M ´ ECANIQUE DES MILIEUX D ´ EFORMABLES

Paris 7 PH314

–

M ´ ECANIQUE DES MILIEUX D ´ EFORMABLES

EXAMEN PARTIEL Samedi 3 avril, 13h30–16h30

Calculettes, bon sens et intelligence rigoureusement autoris´es

Avertissement

Les exercices 1et 2sont ´el´ementaires, donc fondamentaux. Leur r´esolution soign´ee est n´ecessaire et suffisante pour obtenir la moyenne. Pour l’exercice 3, vous ˆetes parfaitement en droit de trouver une m´ethode astucieuse permettant d’arriver rapidement `a la solution. L’exercice4est plus calculatoire, mais toujours pour la bonne cause, `a savoir une m´ethode pratique de d´etermination du module de Young.

Le bar`eme est propos´e `a titre non contractuel. Quoi qu’il en soit, s’il n’est pas n´ecessaire de r´epondre (juste) `a toutes les questions pour obtenir la note maximale, il serait vain d’esp´erer la moyenne sans un traitement soigneux des deux premiers exercices

Quelques informations plus ou moins utiles

Contrainte de cisaillement en torsion simple : ct(r) =G(dϕ/dz)r Equation de la torsion : dϕ/dz´ =M^t/GI0

Moment d’inertie polaire d’une section circulaire :I0=πD⁴/32 Contrainte normale en flexion simple :cn(y) =−(M^f/Iz)y Equation de la flexion :´ M^f =EIz/ρ

1

On consid`ere, dans diverses situations, un fil d’acier, diam`etre 1 mm, du type dit “corde `a piano”.

En traction : E≈200 GPa, limite ´elastiquecn ´el≈1 330 MPa.

En cisaillement :G≈80 GPa, limite ´elastiquect ´el≈400 MPa.

A.Une longueur de 1 m de ce fil est sollicit´ee en traction pure.

i) Calculez la valeur de la force `a ne pas d´epasser pour rester dans le domaine ´elastique.

ii) Calculez l’allongement et l’´elongation correspondants.

iii) Calculez la raideur du ressort ´equivalent.

B.Une longueur de 1 m de ce fil est utilis´ee comme pendule de torsion.

i) Calculez l’angle de torsion par unit´e de longueur maximum pour ne pas d´epasser la limite ´elastique en cisaillement.

ii) Calculez l’angle de torsion correspondant entre les deux extr´emit´es du fil, en degr´es.

iii) Calculez le moment de torsion correspondant.

iv) En d´eduire la valeur de la constante de raideur de ce pendule de torsion.

C. Toujours pour le mˆeme fil, sollicit´e en flexion.

i) Calculez la valeur du moment fl´echissant `a ne pas d´epasser pour rester dans le domaine ´elastique.

ii) On projette de stocker ce fil en rouleau circulaire. Calculez le plus petit diam`etre que l’on peut donner `a l’enroulement sans que le fil garde une d´eformation permanente.

D.On consid`ere enfin un morceau de ce fil de longueur 10 cm. Calculez la charge de compression axiale maximale que l’on peut appliquer `a ce morceau de fil, non encastr´e aux extr´emit´es, sans qu’apparaisse l’instabilit´e de flambage.

2

Un petit parall´el´epip`ede centr´e en un point P d’un milieu continu se trouve soumis `a un syst`eme de contraintes planes de cisaillement pur, modulec.

i) V´erifiez que le parall´el´epip`ede est bien en ´equilibre.

ii) D´eterminez le tableau des composantes σ_ij du tenseur des con- traintes au point P.

iii) D´eterminez, par la m´ethode qu’il vous plaira, les contraintes principales et les axes principaux des contraintes au point P.

iv) Que faut-il entendre au juste (ou, plus pr´ecis´ement, `a peu pr`es) par “petit” parall´el´epip`ede ?

2 M´ecanique des Milieux D´eformables, PH314 Paris 7

3

Un charpentier a besoin de d´ebiter une poutre de longueur x0 = 1,8 m dans un madrier de longueur L = 6 m, poids uni- forme. Pour scier le madrier, il le pose sur deux tr´eteaux dont l’un est `a l’extr´emit´e du madrier. Le charpentier d´esire que la

coupure soit propre : pas de coincement de la lame de scie, pas d’arrachement en fin de sciage.

Autrement dit, le moment fl´echissant doit ˆetre nul dans la section de sciage. `A quelle distance l de l’autre extr´emit´e du madrier le charpentier doit-il placer le second tr´eteau ?

4

Pour d´eterminer le module de Young d’un mat´eriau, on en utilise un fil de section uni- forme tendu entre deux paires de mors et, suspendant un poids connu au milieu du fil, on mesure la fl`eche en ce point.

Pratique

En prenant un fil suffisamment fin, on peut n´egliger les efforts de flexion aux encastrements dans les mors et `a la suspension du poids. On peut donc consid´erer que, dans ces conditions, le fil est sollicit´e uniquement en traction. D’autre part, il serait tr`es difficile de r´ealiser le montage du fil avec une tension initiale nulle. Il est donc plus r´ealiste de supposer que le fil a une tension initiale T0 au montage.

Analyse

Notez bien qu’il est inutile, voire risqu´e, de supposer avant la derni`ere question que la fl`eche est petite.

i) `A l’aide de la loi de Hooke, ´etablir l’expression de la tension du fil en charge en termes de sa longueur en charge et de sa longueur libre avant le montage (difficilement accessible remarquons le).

ii) `A l’aide de la loi de Hooke, ´etablir l’expression de la tension au montage T0 en termes de la longueur entre morsL0et de la longueur libre.

iii) En d´eduire l’expression de la tension en charge en termes de la longueur en charge, de la tension au montageT₀, et de la longueur entre morsL₀.

iv) Consid´erant l’´equilibre du point de suspension, ´etablir l’expression de la tension du fil en charge en termes du poids suspendu, de la fl`eche et de la longueur du fil en charge.

v) En d´eduire l’expression du rapport poids sur fl`eche,P/f, en termes de la longueur en charge, de la tension T₀ et de la longueurL₀.

vi) En d´eduire alors l’expression du rapportP/f en termes de la tensionT0, de la longueurL0et de la fl`echef.

vii) Si les longueursL0 et f sont commod´ement mesurables, il n’en va pas de mˆeme pour la tension au montageT0. Montrez que l’on peut s’affranchir de cette servitude en ´etablissant l’expression de la diff´erenceP2/f2−P1/f1 correspondant `a deux exp´eriences.

viii) En d´eduire l’expression du module de Young en termes des fl`eches observ´ees f1 et f2, et des rapports calcul´es P1/f1 etP2/f2 correspondants.

ix) En d´eduire, enfin, une expression pratique du module de Young compte tenu du fait que les rapports f /L0 sont petits.