplication d’une matrice deMmn(R) par une matrice colonne deMn1(R) Définition 5 SoitA∈ Mmn(R)et B∈ Mn1(R).
On appelle produitABla matrice colonne (∈ Mn1(R))obtenue en multipliant chaque ligne deApar la matrice colonneB.
Écrire le produit :
Exemple 3 Une association de consommateurs compare les prix de cinq produitsp1,p2,p3,p4etp5distincts dans trois magasins différents. Les observations fournissent les données suivantes :
Prix des produits à l’unité en euros
ProduitP1 ProduitP2 ProduitP3 ProduitP4 ProduitP5
Magasin 1 1 5 2 3 4
Magasin 2 1,1 4,7 1,8 3,1 3,8
Magasin 3 0,9 5,1 1,9 3,2 4
Pour comparer la dépense d’une personne selon les magasins, on considère un panier indiquant pour chaque produit la quantité achetée. En utilisant le produit matriciel, donner le prix du panier 2,1,3,3,2 dans les trois magasins.
(c) Cas général
Définition 6 SoitA∈ Mmn(R)et B∈ Mnp(R).
On appelle produit AB la matrice de Mmp(R) obtenue en multipliant chaque ligne de A par chaque colonne deB.
Plus précisément, si l’on noteC le produitABle coefficientcij est obtenu en multipliant laième ligne de Apar lajèmecolonne deB.
Pour information, le coefficientcij s’écrit précisément de la manière suivante : cij =
Xn
k=1
aikbkj
Exemple 4 MultiplierA=
1 2 0 0 1 3
etB=
4 1 0 −1
1 0 2 1
−1 3 0 0
!
. Disposition pratique :
II Matrices carrées d’ordre n : ensemble Mn(R)
II.1 Inverse d’une matrice
1. Généralités sur les matrices carrées
• Il est important de rappeler que le produit de deux matrices carrées n’est pas commutatif. Il existe des couples de matrices telles queAB6=BA.
1 2 3 4
2 0 3 1
=. . . et
2 0 3 1
1 2 3 4
=. . .
• Les produits de deux matrices distinctes par une même matrice peuvent donner deux matrices identiques.
1 2 3 4
2 1 4 2
=. . . et
3 1 9 1
2 1 4 2
=. . .
• DansMn(R), la multiplication est associative : Pour toutes matricesA,BetCdeMn(R), A(BC) = (AB)C.
• La multiplication est distributive à gauche et à droite par raport à l’addition :
Pour toutes matricesA, B etC deMn(R), A(B+C) =AB+AC et (B+C)A=BA+CA. La double-distributivité est possible en respectant l’ordre d’écriture des matrices :
(A+B)(C+D) =AC+AD+BC+BD
• D’après ce qui précède, s’il existe des matrices distinctesA,B etC dansMn(R) telles que : AB=AC⇔AB−AC= 0n ⇔ A(B−C) = 0n.
La dernière relation signifie qu’il existe des matrices non nulles dont le produit donne 0. On les appelle divi- seurs de 0.
• Pour toute matriceAcarrée d’ordren, AIn =InA=A.
• Pour toutn∈N∗,An=A×A×. . . .×A
| {z }
nfois
etA0=In.
• Attention (A+B)2 n’est pas égal àA2+ 2AB+B2.
2. Définition de l’inverse d’une matrice
Définition 7 Soit A∈Mn(R). S’il existe une matriceB de Mn(R) telle que AB =BA= In, alors on dit queAest inversible et on note la matriceB de la façon suivante B=A−1.
On a doncAA−1=A−1A=In
Remarque 4 Une matriceA deMn(R), vérifiantAB=AC avecB 6=C n’est pas inversible. En effet, si elle l’était, la multiplication à gauche parA−1 donneraitB=C.
EXERCICE 1 Montrer que les matrices A et B sont inverses l’une de l’autre : A =
1 2 −1
1 0 2
−1 2 −1
et
B= 1 8
4 0 −4
1 2 3
−2 4 2
EXERCICE 2 SoitA=
0 1
−1 0
CalculerA2,A3 etA4. En déduireA−1. 3. Cas des matrices carrées d’ordre 2
Définition 8 et propriété : SoitA∈ M2(R),A=
a11 a12
a21 a22
.
La matriceAest inversible si, et seulement si,a11a22−a21a126= 0.
Le réela11a22−a21a12 est appelé déterminant de la matriceAet noté det(A).
Si det(A)6= 0,A−1= 1 det(A)
a22 −a12
−a21 a11
Exemple 5 CalculerA−1à partir deAde l’exercice 2.
II.2 Application à la résolution de systèmes
On a vu qu’il est possible d’écrire un système sous forme matricielle : http://www.mimaths.net/IMG/pdf/thm2_spe_1213.pdf
Propriété 1 Un système linéaire ànéquations et ninconnuesx1, x2, . . . ,xn :
a11x1+a12x2+. . .+a1nxn =y1
a21x1+a22x2+. . .+a2nxn =y2
. . . .
an1x1+an2x2+. . .+annxn=yn
peut s’écrire sous la forme matricielle AX=Y où A = (aij) est une matrice carrée d’ordre n, X = (xi) et Y = (yi) sont des matrices colonnes deMn1(R).
Si Aest inversible, le système a alors une unique solution donnée parX =A−1Y.
Démonstration :
EXERCICE 3 Soit (S) :
2x1+ 4x2−x3= 1 3x1−2x2+x3= 2 x1−3x2+x3= 4 1. Écrire (S) sous forme matricielleAX=Y. 2. DéterminerA−1 à la calculatrice.
3. En déduire les solutions de ce système.
II.3 Puissances de matrices carrées d’ordre 2 ou 3
De nombreux problèmes conduisent à calculer des puissances de matrices :
• Pour des puissances raisonnables, la calculatrice permet d’obtenir un résultat ;
• Avec un logiciel de calcul formel (Xcas, ...), dans certains cas, on peut obtenir l’expression des coefficients deAn en fonction den.
• Une difficulté subsiste lorsque l’on doit interpréterAn avecntendant vers l’infini.
II.3.1 Matrice triangulaire
Définition 9 Une matrice est dite triangulaire supérieure lorsque ses coeffcients situés sous la diagonale principale sont nuls. Une matrice carrée d’ordre 3 triangulaire supérieure est de la forme :
Propriété 2 SoitT une matrice de M3(R) triangulaire supérieure etpun entier naturel non nul.
On a :
Tp=
ap11 ⋆ ⋆ 0 ap22 ⋆ 0 0 ap33
Définition 10 Une matrice est dite strictement triangulaire supérieure lorsqu’elle est triangulaire supérieure et que ses coeffcients de la diagonale principale sont nuls.
Une matrice carrée d’ordre 3 strictement triangulaire supérieure est de la forme :
EXERCICE 4 Prouver que les matrices strictement triangulaires supérieures de M3(R) ont leurs puissances nulles à compter de la troisième au plus.
II.3.2 Matrice diagonale
Définition 11 Une matrice est dite diagonale lorsque tous les coeffcients non situés sur la diagonale principale sont nuls. Une matrice diagonale d’ordre 3 est de la forme :
Si D∈ M3(R)est diagonale, alors Dp est diagonale et ses coeffcients sont obtenues en calculant les puissances des coeffcients diagonaux deD.
Remarque 5 Ce qui précède se généralise aux matrices deMn(R).
