Il faut utiliser le tenseur des contraintes

Cadre général

Hypothèses de base

Signification physique du vecteur contrainte

Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de l’action et de la réaction

Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes

Signification physique des contraintes

Équations d’équilibre

Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces

Équilibre des moments

Contraintes principales

Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes

Différents tenseurs des contraintes

Utilisation du tenseur des contraintes

Bilan Résumé

CONTRAINTES

CONTRAINTES

Il faut utiliser le tenseur des contraintes

Comment décrire les efforts auxquels est soumis ce solide ?

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

Signification physique du vecteur contrainte

Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de l’action et de la réaction

Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes

Signification physique des contraintes

Équations d’équilibre

Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces

Équilibre des moments

Contraintes principales

Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes

Différents tenseurs des contraintes

Utilisation du tenseur des contraintes

Bilan Résumé Cadre général

Efforts de cohésion dans Ω _A

(dus à la déformation) Efforts de Ω ^sur Ω A

(provoquant la déformation)

Ω Ω _A

Densité surfacique de forces t t

Densité volumique de forces F

F

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

Signification physique du vecteur contrainte

Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de l’action et de la réaction

Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes

Signification physique des contraintes

Équations d’équilibre

Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces

Équilibre des moments

Contraintes principales

Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes

Différents tenseurs des contraintes

Utilisation du tenseur des contraintes

Bilan Résumé

Hypothèses de base

Ω

Vecteur contrainte

Tenseur des contraintes

Le tenseur des contraintes est symétrique

F dv = t ds Ω

∂Ω

P

x

C(t)

F Ω _A

t

F = div( σ ⁾

t = σ ^.n

F∧x dv = t ∧x ds Ω

∂Ω

σ ⁼ σ ^t

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

Signification physique du vecteur contrainte

Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de l’action et de la réaction

Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes

Signification physique des contraintes

Équations d’équilibre

Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces

Équilibre des moments

Contraintes principales

Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes

Différents tenseurs des contraintes

Utilisation du tenseur des contraintes

Bilan Résumé

Théorème de l’action et de la réaction

Le vecteur contrainte n ’est pas forcément porté par la normale à cette surface.

n

df t

t = lim

ds -> 0

df ds

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

Signification physique du vecteur contrainte

Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de l’action et de la réaction

Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes

Signification physique des contraintes

Équations d’équilibre

Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces

Équilibre des moments

Contraintes principales

Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes

Différents tenseurs des contraintes

Utilisation du tenseur des contraintes

Bilan Résumé

Signification physique du vecteur contrainte

surface contraintes

vecteur

Cauchy (eulérien, symétrique)

Piola-Kirchhoff (lagrangien, symétrique)

Piola-Lagrange df = σ ^.ds

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

Signification physique du vecteur contrainte

Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de l’action et de la réaction

Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes

Signification physique des contraintes

Équations d’équilibre

Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces

Équilibre des moments

Contraintes principales

Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes

Différents tenseurs des contraintes

Utilisation du tenseur des contraintes

Bilan Résumé

Différents tenseurs des contraintes

n

ds

t Contrainte normale

σ _n

Contrainte tangentielle

σ _t b

σ _n ^{= t . n =} σ _ij ⁿ _i ⁿ _j σ _t ^{= t . b =} σ _ij ^b _i ⁿ _j

ou

σ _t ^{b = t -} σ _n ⁿ

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

Signification physique du vecteur contrainte

Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de l’action et de la réaction

Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes

Signification physique des contraintes

Équations d’équilibre

Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces

Équilibre des moments

Contraintes principales

Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes

Différents tenseurs des contraintes

Utilisation du tenseur des contraintes

Bilan Résumé

Contraintes normale et tangentielle

Ω

∂ Ω

Vecteur contrainte T connu

sur la partie ∂ Ω _T ^{de ∂} Ω ^{t = T} σ ^{.n = T}

n

∂ Ω _T T

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

Signification physique du vecteur contrainte

Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de l’action et de la réaction

Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes

Signification physique des contraintes

Équations d’équilibre

Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces

Équilibre des moments

Contraintes principales

Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes

Différents tenseurs des contraintes

Utilisation du tenseur des contraintes

Bilan Résumé

Conditions aux limites en pression

Dans un repère orthonormé (Oxyz) :

σ ⁼

σ _xx σ _xy σ _xz σ _yx σ _yy σ _yz σ _zx σ _zy σ _zz

n 0 t 0 1

σ _xz σ _yz σ _zz

σ _xy σ _yy σ _zy

σ _xx σ _yx σ _zx

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

Signification physique du vecteur contrainte

Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de l’action et de la réaction

Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes

Signification physique des contraintes

Équations d’équilibre

Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces

Équilibre des moments

Contraintes principales

Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes

Différents tenseurs des contraintes

Utilisation du tenseur des contraintes

Bilan Résumé

Contraintes dans un repère orthonormé

actions sur Ω _A par le milieu extérieur

- vecteur contrainte t - forces de volume f _v

Ω Ω _A

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

Signification physique du vecteur contrainte

Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de l’action et de la réaction

Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes

Signification physique des contraintes

Équations d’équilibre

Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces

Équilibre des moments

Contraintes principales

Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes

Différents tenseurs des contraintes

Utilisation du tenseur des contraintes

Bilan Résumé

Forces extérieures agissant sur un volume

Ω ργγγγ Ω

∂ Ω

Ω

σσσσ Ω ργγγγ σσσσ ργγγγ

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

Signification physique du vecteur contrainte

Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de l’action et de la réaction

Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes

Signification physique des contraintes

Équations d’équilibre

Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces

Équilibre des moments

Contraintes principales

Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes

Différents tenseurs des contraintes

Utilisation du tenseur des contraintes

Bilan Résumé

Équilibre des forces

∂ Ω

∧ Ω ργ γ γ γ ∧ Ω ^∧

Ω

σσσσ ργγγγ _∧ σσσσ σ σ σ σ ) Ω

équilibre des forces symétrie du tenseur des contraintes

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

Signification physique du vecteur contrainte

Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de l’action et de la réaction

Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes

Signification physique des contraintes

Équations d’équilibre

Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces

Équilibre des moments

Contraintes principales

Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes

Différents tenseurs des contraintes

Utilisation du tenseur des contraintes

Bilan Résumé

Équilibre des moments

σ ⁼ σ ^t Dans le repère « principal » :

Contraintes principales

σ _III σ ⁼

σ _I

σ _II

0 0

0 0

0 0

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

Signification physique du vecteur contrainte

Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de l’action et de la réaction

Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes

Signification physique des contraintes

Équations d’équilibre

Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces

Équilibre des moments

Contraintes principales

Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes

Différents tenseurs des contraintes

Utilisation du tenseur des contraintes

Bilan Résumé

Contraintes principales

symétrique de trace nulle contrainte moyenne :

σ ⁼

σ ₁₁ σ ₁₂ σ ₁₃ σ ₂₁ σ ₂₂ σ ₂₃

σ ₃₁ σ ₃₂ σ ₃₃ σ ^tr σ

déviateur des contraintes :

S =

σ ₁₁ ^- σ _m σ ₁₂ σ ₁₃

σ ₂₁ σ ₂₃

σ ₃₁ σ ₃₂ σ ₂₂ ^- σ _m

σ ₃₃ ^- σ _m

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

Signification physique du vecteur contrainte

Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de l’action et de la réaction

Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes

Signification physique des contraintes

Équations d’équilibre

Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces

Équilibre des moments

Contraintes principales

Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes

Différents tenseurs des contraintes

Utilisation du tenseur des contraintes

Bilan Résumé

Contrainte moyenne et déviateur

contrainte équivalente de von Mises :

σ ^{= Sup(|} σ _I ^- σ _II ^{|, |} σ _II ^- σ _III ^{|, |} σ _I ^- σ _III ^|)

contrainte équivalente de Tresca :

σ ^{= 3 S} _ij ^S _ij

2

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

Signification physique du vecteur contrainte

Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de l’action et de la réaction

Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes

Signification physique des contraintes

Équations d’équilibre

Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces

Équilibre des moments

Contraintes principales

Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes

Différents tenseurs des contraintes

Utilisation du tenseur des contraintes

Bilan Résumé

Contraintes équivalentes

Contraintes

Hypothèse des petites perturbations

vecteur contrainte : t ( X, n, t) tenseur des contraintes : t = σ ^{. n avec} σ ⁼ σ ^{( X, t)}

équations d’équilibre :

σ _ij,j ^{+ f} _vi ⁼ ργ _i

conditions aux limites :

σ . n = T sur ∂ Ω _T

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

Signification physique du vecteur contrainte

Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de l’action et de la réaction

Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes

Signification physique des contraintes

Équations d’équilibre

Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces

Équilibre des moments

Contraintes principales

Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes

Différents tenseurs des contraintes

Utilisation du tenseur des contraintes

Bilan Résumé Résumé