M ´ECANIQUE DES MILIEUX D ´EFORMABLES Exercices, feuille 5 Contraintes (tenseur des...)

Paris 7 PH314

–

M ´ ECANIQUE DES MILIEUX D ´ EFORMABLES

Exercices, feuille 5 Contraintes (tenseur des...)

1

Une ´eprouvette allong´ee, de section uniforme (disons circulaire,

¸ca ne change pas grand chose `a l’affaire), aireA, est sollicit´ee en traction sous une force F appliqu´ee `a ses extr´emit´es en sorte que la contrainte sur une section droite, loin des extr´emit´es, soit purement normale et uniforme.

1. Calculez cette contraintec_n.

2. Repr´esentez, et calculez, la distribution de contraintec⁰ sur une section inclin´ee deθ par rapport `a la section droite.

3. Calculez les contraintes normalec_net tangentiellec_tsur la section inclin´ee.

4. Repr´esentez graphiquementcn(θ) etct(θ).

5. Comment expliquez-vous le paradoxe que repr´esentent les valeurscn(π/2) etct(π/2) eu ´egard `a l’existence de la force de traction F?

6. Nostalgie : pouvez-vous maintenant expliquer la fa¸con dont vos pˆat´es de sable s’´ecroulaient ?

2

L’´etat de contrainte d’un milieu est connu, en un point O, par les com- posantes σ_ij du tenseur des contraintes par rapport `a un certain rep`ere (ˆx,y,ˆ z).ˆ

1. Repr´esentez un petit (combien petit ?) parall´el´epip`ede ´el´ementaire autour de O et dont les arˆetes sont parall`eles aux axes du rep`ere. Repr´esentez sur ce dessin les composantes des contraintes qui s’exercent sur chaque face et explicitez chacune de ces composantes en termes des composantes du tenseur des contraintes.

2. Juste pour ˆetre sˆur... On consid`ere le petit prisme rectangulaire ci-contre. Repr´esentez les composantes normales et tangentielles des con- traintes sur les faces, et exprimez les en termes des composantesσij etσi⁰j⁰

dumˆemetenseur sur les rep`eres (ˆx,y,ˆ z) et (ˆˆ x⁰,yˆ⁰,zˆ⁰) naturellement associ´es aux faces.

3

1. Une portion d’un corps est en pr´esence du vide. Quelles con- ditions s’ensuivent pour les composantes du tenseur des contraintes

`

a la surface :

i) dans le rep`ere (ˆx<sup>0</sup>,yˆ<sup>0</sup>) ? ii) dans le rep`ere (ˆx,y) ?ˆ

2. Mˆemes questions si ce corps est en pr´esence d’un fluide `a la pression p.

2 M´ecanique des Milieux D´eformables, PH314 Paris 7

4

En un point d’un milieu, sur un tout petit parall´el´epip`ede, il se trouve que la contrainte sur une face est purement normaleet, par ailleurs, les valeurs de certaines composantes des contraintes sur deux faces orthogonales `a la premi`ere, sont donn´ees sur la figure ci-contre.

1. Repr´esentez et indiquez les valeurs des composantes des contraintes sur chacune des faces.

2. Donnez les valeurs des chacune des composantes du tenseur des contraintes au point consid´er´e, par rapport au rep`ere qui vous convient.

3. D´eterminez les valeurs des contraintes principales. Pouvez-vous songer `a un moyen de v´erifi- cation de vos r´esultats ?

4. D´eterminez les axes principaux des contraintes.

5. Repr´esentez un parall´el´epip`ede parall`ele aux axes principaux et les contraintes auxquelles ses faces sont soumises.

5

Un r´eservoir cylindrique, mince et allong´e, est fabriqu´e par enroulement en h´elice et soudure d’une bande de plastique d’´epaisseur et largeur uniformes. Ce r´eservoir est mis en pression.

1. Quels sont les axes principaux de con- trainte en un point de la paroi pas trop pr`es des extr´emit´es ?

2. La soudure affaiblit quelque peu le mat´eriau plastique. D´eterminez la largeur maximale de la bande en sorte que la contrainte d’extension support´ee par la soudure n’exc`ede pas 80% de la contrainte d’extension admise pour le mat´eriau intact.

6

On s’int´eresse, pour une poutre fl´echie, `a la question de la r´epartition des composantes du tenseur des contraintes (sur le rep`ere (ˆx,y,ˆ z) habituel pour analyser la flexion d’une poutre mince), etˆ en particulier `a la contrainte de cisaillement induite par l’effort tranchant. La poutre, a section rectangulaire, n’est soumise qu’`a des charges concentr´ees, et on n’envisage que le cas de contraintes planes, dans le plan (x, y).

1. Rappelez les conditions d’´equilibre que doivent satisfaire les d´eriv´ees des composantes du tenseur des contraintes (en n´egligeant le poids de la poutre).

2. Rappelez l’expression de σxx(x, y) obtenue lors de l’analyse de l’effet du moment fl´echissant seul.

3. Conditions aux limites : quelles sont les valeurs σ_ij(x, h/2) des composantes du tenseur des contraintes sur la face sup´erieure de la poutre ?

4. Compte-tenu de la relation diff´erentielle entre moment fl´echissant et effort tranchant, en d´eduire l’´equation diff´erentielle d´eterminant σ_xy(y).

5. En d´eduire la r´epartition de la contrainte de cisaillementσ_xy(y) dans une coupure de la poutre.

V´erifiez sa compatibilit´e avec la valeur de l’effort tranchant.

6. Comparez les valeurs maximales des contraintes normale (effet du moment fl´echissant) et tangentielle (effet de l’effort tranchant) dans une section de la poutre.