TS/Spé DS 2 2013-2014
EXERCICE 1 Produit matriiel
Trois étudiantse1,e2 ete3 passent quatre épreuves
(E1 : Mathématiques ,E2 : Physique ,E3 : Chimie etE4: Culture générale).
Deux concoursC1et C2 se basent sur les notes des ces quatre épreuves mais avec des coefficients différents.
La matrice des notes estN =
12 11 13 15
8 9 10 11
15 13 13 6
oùnij est la note de l’étudiantei à l’épreuveEj.
La matrice des coefficients estQ=
8 5 6 4 4 4 2 3
oùqij est le coefficient de l’épreuveEi au concoursCj.
1. Exprimer, à l’aide deN et deQ, la matrice T du total des points de ces étudiants au deux concours.
La première ligne de la matriceN mutipliée par la première colonne de la matriceQdonnera le total des points de l’élèvee1 au concoursC1. De plus,N ∈ M34(R) etQ∈ M42(R) donc la multiplicationN Q est réalisable et donne le résultat attendu : T =N Q.
T =
12 11 13 15
8 9 10 11
15 13 13 6
8 5 6 4 4 4 2 3
=
244 201 180 149 262 197
2. MatriceD telle que T Dreprésente la moyenne de chaque étudiant aux deux concours.
Pour obtenir la moyenne, il faut que chaque total de points soit divisé par la somme des coefficients. De plus, la matriceT Ddoit appartenir àM32(R), comme la matriceT; ainsi la matriceDdoit être carrée d’ordre 2. Si l’on notesk la somme des coefficients des concoursCk aveck∈ {1,2}, on doit choisirDde la façon suivante :
D=
1 s1
0
0 1
s2
=
1 20 0
0 1
16
AinsiD choisie, on obtient : T D=
244 201 180 149 262 197
1 20 0
0 1
16
=
12.2 12.5625 9 9.3125 13.1 12.3125
par ligne, les moyennes aux deux concours de chaque étudiant.
EXERCICE 2 Système et matrie
On considère le système suivant : (S)
x+ 3y+ 4z= 50 3x+ 5y−4z= 2 4x+ 7y−2z= 31 1. (S)⇔AX=B avecA=
1 3 4
3 5 −4 4 7 −2
;B =
50
2 31
et X =
x y z
2. A la calculatriceA−1= 1 8
−18 −34 32
10 18 −16
−1 −5 4
3.
AX=B A inversible ⇔
A−1(AX) =A−1B
A inversible ⇔
(A−1A)X =A−1B A inversible
X =A−1B A inversible Ce qui donneX =1
8
−18 −34 32
10 18 −16
−1 −5 4
50
2 31
=
3 5 8
et l’unique sokution de (S) est le triplet (3,5,8).
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EXERCICE 3 Propriétés du produit matriiel
On considère les matrices suivantes :A=
5 −4 4 −3
et J =
1 −1 1 −1
1. J2= 0 0
0 0
= 02
2. Compte-tenu des règles opératoires sur les matrices,A= 4J+I2. 3. En déduire le calcul deA×A
(a) directement :A2=
5 −4 4 −3
5 −4 4 −3
=
9 −8 8 −7
(b) en utilisant le résultat précédent :A2= (4J+I2)(4J+I2) = 16J2+ 4J+ 4J+I2= 8J+I2=
9 −8 8 −7
EXERCICE 4 Réurrene et matrie
On poseA=
−3 2 0 −3
etA=
0 2 0 0
1. A=N−3I2.
2. N2= 02 etA2= (N−3I2)(N−3I2) =N2−3N−3N+ 9I2= 9I2−6N.
3. On pose, pour tout entier naturelk, P(k) :Ak= (−3)kI2+k(−3)k−1N.
•Initialisation:k= 0 ;A0=I2 et (−3)0I2+ 0×(−3)−1N =I2 doncP(0) est vraie.
•Hérédité: Démontrons que pour toutk∈N, P(k) vraie impliqueP(k+ 1) vraie.
P(k) est vraie ⇔Ak = (−3)kI2+k(−3)k−1N
⇒AAk = (N−3I2)((−3)kI2+k(−3)k−1N)
⇔Ak+1 = (−3)kN+k(−3)k−1N2+ (−3)k+1I2+k(−3)kN
⇔Ak+1 = (−3)k+1I2+ (k+ 1)(−3)kN (N2= 02et factorisation par (−3)kN) doncP(k+ 1) est vraie.
•Conclusion : Ainsi, d’après le principe du raisonnement par récurrence, pour tout entier naturelk∈N, Ak= (−3)kI2+k(−3)k−1N.
Ce qui donne pour la matriceAk :
Ak =
(−3)k 2k(−3)k−1
0 (−3)k
,k∈N
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