M ´ECANIQUE DES MILIEUX D ´EFORMABLES Exercices, feuille 3 Torsion

Paris 7 PH314

–

M ´ ECANIQUE DES MILIEUX D ´ EFORMABLES

Exercices, feuille 3 Torsion

1

Un long tube cylindrique circulaire `a paroi mince (disons rayonR, ´epaisseure¿R) est soumis `a des moments de torsion “´egaux et oppos´es”, de moduleMt, appliqu´es `a ses extr´emit´es.

1. On “coupe” transversalement ce tube et on n’en conserve qu’un des deux morceaux. `A quoi se r´eduisent les forces appliqu´ees par le morceau ˆot´e sur la coupure du morceau gard´e ?

2. On consid`ere maintenant une tranche du tube, fine (disons d’´epaisseur dz). `A quoi se r´eduisent les forces appliqu´ees sur chacune des coupures ?

3. En d´eduire qu’un ´el´ement d’une coupure, d’aire dA, est soumis

`

a une contrainte tangentielle c_t que vous exprimerez en termes du moment de torsion Mt.

4. Consid´erant la d´eform´ee d’un ´el´ement (dA,dz) de la tranche, et `a l’aide de la loi de Hooke pour le cisaillement, ´etablir l’expression de la contrainte tangentielle c_t en fonction de l’angle de torsion dϕ.

5. En d´eduire l’expression de l’angle de torsion par unit´e de longueur, dϕ/dz, en termes du moment de torsionMtet des carac- t´eristiques du tube : module d’´elasticit´e transversal G, rayon R et

´epaisseure.

2

Estimez la force de compression et le moment de torsion qu’un menuisier peut appliquer `a son tournevis. En d´eduire les ordres de grandeur de la contrainte de compression et de la contrainte de cisaillement maximale dans la tige du tournevis, puis les ordres de grandeurs des d´eformations.

3

Une voiture de formule 1, M ≈ 600 kg, est capable d’acc´el´erer (et de freiner d’ailleurs) `a a≈ g ≈ 10 m s⁻². Les deux roues motrices ont un diamˆetreφ≈1 m.

1. Evaluez le moment de torsion auquel est alors soumis l’axe de transmission qui va du diff´erentiel´

`

a une roue motrice. (Vous pouvez vous permettre de n´egliger l’effet des moments d’inertie des pi`eces tournantes : roue et axe de transmission. Pourquoi au fait ?)

2. Calculez le diamˆetre de cet axe, si sa torsion ne doit pas exc´eder 1 deg m⁻¹, selon qu’il est r´ealis´e en acier doux ou en aluminium ordinaire :

E cn rupt ρ

(GPa) (MPa) (t m⁻³)

Acier doux 200 400 7,8

Aluminium 70 150 2,7

3. Evaluez, selon la solution adopt´ee, la masse de l’axe par unit´e de longueur et — juste pour ˆetre´ tranquille — la contrainte maximale.