( R ) , on note I la matrice identité et on distingue les deux matrices

(1)

MPSI B Année 2008-2009 DS 11 29 juin 2019

Problème 1

Soit n un entier positif. Dans M

n

( R ) , on note I la matrice identité et on distingue les deux matrices

S =







0 · · · 0

1 0

0 1 ... ...

... ... ... 0 0 · · · 0 1 0







, T =







0 · · · 0 1

1 0 0

0 1 ... ...

... ... ... 0 0 · · · 0 1 0







On note S et T les sous-espaces vectoriels engendrés respectivement par I, S, · · · , S

ⁿ⁻¹

et I, T, · · · T

ⁿ⁻¹

.

Si A et B appartiennent à M

n

( R ) , on dénit (A/B) = 1

n tr(A

^t

B) 1. Préciser les dimensions de S et T et l'intersection S ∩ T .

2. Pour p ∈ {1, · · · , n − 1} , exprimer T

^p

en fonction d'une puissance de S et de la trans- posée d'une puissance de S .

3. Montrer que ( / ) est un produit scalaire sur M

n

( R ) .

4. Montrer que (I, S, · · · , S

ⁿ⁻¹

) et (I, T, · · · , T

ⁿ⁻¹

) sont respectivement des bases ortho- gonales et orthonormées de S et T .

5. En considérant le produit scalaire (S

^q

/T

^p

) , montrer que pour p ∈ {1, · · · , n} , S

^p

est la projection orthogonale de T

^p

sur S .

Problème 2

On appelle

¹

sommet d'une courbe paramétrée régulière normale de classe C

³

tout point de celle-ci où la dérivée de la courbure s'annule.

Dans les questions 2 et 3, on compare pour les paraboles et les ellipses la notion usuelle de sommet d'une conique avec celle dénie ici. On établit ensuite que toute courbe fermée simple et strictement convexe (Fig. 1) admet au moins quatre sommets.

On adopte un certain nombre de notations valables dans tout le problème.

E est un plan ane de direction E .

1d'après École de l'air 2005

(O, ( − → i , − →

j )) est un repère xé. Les coordonnées et les axes complexes sont relatifs à ce repère.

M est une fonction dénie dans R et à valeurs dans E qui est une courbe paramétrée normale. Pour tout s réel, sa dérivée en s notée

− →

M

⁰

(s) = − → τ (s) est un vecteur unitaire de E .

− → n (s) est le vecteur unitaire directement orthogonal à − → τ (s) .

γ(f (t)) désigne la courbure au point f (t) du support d'une courbe paramétrée (pas forcément normale f ). Ce nombre sera aussi parfois noté c(s) .

M(0) =M(L)

Fig. 1: Courbe fermée, sans point double, strictement convexe

Partie 1. Dénitions - Exemples 1. Étude d'une équation diérentielle

Pour tout réel s , on désigne par z(s) l'axe complexe de M (s) et par x(s) et y(s) les parties réelles et imaginaires de z(s) .

a. Soit c une fonction continue de R dans R. Montrer l'équivalence entre les deux

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai S0811E

(2)

MPSI B Année 2008-2009 DS 11 29 juin 2019

propriétés suivantes :

(1) ∀s ∈ R : c(s) = γ(M (s))

(2) ∀s ∈ R : z

⁰⁰

(s) = ic(s)z

⁰

(s) b. On étudie les courbes dont la courbure est constante égale à c

0

.

En distinguant les deux cas c

0

= 0 et c

0

6= 0 , déterminer l'expression de z . En déduire les courbes dont tous les points sont des sommets.

c. On étudie les courbes d'axe z dont la courbure est donnée par une fonction c dénie dans R et par des conditions initiales :

∀s ∈ R : c(s) = 1

1 + s

²

, z(0) = i, z

⁰

(0) = 1 Montrer que

z

⁰

(s) = 1 + is

√ 1 + s

²

En déduire z et reconnaître la courbe en posant s = sh t . 2. Étude des sommets de la parabole

Soit p un réel strictement positif xé, une parabole est donnée par une paramétrisation f dénie dans R

f(t) = 0 + t − → i + t

²

2p

−

→ j

a. La courbe paramétrée f est-elle normale ? Déterminer − → τ (f (t)) , − → n (f (t)) , une équation cartésienne de la tangente en f (t) (sous la forme d'un déterminant non développé).

b. Calculer γ(f (t)) . En quel point de la parabole la dérivée de cette fonction s'annule- t-elle ?

3. Étude des sommets de l'ellipse

Soient a et b des réels strictement positifs distincts xés, une ellipse est donnée par une paramétrisation f dénie dans R par : .

f (t) = 0 + a cos t − →

i + b sin t − → j

a. La courbe paramétrée f est-elle normale ? Déterminer − → τ (f (t)) , − → n (f (t)) , une équation cartésienne de la tangente en f (t) (sous la forme d'un déterminant non développé).

b. Calculer γ(f(t)) . En quel point de l'ellipse la dérivée de cette fonction s'annule- t-elle ?

Partie 2. Courbe fermée strictement convexe

M₁=M(s₁) M₂=M(s₂)

Fig. 2: Intersection avec une sécante

Dans cette partie, on suppose que la courbe paramétrée normale M est C

³

( R ) et qu'elle vérie trois hypothèses supplémentaires.(Fig. 1)

Elle est fermée et de longueur L > 0 . Cela signie que la fonction M est périodique de plus petite période L .

Elle est sans point double. Cela signie que la restriction à [0, L[ de la fonction M est injective.

Elle est strictement convexe. Cela signie que, pour tout s

0

réel, l'ensemble des M (s) (pour s non congru à s

0

modulo L ) est contenu dans un des demi-plans ouverts dénis par la tangente à la courbe en M (s

₀

) .

1. Position par rapport à une sécante

On considère deux réels s

1

et s

2

dans une même période tels que s

1

< s

2

< s

1

+ L . On pose M

1

= M (s

1

) et M

2

= M (s

2

) . On considère un repère orthonormé direct dont l'origine est en M

1

et dont l'axe M

1

X est la droite orientée (M

1

M

2

) (Fig.2). On désigne par X(s) et Y (s) les coordonnées de M (s) dans ce repère.

a. On suppose qu'il existe des réels u et v tels que s

1

< u < v < s

2

et Y (u)Y (v) < 0 . Montrer qu'il existe un réel w tel que s

₁

< w < s

₂

et Y (w) = 0 .

2

(3)

MPSI B Année 2008-2009 DS 11 29 juin 2019

En déduire une contradiction avec les propriétés de la courbe.

b. Montrer que tous les points M (s) où s

1

< s < s

2

appartiennent à un des deux demi-plans ouverts délimités par la droite (M

1

M

2

) . Montrer que tous les points M (s) où s

2

< s < s

1

+ L appartiennent à l'autre demi-plan ouvert.

2. Sommets

On note c(s) = γ(M (s)) et on suppose que cette fonction n'est pas constante.

a. Montrer qu'il existe des réels s

1

et s

2

tels que

∀s ∈ R : c(s

1

) ≤ c(s) ≤ c(s

2

) s

1

< s

2

< s

1

+ L

En déduire que M

1

= M (s

1

) et M

2

= M (s

2

) sont des sommets de la courbe.

b. On suppose que, sur [s

1

, s

1

+ L[ , la dérivée c

⁰

ne s'annule qu'en s

1

et s

2

.

On considère à nouveau le repère de la question 1. et on suppose Y (s) > 0 pour tous s vériant s

1

< s < s

2

.

Montrer que

Z

s₁+L s1

c

⁰

(s)Y (s)ds > 0 Montrer que

Z

s₁+L s1

c

⁰

(s)Y (s)ds = 0

Déduire de cette contradiction que la courbe admet au moins un troisième sommet M

3

= M (s

3

) avec s

1

< s

3

< s

1

+ L .

c. On suppose que, sur [s

1

, s

1

+ L[ , la dérivée c

⁰

ne s'annule qu'en s

1

, s

2

et s

3

. Que peut-on dire alors de c

⁰

en s

3

? Établir une contradiction en reprenant le raisonnement précédent.

Ainsi, une courbe fermée sans point double et strictement convexe admet au moins quatre sommets.

3