M ´ECANIQUE DES MILIEUX D ´EFORMABLES Exercices, feuille 1 Statique

Paris 7 PH314

–

M ´ ECANIQUE DES MILIEUX D ´ EFORMABLES

Exercices, feuille 1 Statique

1

Une enseigne carr´ee de 2 m, 48 kg, est accroch´ee `a une potence de 3 m. La potence est soutenue par un cˆable qui va de son extr´emit´e au mur, 4 m plus haut, et elle est fix´ee au mur par une articulation.

D´eterminer :

i) la tension du cˆable ;

ii) la r´eaction du mur sur la potence.

2

Votre voiture est embourb´ee. Heureusement il y a un arbre juste devant, `a 20 m, et vous disposez d’une corde que vous tendez entre la voiture et l’arbre. Vous tirez en travers de cette corde, par son milieu. Lorsque la voiture commence `a bouger, la force que vous exercez est de 400 N, tandis que la flˆeche de la corde est de 30 cm.

Quelle est alors la traction exerc´ee par la corde sur la voiture ?

3

Vous avez peut-ˆetre d´ej`a ´eprouv´e personnellement que, sur un terrain irr´egulier, il semble plus confortable de tirer une brouette que de la pousser. Analysez les forces mises en jeu dans ces deux dispositions lorsque la roue de votre brouette doit franchir une petite marche.

4

Une corde est enroul´ee autour d’un arbre cylindrique. A la limite du` glissement, le frottement entre les mat´eriaux de la corde et de l’arbre suit `a peu pr`es une loi proportionnelle, avec un coefficientf ≈0,3.

1. D´eterminez l’expression de la diff´erence des tensions aux extr´emit´es d’un ´el´ement de corde enroul´e sur un angle dθ.

2. La corde est enroul´ee sur un angle total θ. D´eterminez la relation entre les tensionsT₀ etT(θ) aux extr´emit´es de la corde.

3. La corde est enroul´ee sur 3 tours. Quelle force pouvez-vous vous contenter d’exercer `a une extr´emit´e pour maintenir une charge de 10<sup>4</sup>N appliqu´ee `a l’autre extr´emit´e ?

2 M´ecanique des Milieux D´eformables, PH314 Paris 7

5

On consid`ere une suspension constitu´ee de trois fils d’acier de mˆeme section 1 mm<sup>2</sup> : un fil central de longueur L0 = 1 m et deux fils `a 45^o, dans un mˆeme plan. Un tel fil se comporte comme un ressort de raideur k≈2×10⁵N m⁻¹ pour une longueur de 1 m.

1. Juste pour se faire une id´ee, quelle est la valeur de l’´elongation ∆Ld’un fil, unique, de longueur L0= 1 m

`

a vide, lorsqu’il est soumis `a une charge P = 300 N ? (C’est `a peu pr`es la limite ´elastique de ce fil ; au del`a, il ne revient pas `a sa longueur initiale lorsqu’on supprime la charge.)

2. Calculer la raideurk⁰ d’un fil de longueurL⁰₀.

3. Sous l’effet de la charge P, la suspension trifilaire se d´eforme : le fil de longueur L₀ s’allonge de ∆L, les fils de longueurL⁰₀ s’allongent chacun de ∆L⁰.

i) ´Etablir la relation g´eom´etrique (approch´ee) entre ∆Let ∆L⁰.

ii) ´Ecrire l’´equation d’´equilibre (approch´ee) entre la charge P et les tensions T et T⁰ dans les fils L₀ et L⁰₀.

iii) ´Etablir les expressions des tensions T et T⁰ en termes de l’´elongation ∆L et de la raideur k du fil L₀.

iv) En d´eduire l’expression de l’´elongation ∆Len termes de la chargeP et de la raideur k.

v) Calculer les valeurs des tensions T et T⁰.