Paris 7 PH314
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M ´ ECANIQUE DES MILIEUX D ´ EFORMABLES
Exercices, feuille 2 Contraintes simples, loi de Hooke
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Extension simpleSoit un fil d’acier doux : module de Young E ≈200 GPa, contrainte de rupture cn rupt ≈ 400 MPa, sectionA= 1 mm2, longueur au reposL= 1 m.
1. Ordres de grandeurs pratiques : calculez la valeur de la contrainte de rupture en kgf mm−2, ainsi que la charge de rupture de ce fil en extension.
2. Calculez l’allongement (relatif) du fil,a, sous l’effet d’une charge de 100 N.
3. Calculez l’´elongation ∆Ldu fil.
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PlomberieOn se demande quelle est la valeur de la pression effective que peut supporter un tuyau de cuivre. Les caract´eristiques du cuivre sont : module de Young E ≈ 140 GPa, contrainte admissible cn adm ≈ 21 MPa. Le diamˆetre (disons int´erieur) du tuyau est D = 2 cm et l’´epaisseur de la paroi e= 1 mm.
Pour analyser les forces int´erieures dans la paroi du tuyau soumis `a la pression effective p du fluide qu’il contient, on imagine de le couper par un diamˆetre, dans le sens de la longueur, et de ne consid´erer qu’une longueur l de l’une des deux moiti´es de tuyau. SoientNetTles composantes normale et tangentielle de la r´esultante des forces exerc´ees par la moiti´e
“ˆot´ee” sur une coupure de la moiti´e “gard´ee”.
1. En consid´erant, par r´eaction, les forces exerc´ees par la
moiti´e gard´ee sur la moiti´e ˆot´ee, que pouvez-vous dire de la composante tangentielleT?
2. A l’aide de la condition d’´equilibre de la moiti´e gard´ee, ´etablir la relation entre la composante` normale Net la r´esultante des forces de pression sur la paroi gard´ee.
3. Les forces de pression.
i) ´Etablir l’expression de la force de pression sur un ´el´ement d’aire de la paroi. En d´eduire l’expression de sa composante normale au plan de coupure.
ii) Montrez que cette composante normale peut s’exprimer en fonction de l’aire de la projection de l’´el´ement sur le plan de coupure.
iii) En d´eduire l’expression de la r´esultante des forces de pression exerc´ees sur la paroi de la moiti´e gard´ee.
4. D´etermination de la contrainte.
i) En d´eduire l’expression du module de la composante normale N de la r´esultante des forces exerc´ees par la moiti´e ˆot´ee sur une coupure de la moiti´e gard´ee.
ii) En d´eduire enfin l’expression de la contrainte d’extensionmoyenne dans la paroi du tuyau.
iii) En d´eduire les expressions de l’´elongation de la circonf´erence du tuyau puis de l’´elongation du diamˆetre.
5. Calculez la pression maximale admissible dans le tuyau et l’´elongation du diamˆetre correspon- dante.
2 M´ecanique des Milieux D´eformables, PH314 Paris 7
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Contrainte variableUne longueur L de fil d’acier, section d’aire A = 1 mm2, pend sous l’effet de son propre poids.
Caract´eristiques de l’acier doux : module de YoungE≈200 GPa, limite ´elastiquecn ´elast≈300 MPa, masse volumiqueρ≈7,8 t m−3.
1. Etablir l’expression de la contrainte normale´ cn(z) sur la section du fil `a l’altitudez au dessus de son extr´emit´e inf´erieure. (Toujours le mˆeme truc : couper le fil `a l’endroit o`u l’on se pose la question, et n’en garder qu’un des deux morceaux.)
2. Etablir l’expression et calculer la valeur critique de la longueur´ Lpour laquelle la limite ´elastique est atteinte dans le fil.
3. La section qui, “`a vide” (sans charge), serait `a l’altitudez, se trouve, “en charge” (sous l’effet du poids ici) d´eplac´ee en z+u(z). La fonction u(z) est appel´ee d´eplacement (du point qui, `a vide, serait ou ´etait en z).
i) Soit, `a vide, la rondelle d’´epaisseur dz, comprise entre les sectionszetz+ dz. Calculez l’´elongation, puis l’allongement (relatif), de l’´epaisseur de la rondelle lors du d´eplacement u(z).
ii) Grˆace `a l’expression de la contrainte cn(z) et compte tenu de la loi de Hooke, en d´eduire une
´equation diff´erentielle pouru(z), et enfin la solutionu(z) elle-mˆeme.
iii) En d´eduire l’´elongation d’un fil `a la longueur critique.
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Solide d’´egale r´esistance1. Un poteau constitu´e d’un mat´eriau de masse volumique ρa une section dont l’aire A(z) varie, `a forme identique, en sorte que la contrainte de compressioncn soit constante.
i) ´Ecrire la condition d’´equilibre d’une tranche fine.
ii) En d´eduire l’´equation diff´erentielle que doit satisfaire l’aireA(z), puis sa solution.
iii) En d´eduire l’expression d’une dimensionD(z) caract´eristique de la section `a l’altitudez.
2. Une pile de viaduc haute de 50 m doit supporter une charge de 1,5 MN. La pile est en b´eton,ρ= 2,4 t m−3et on fixe la contrainte
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a 2 MPa (le b´eton admet,en compression, une contrainte de 16 MPa,
mais la pile doit rester stable au flambage). Calculer l’aire de la section au faˆıte de la pile et au pied de la pile.
3. Vue de (tr`es) loin, la tour Eiffel a l’aspect d’un solide homog`ene !
i) V´erifiez que son profil est `a peu pr`es celui d’un poteau d’´egale r´esistance.
ii) ´Evaluez la masse volumique ρh et la contrainte de compressionchdans ce mod`ele homog`ene.
iii) Vue de plus pr`es, cette tour est com- pos´ee de fer (ρf ≈ 8 g cm−3)... et de beau- coup d’air. Supposant que la tour a ´et´e con¸cue en sorte que la contrainte de com- pression dans le fer,cf, soit constante, ´eva- luez cette contrainte.
