Matrices semblables sur R et sur C .
L’objectif de cette séance est de démontrer le résultat qui suit.
SoientA, B∈ Mn(R).
Les matricesA etB sont semblables sur Rsi, et seulement si, elles sont semblables sur C. Théorème 1
Démonstration.
” ⇒ ” : Triviale.
” ⇐ ”: On suppose qu’il existe P ∈GLn(C) telle queA=P−1BP. Par conséquent, P A=BP. On écrit alorsP =Q+iRavec Q, R∈ Mn(R) et on a doncQA+iRA=BQ+iBR.
En travaillant coefficients par coefficients et en identifiant partie réelle et partie imaginaire, on obtient queQA=BQ etRA=BR.
On en déduit que pour tout t ∈R, (Q+tR)A =B(Q+tr). CommeQ+tR ∈ Mn(R), il s’agit de montrer qu’il existe, au moins, un réelt pour lequelQ+tR∈GLn(R).
Considérons l’application
ϕ: C → C t 7→ det(Q+tR) .
L’application ϕest une application polynomiale puisque le déterminant en est une.
Comme P ∈GLn(C), on en déduit que ϕ(i)6= 0 et en particulier l’application ϕest non nulle.
L’application polynomiale ϕ admet donc un nombre fini de racines et il en résulte qu’il existet ∈R tel que ϕ(t)6= 0, soit det(Q+tR)6= 0, ou encoreQ+tR∈GLn(R).
Ce résultat se généralise pour toute extension de corpsK,→ L mais la preuve proposée ne s’adapte pas... Il faut utiliser l’artillerie lourde des invariants de similitudes et l’invariance du polynôme mini- mal...
Remarque I
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