Lycée Hoche MPSI B Feuille Sommations
1. (Ecu01)Discuter et résoudre, suivant les valeurs du para- mètrem, les équations ou inéquations
(m+ 1)x+ 2−m = 0 (1)
m
x−1 ≤ 1
x+ 2 (2)
√2x+m ≥ x+ 1 (3) 2. (Ecu02)
a. On considère un trinôme ax2+bx+c de discrimi- nant ∆. Montrer que ce trinôme admet deux ra- cines réelles distinctes strictement inférieures à1si et seulement si :
a >0 2a+b >0
∆>0 a+b+c >0
ou
a <0 2a+b <0
∆>0 a+b+c <0 b. Déterminer les réelsmtels que l'équation
(2m−1)x2+ 2(m+ 1)x+m+ 3 = 0 ait deux racines réelles inférieures ou égales à 1.
3. (Ecu03)Résoudre dansR:√
3−x−√
x+ 1>12. 4. (Ecu04)Soita >0,b >0,c >0, montrer que
a+1
a≥2, (a+b)(1 a+1
b)≥4
(a+b)(a+c)(b+c)≥8abc.
5. (Ecu05)Soita= 3 r
3 +q
9 +12527,b= 3 r
−3 +q
9 +12527, d=a−b, p=ab. Exprimera3−b3 en fonction dedet dep. En déduire la valeur ded.
6. (Ecu06)Simplier p3 5√
2 + 7−p3 5√
2−7.
7. (Ecu07) Simplier p
a+ 2√
a−1 + p a−2√
a−1 et pa+ 2√
a−1−p a−2√
a−1.
8. (Ecu08)Soitω6= 1 tel queωn= 1. Calculer les sommes
n
X
k=0
ωk,
n−1
X
k=0
n k
ωk,
An=
bn2c
X
k=0
(−1)k n
2k
, Bn=
bn−12 c
X
k=0
(−1)k n
2k+ 1
oùbxcdésigne la partie entière d'un nombre x. 9. (Ecu09)Montrer que∀n∈N∗,∀(a1,· · · , an)∈[1,+∞[n,
2n−1(a1a2· · ·an+ 1)≥(a1+ 1)· · ·(an+ 1).
10. (Ecu10)Soitaetb deux nombres réels tels que0< a < b. On considère les équations d'inconnue réellex
√x=√
a−x+√
b−x (1) 3x−(a+b) = 2p
(a−x)(b−x) (2) 5x2−2(a+b)x+ (a−b)2= 0 (3)
a. Comparer les ensembles de solution de(1),(2),(3). b. Étudier la fonction
x→√ x−√
a−x−√ b−x
c. On xe b. Discuter, suivant les valeurs de a, de l'existence et du nombre de solutions de(1). 11. (Ecu11)Exprimer les sommes en fonction den≥2 :
n
X
k=1
k n
k
,
n
X
k=1
(−1)kk n
k
,
X
kpair∈{0,···,n}
k n
k
, X
kimpair∈{1,···,n}
k n
k
,
n
X
k=2
k(k−1) n
k
,
n
X
k=0
1 k+ 1
n k
,
p∈J0, nK
p
X
k=0
n k
n−k p−k
12. (Ecu12)Démontrer, pour tous les entiersnnon nuls X
k∈J1,nK
1
k(k+ 1)(k+ 2) = n(n+ 3) 4(n+ 1)(n+ 2) X
k∈J1,nK
k
(k+ 1)! = 1− 1 (n+ 1)!
2!4!· · ·(2n)!≥((n+ 1)!)n
Soitnet pdeux entiers (0≤n≤p). Montrer que
p
X
k=n
k n
= p+ 1
n+ 1
.
13. (Ecu13)Soitn≥3un entier, trouver une autre expression deA,B,C pour
A= X
k∈J0,nK,k≡0 mod 3
n k
B= X
k∈J0,nK,k≡1 mod 3
n k
C= X
k∈J0,nK,k≡2 mod 3
n k
14. (Ecu14)Suite de Fibonacci et coecients du binôme La suite de Fibonacci (fn)n∈
N est dénie par f0 = 1, f1= 1et
∀n≥2, fn =fn−1+fn−2. Montrer que
∀n∈N, fn = X
k∈J0,nK k≤n−k
n−k k
.
On pourra visualiser les places des termes de la somme dans le triangle de Pascal.
Lycée Hoche MPSI B Feuille Sommations
15. (Ecu15)Pournnaturel non nul, on pose an= 1−1
2+1 3 −1
4 +· · ·+ 1
2n−1 − 1 2n En regroupant les termes par deux, montrer que la suite(an)n∈N∗est croissante. En ajoutant les termes qui manquent, majorer cette suite par une sommation en domino. En déduire sa convergence.
16. (Ecu16) Une entreprise chargée de repeindre un apparte- ment est constituée de 3 peintresP1,P2,P3. Le tableau suivant indique le temps mis par chaque peintre pour faire le travail s'il est tout seul.
P1 P2 P3 3 h 2 h 5 h
Combien de temps mettront-ils pour repeindre ensemble l'appartement ?
17. (Ecu17)Nombres de Fermat.
Pour toutn∈N, on défnitFn par Fn = 2(2n)+ 1 PréciserF0, F1, F2, F3. Montrer que
∀n∈N∗, F0F1· · ·Fn−1=Fn−2 18. (Ecu18)Soita, b,c,dréels, montrer que
a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+da⇒a=b=c=d 19. (Ecu19)Soitx1, x2,· · · , xn des nombres réels tels que
n
X
k=1
xk =
n
X
k=1
x2k =n Montrer qu'ils sont tous égaux à 1.
a. En considérant
n
X
k=1
x2k−2
n
X
k=1
xk.
b. En utilisant l'exercice 23 (inégalité de Cauchy- Schwarz).
20. (Ecu20)Soitx, y, zdes réels strictement positifs.
Montrer que
(1 +x)(1 +x2+x4) = (1 +x+x2)(1 +x3) En déduire queA=B avec
A= (1 +x)y+ (1 +x+x2)yz
(1 +x3)z+ (1 +x2+x4)zy
B= (1 +x)z+ (1 +x+x2)zy
(1 +x3)y+ (1 +x2+x4)yz 21. (Ecu21)Comparaison des moyennes arithmétiques et géo-
métriques.
Pourn∈N∗, on considère la proposition (Pn) ∀(x1,· · ·, xn)∈Rn+,
x1x2· · ·xn≤x1+x2+· · ·+xn
n
n
a. Montrer(P2).
b. Montrer que(Pn)⇒(Pn−1)pourn≥2. On posera xn=x1+x2+· · ·+xn−1
n−1 c. Montrer que ((P2)et (Pn))⇒(P2n). d. Montrer(Pn)pour tous lesn∈N∗. 22. (Ecu22)Montrer l'encadrement
4n 2√
n ≤ 2n
n
≤ 4n n13
23. (Ecu23)Autour de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
On considère des réels
x1, x2,· · ·, xn, y1, y2, . . . , yn
a. En considérant la factorisation canonique de
n
X
k=1
(xk+tyk)2
pourt∈R, montrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz
n
X
k=1
xkyk
≤ v u u t
n
X
k=1
x2k v u u t
n
X
k=1
y2k
b. Montrer que X
(k,l)∈J1,nK2
(xkyl−xlyk)2=
2
n
X
k=1
x2k
! n X
k=1
y2k
!
−2
n
X
k=1
xkyk
!2
c. En déduire une autre démonstration de l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Dans quel cas a-t-on l'égalité ? 24. (Ecu24)Pourn∈N,n6= 0,n6= 1, on pose
Pn=
n
Y
k=2
1−1
k
.
SimplierPn et préciser la limite. Même question avec
n
Y
k=2
1− 1
k2
.
25. (Ecu25)Pourn∈N∗, calculer
M = X
(i,j)∈J1,nK2
max(i, j), S = X
(i,j)∈J1,nK2
(i+j).
En déduire
m= X
(i,j)∈J1,nK2
min(i, j), a= X
(i,j)∈J1,nK2
|i−j|
Lycée Hoche MPSI B Feuille Sommations
26. (Ecu26) Pour n≥2, exprimer les quotients suivants uni- quement à l'aide de factorielles
Produit des impairs de 1à 2n Produit des pairs de1à2n ,
Produit des pairs de1à 2n+ 1 Produit des impairs de1 à2n+ 1 27. (Ecu27)Soitn≥2 entier et0≤p≤n−2. Montrer que
n p
= n−2
p
+ 2 n−2
p−1
+ n−2
p−2
28. (Ecu28)Montrer que :
∀n∈N, 5n+2≥4n+2+ 3n+2
29. (Ecu29)Soitn≥2 entier z∈Cet ω =e2iπn . CalculerSn
etTn
Sn =
n−1
X
k=0
ωk−1
2, Tn =
n−1
X
k=0
ωk+zn
30. (Ecu30)Pourn≥2entier, montrer que 2n−1
n
= 1 2
2n n
.
31. (Ecu31)Soita∈]0,1[. a. Montrer que
∀x∈[−a, a],∀t∈[0, π], 1−a≤ x−eit
≤1 +a.
On pourra comparer les carrés et introduire|x|.
b. Montrer que∀a >0,ln(1 +a)<−ln(1−a). c. Montrer que
∀x∈[−a, a],∀t∈[0, π], ln
x−eit
≤ −ln(1−a).
32. (Ecu32) Calculer de tête 114 en utilisant une formule du binôme. Calculer 115 et 116 (vous avez droit à un brouillon).
Lycée Hoche MPSI B Feuille Sommations : corrigés
1. (Ccu01)Comme il s'agit de discuter sur le paramètre m, le résultat doit être de la forme suivante
Simceci alors l'ensemble des solutions est ...
Simcela alors l'ensemble des solutions est ...
Il ne doit JAMAIS apparaitre quelque chose du genre Sixceci alors ...
On doit transformer l'équation ou l'inéquaion proposée en une autre équivalente et d'une forme plus commode pour la résolution.
Étude de l'équation (1). On peut discuter et répondre directement Sim=−1l'ensemble des solutions est vide Sim6= 1 alors l'ensemble des solutions est
m−2 m+ 1
Étude de l'inéquation(2). On transforme l'inéquation
(2)⇔ m
x−1− 1
x+ 2 ≤0⇔ m(x+ 2)−(x−1) (x−1)(x+ 2) ≤0
⇔ (m−1)x+ 2m+ 1 (x−1)(x+ 2) ≤0 Lorsque m−1 6= 0, on peut factoriser encore et tout revient à placer
h(m) =1 + 2m 1−m
par rapport à −2 et 1. On étudie la fonction h ainsi dénie. Il s'agit d'une fonction homographique dont les propriétés suivantes doivent être connues.
On peut la décomposer
h(m) = 1 + 2(m−1) + 2
1−m =−2 + 3 1−3
Son graphe (gure1) est une hyperbole et elle est stric-
Fig. 1 Exercice1: graphe deh
tement croissante dans chaque intervalle de dénition.
De plush(m) = 0est impossible eth(m) = 1⇔m= 0. Tout revient à étudier le signe de
(m−1) x−h(m) (x−1)(x+ 2)
Si m≤0 :(m−1)<0,−2< h(m)≤1. L'ensemble des solutions est
]−2, h(m)]∪[0,+∞[
Ceci contient le cas particulier]−2,+∞[pourm= 0. Si 0 < m < 1 : (m−1) <0, −2 <1 < h(m). L'en-
semble des solutions est
]−2,1[∪[h(m),+∞[
Si 0 <1 < m : (m−1) >0, h(m)< −2 <1. L'en- semble des solutions est]−∞, h(m)[∪]−2,−1[.
Étude de l'inéquation(3). On considère la fonctionϕmdénie par
ϕm(x) =√
2x+m−(x+ 1)
Il s'agit alors de discuter selon m de l'ensemble des x pour lesquelsϕm(x)≥0.
On sait que la fonction est dénie et continue dans −m2,+∞
et que sa limite est −∞en+∞.
Considérons l'équationϕm(x) = 0: (3i) ϕm(x) = 0⇒2x+m= (x+ 1)2
⇔x2=m−1 (3f) Lorsque m < 1, l'équation (3f) n'a ps de solution
donc(3i)non plus. Comme la fonction est continue, négative en +∞, continue et ne s'annulant pas, elle est toujours à valeur strictement négatives d'après le théorème de la valeur intermédiaire. Il n'y a donc pas de solution à l'inéquation dans ce cas.
Lorsquem≥1,am=−√
m−1etbm=√
m−1sont les solutions de(3f). De plus
−m
2 ≤am≤bm
En eet, le signe de m2−√
m−1est le même que celui de
m 2 −√
m−1 m 2 +√
m−1
=m2
4 −m+ 1 = (m−2)2
4 ≥0
Pour autant,amet bm ne sont pas forcément des so- lutions de(3i)car ils vérient
2x+m= (x+ 1)2 mais pas forcément
√2x+m=x+ 1
En fait bm+ 1>0 doncbm est toujours solution de (3i)alors que
am+ 1≥0⇔√
m−1≤1⇔m∈[1,2]
Lorsque m∈[1,2], la fonction ϕms'annule deux fois enan< bmet en changeant de signe (étude dérivée).
L'ensemble des solutions est alors [−√
m−1,√ m−1]
Lycée Hoche MPSI B Feuille Sommations : corrigés
Lorsquem >2, la fonction s'annule seulement enbn
(en changeant de signe). L'ensemble des solutions est [−m
2,√ m−1]
Il faudrait examiner plus sérieusement les cas particu- liersm= 1,2.
2. (Ccu02)
−2ab 1
−4a∆
Fig. 2 Exercice2 : Conguration 1.
a. On sait que le graphe de la fonction associée à un trinôme est une parabole qui peut être orientée vers le haut ou vers le bas.
Il convient de détailler (ce qui n'est pas fait ici) dans le casa > 0, la preuve de l'équivalence entre l'existence de deux racines<1 (Figure 2 : Con- guration 1) et les conditions
a >0
− b 2a<1
∆>0
a12+b1 +c >0
qui se ramènent facilement à celles de l'énoncé. Le casa <0 est analogue.
b. On exprime
a= 2m−1
∆ =−4(m−1)(m+ 4) a+b+c= 5m+ 4 2a+b= 6m
On forme le tableau des signes des expressions à considérer en rangeant les valeurs où le signe change
−4<−4
5 <0<1 2 <1
On trouve nalement que l'ensemble cherché est [−5
4,0[∪]1 2,1[
3. (Ccu03)La fonction f :x7→√
3−x−√
x+ 1>1 2
est dénie dans I = [−1,3], décroissante dans cet in- tervalle, avec f(−1) = 2 et f(3) =−2. L'ensemble des
nombres pour lesquels cette fonction prend une valeur
>12 est donc[−1, a[oùaest la solution def(x) = 12. On peut obtenir une expression de a avec des racines carrées.
Pourx∈I, notonsu=√
3−xet v=√
x+ 1, alors : u2+v2= 4
Sif(x) =12 alors
u=v+1
2 ⇒(v+1
2)2+v2= 4
⇒2v2+v−15
4 = 0racines −1±√ 31 4 Comme5<√
31,
−1−√ 31 4 <−6
4 =−3 2 <−1 l'ensemble des solutions est :
"
−1,−1 +√ 31 4
"
4. (Ccu04) On peut considérer la somme de deux nombres positifs inverses l'un de l'autre
∀t >0, t+1 t ≥2 qui résulte de(√
t−√1t)2≥0.
On en déduit ab +ab ≥1 d'où la première inégalité. En la réécrivant avec un carré (ce qui permet aussi de la montrer) et en multipliant on obtient la seconde
(a+b)2≥4ab (b+c)2≥4bc (c+a)2≥4ca
⇒((a+b)(b+c)(c+a))2≤(8abc)2
5. (Ccu05)Avec des identités remarquables : a3−b3= (a−b)(a2+ab+b2)
= (a−b)((a−b)2+ 3ab) =d(d2+ 3p) Commea3−b3= 6et p=53, le nombredest racine de l'équation
z3+ 5z= 6
Comme1est une racine évidente, on peut factoriser : z3+ 5z−6 = (z−1)(z2+z+ 6)
L'équationz2+z+ 6est sans racine réelle, on en déduit qued= 1.
6. (Ecu06) On procède comme dans l'exercice5. Le nombre dà simplier vérie
d3+ 3d−14 = 0⇔(d−2)(d2+ 2d+ 7) = 0 L'équation du second degré d2+ 2d+ 7 = 0n'a pas de racine réelle, on en déduitd= 2.
Lycée Hoche MPSI B Feuille Sommations : corrigés
7. (Ecu07)Notons : s=
q a+ 2√
a−1 + q
a−2√ a−1 d=
q a+ 2√
a−1−q a−2√
a−1 On peut simplier les produits :
sd= 4√
a−1 s2= 4(a−1) On en tire
s= 2√
a−1, d= 2
8. (Ecu10)Sommes géométriques et formules du binôme.
n
X
k=0
ωk= 1−ωn+1 1−ω
n−1
X
k=0
n k
ωk= (1 +ω)n−ωn
An+iBn = (1 +i)n⇒
An = 2ncosnπ 4 Bn = 2nsinnπ
4 9. (Ecu09)On raisonne par récurrence.
Pourn= 2, après développement, l'inégalité est équiva- lente àa1a2+ 1−a1−a2≥0. Or
a1a2+ 1−a1−a2=a1(a2−1) + 1−a2
= (a2−1)(a1−1)≥0 Montrons que l'inégalité au rangn−1 entraîne celle au rangn.
(a1)· · ·(an)≤2n−2(a1· · ·an−1+ 1)(an+ 1)
≤2n−2((a1· · ·an+ 1) + (a1· · ·an−1+an)) Or :
(a1· · ·an+ 1)−(a1· · ·an−1+an)
=a1· · ·an−1(an−1) + (1−an)
= (a1· · ·an−1−1)(an−1)≥0 On en conclut
(a1)· · ·(an)≤2n−1(a1· · ·an+ 1) 10. (Ccu10)
a. En élevant au carré, on obtient que les solutions de (1)sont solution de (2)et que les solutions de (2) sont solution de(3).
b. La fonction est strictement croissante dans [0, a]
d'après les propriétés de la fonction racine carrée.
c. On désigne par ϕ la fonction de la question b..
L'équation(1)revient à ϕ(x) = 0 La fonctionϕprend ses valeurs dans
h−(√ a+√
b),√ a−√
b−ai
L'équation (1) admet une unique solution si et seulement si
√a−√
b−a≥0⇔b≤2a
Dans ce cas, cette solution est également solution de(2)et de(3). L'équation(3)admet donc deux so- lutions réelles, l'une d'entre elle est celle de l'équa- tion(1).
11. (Ecu11) Ces sommes se calculent de deux manières. En utilisant la relation entre coecients du binôme
k≥1, k n
k
=n n−1
k−1
ou bien en dérivant des fonctions. Détaillons cette deuxième idée.
Dénissons une fonctionϕdansRpar : ϕ(t) =
n
X
k=0
n k
tk= (1 +t)n On en déduit, avec les règles de dérivation,
ϕ0(t) =
n
X
k=1
n k
tk−1=n(1 +t)n−1
(le premier terme disparait en dérivant) On en déduit
n
X
k=1
k n
k
=ϕ0(1) =n2n−1
n
X
k=1
(−1)kk n
k
=−ϕ0(−1) = 0 Notons
A= X
kpair∈{0,···,n}
k n
k
, B= X
kimpair∈{1,···,n}
k n
k
alors
−A+B =ϕ0(−1) = 0 A+B=ϕ0(1) =n2n−1
)
⇒ A = B = n2n−2
Calcul dePn
k=2k(k−1) nk: à compléter.
Calcul dePn k=0
1 k+1
n k
: à compléter.
Calcul de Pp k=0
n k
n−k p−k
. On exprime les coecients du binôme avec des factorielles que l'on redistribue. On obtient
2p p
n
12. (Ccu12)Les deux premières relations s'obtiennent par som- mation en dominos à partir des relations
1
k(k+ 1)(k+ 2) =1 2
1
k(k+ 1) − 1 (k+ 1)(k+ 2)
k
(k+ 1)! = 1
k!− 1 (k+ 1)!
La troisième relation se démontre par récurrence.
Pourn= 1, elle s'écrit2!≥2!.
