Soit n ∈ N ∗ , on note M = M n ( R ) , C = M n,1 ( R ) (matrices colonnes), L = M 1,n ( R ) (matrices lignes), O = O n ( R ) (matrices orthogonales).

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Problème 1

Soit n ∈ N ^∗ , on note M = M n ( R ) , C = M n,1 ( R ) (matrices colonnes), L = M 1,n ( R ) (matrices lignes), O = O n ( R ) (matrices orthogonales).

On note aussi S le sous-espace de M formé des matrices symétriques et A le sous-espace des matrices antisymétriques.

Pour toute M ∈ M , on dénit sa partie symétrique (notée M _s ) et sa partie antisymétrique (notée M _a ) par

∀M ∈ M : M s = 1

2 (M + ^t M ), M a = 1

2 (M − ^t M ).

On introduit les produits scalaires habituels dans C et M :

∀(X, Y ) ∈ C ² , (X/Y ) = ^t XY

∀(A, B) ∈ M ² , (A/B) = tr( ^t AB)

Les normes sont notées kk . Le contexte permettra de distinguer entre la norme et le produit scalaire dans C ou dans M .

Une matrice M ∈ M est dite normale si et seulement si ^t M M = M ^t M .

I. Parties symétriques et antisymétriques.

1. a. Préciser des bases pour S et A . En déduire leurs dimensions.

b. Montrer que S ^⊥ = A et S = A ^⊥ .

c. Préciser les projections orthogonales sur S et A d'une matrice M ∈ M .

2. Soit M ∈ M . Exprimer ^t M M en fonction de M s et M a . En déduire que M est normale) si et seulement M a M s = M s M a .

3. Soit M ∈ M inversible.

a. Montrer que

∀(S, A) ∈ S × A : M S ^t M ∈ S , M A ^t M ∈ A.

b. Montrer que

M s = M (M ⁻¹ ) s t M, M a = −M (M ⁻¹ ) a t M.

c. Montrer que det(M s ) = (det(M )) ² det((M ⁻¹ ) s ) .

II. Sous-espaces stables.

Soit M ∈ M , on note µ M l'application

C → C X 7→ M X

On pourra désigner ker µ M par ker M et Im µ M par Im M . Ce sont des sous-espaces de C . Soit U un sous-espace de C de dimension r stable par µ M .

Soit (C ₁ , · · · , C _n ) une base orthonormée de C telle que (C ₁ , · · · , C _r ) soit une base ortho- normée de U .

On note P ∈ M la matrice dont les colonnes sont (C ₁ , · · · , C _n ) et Q ∈ M n,r ( R ) celle dont les colonnes sont (C ₁ , · · · , C _r ) .

1. Montrer que rg(M ) = rg(µ M ) . 2. Changement de base.

a. Exprimer la matrice de µ M dans la base (C 1 , · · · , C n ) en fonction de M et P . On la note M ⁰ .

b. Exprimer la matrice R de la restriction de µ M à U dans la base (C 1 , · · · , C r ) en fonction de M et Q . En déduire que si M est symétrique (respectivement antisymétrique) alors R est symétrique (respectivement antisymétrique).

3. Dans cette question, on suppose que M est normale.

a. Montrer que M ⁰ est normale.

b. On écrit M ⁰ avec des blocs M ⁰ =

M ₁ M ₂ M ₃ M ₄

avec M 1 ∈ M r ( R ).

Montrer que M ₃ est une matrice nulle. Montrer que M ₂ est une matrice nulle. En déduire que U ^⊥ est stable par µ _M et que M ₁ et M ₄ sont normales.

4. Dans cette question on s'intéresse aux matrices antisymétriques.

a. Montrer que s'il existe une matrice antisymétrique inversible réelle de taille m×m alors m est pair.

b. Montrer que

∀A ∈ A, ∀X ∈ C, ^t XAX = 0.

c. Montrer que Im A = (ker A) ^⊥ et que rg(A) est pair.

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III. Sous-espaces stables irréductibles.

Soit M ∈ M et λ ∈ C.

On dit que λ est une valeur propre complexe de M si et seulement si

∃Z ∈ M n,1 ( C ) tq Z 6=





 0 ...

0





 et M Z = λZ.

La colonne Z est alors un vecteur propre de valeur propre λ . On note Sp _C (M ) l'ensemble des valeurs propres complexes de M . On admet que c'est une partie non vide de cardinal inférieur ou égal à n .

On dit que λ ∈ R est une valeur propre réelle de M si et seulement si

∃X ∈ C tq X 6=





 0 ...

0





 et M X = λX.

On note Sp _R (M ) l'ensemble des valeurs propres réelles de M .

1. Soit M ∈ M . Soit λ ∈ C \ R une valeur propre complexe non réelle et Z un vecteur propre associé. On dénit X et Y dans C tels que Z = X + iY par :

Z =





 z ₁

...

z _n





 , X =





 Re(z ₁ )

...

Re(z _n )





 , Y =





 Im(z ₁ )

...

Im(z _n )





 .

a. Montrer que (X, Y ) est une famille libre de C .

b. Montrer que U = Vect(X, Y ) est stable par µ M et former la matrice de la restric- tion de µ M à U dans la base (X, Y ) .

2. a. Soit S ∈ S . Montrer que Sp _C (S) = Sp _R (S) . b. Soit A ∈ A . Montrer que Sp _C (A) ⊂ i R.

3. Soit P ∈ O . On note S = P s et A = P a . a. Montrer que Sp _R (P ) ⊂ {−1, +1} .

b. Soit λ une valeur propre complexe non réelle de P . Montrer qu'il existe θ ∈ ]−π, π[

tel que λ = e ^iθ .

c. Montrer que ker A = ker(P − I) ⊕ ^⊥ ker(P + I) .

Problème 2

Soit (u _n ) _{n∈ N}

^∗

une suite de réels non nuls, on lui associe la suite (p _n ) _{n∈ N}

^∗

dénie par : p n = u 1 u 2 · · · u n

On dira que le produit inni Q

n≥1 u n converge si et seulement la suite (p n ) _n∈N

^∗

converge vers un nombre non nul. Cette limite sera notée Q

n≥1 u n . Si la suite (p n ) ne converge pas, on dira que le produit diverge.

I. Exemples.

1. Soit u _k = 1 + ¹ _k .

Simpliez p _n . Le produit Q

n≥1 (1 + _n ¹ ) est-il divergent ou convergent ? 2. Soit u _k = cos ₂ ^a

_k

avec a 6≡ 0 mod π .

Pour tout n ∈ N ^∗ , calculer p _n sin ₂ ^a

_n

. En déduire que le produit inni converge et préciser

Y

n≥1

cos a 2 ⁿ .

3. Soit u k = 1 − _k ¹

2

pour k ≥ 2 . Montrer que le produit inni converge et calculer Y

n≥2

(1 − 1 n ² ).

4. Soit a ∈]0, 1[ et u k = 1 + a ⁽²

^k

⁾ . Calculer (1 − a ² )p n . En déduire la convergence et la valeur du produit inni.

II. Conditions.

1. Montrer que si le produit inni Q

n≥1 u n converge alors la suite (u n ) _{n∈ N}

^∗

converge vers 1.

2. On suppose u _n > 0 à partir d'un certain rang n ₀ . Montrer que la convergence du produit inni Q

n≥1 u n est équivalent à la convergence de la série ( P ln(u n )) _n≥n

₀

. Dans ce cas, comment sont reliés la valeur du produit inni et la somme de la série ?

3. Montrer que, sous l'une des hypothèses suivantes

à partir d'un certain rang n ₀ , u _n = 1 − v _n avec 0 < v _n < 1 , à partir d'un certain rang n 0 , u n = 1 + v n avec 0 < v n , le produit inni Q

n≥1 u n converge si et seulement si la série ( P v n ) _n≥n

0

converge.

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III. Un expression de sin comme produit inni.

Dans cette partie, x ∈] − 1, 1[ .

1. a. Montrer la convergence de la série ( P 2x x

²

−n

²

) _n≥1 . b. Montrer la convergence du produit inni Q

n≥1 (1 − _n ^x

²2

) . 2. Études locales.

a. Former un développement asymptotique en 0 avec un reste en o(t) de t 7→ π cotan(πt).

b. Montrer que l'on peut prolonger par continuité la fonction dénie par :

∀t ∈] − 1, +1[\ {0} , t 7→ ln sin πt

πt

.

On note f la fonction ainsi prolongée.

c. Montrer que f est C ¹ dans ] − 1, +1[ et préciser f ⁰ . 3. On admet la relation suivante

∀x ∈] − 1, 1[, f ⁰ (x) = X

n≥1

2x x ² − n ² .

a. Montrer que

∀t ∈]0, 1[, ∀n ∈ N \ {0, 1} , t

n ² − t ² ≤ 1 n ² − 1 b. Montrer que

∀N ∈ N ^∗ , ∀x ∈] − 1, +1[

ln

sin(πx) πx

−

N

X

n=1

Z x 0

2t t ² − n ² dt

≤ |x|

+∞

X

n=N+1

2 n ² − 1 .

c. En déduire

∀x ∈] − 1, +1[, sin(πx) = πx Y

n≥1

1 − x ²

n ²

.

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