M ´ECANIQUE DES MILIEUX D ´EFORMABLES

Paris 7 PH314

–

M ´ ECANIQUE DES MILIEUX D ´ EFORMABLES

Exercices, feuille 6

D´eplacement, d´eformations (tenseur des...), ´elasticit´e

1

Un milieu continu subit une d´eformation caract´eris´ee par la fonction d´eplacement u(r) ou, plus sp´ecifiquement, u_x(x, y, z), u_y(..., &c. La figure ci-contre repr´esente, dans le plan (x, y), le d´eplac´e- d´eform´e d’un parall´el´epip`ede ´el´ementaire. ´Evaluez les coordonn´ees, diff´erences de coordonn´ees, et angles, caract´erisant la position, la taille et la forme du poly`edre obtenu.

2

Un bloc de mat´eriau ´elastique, module de Young E, coefficient de Poisson ν, remplit tout juste une cavit´e parall´el´epip´edique de cˆot´es a, hauteur L, dans un mat´eriau plus rigide. Un couvercle carr´e de cˆot´ea, du mˆeme mat´eriau rigide, est plac´e sur le bloc. Lorsqu’une force de compression F esst appliqu´ee sur le couvercle, la hauteur du bloc diminue de b.

CalculezF.

2 M´ecanique des Milieux D´eformables, PH314 Paris 7

3

Un corps est faiblement d´eform´e.

1. Montrez que le coefficient de dilatation volumiqueθ, en un point, est ´egal `a la trace du tenseur des d´eformations en ce point.

2. En d´eduire que, pour un mat´eriau isotrope, dans le domaine ´elastique, le coefficient de dilatation volumique est aussi donn´e par la somme des composantes normales des contraintes sur trois faces orthogonales :

θ= 1−2ν

E (σ₁₁+σ₂₂+σ₃₃).

3. L’ensemble du corps est soumis `a une pression hydrostatiquep, montrez que l’on ap=−B θ, o`u B est le “module d’´elasticit´e volumique” du mat´eriau, dont vous d´eterminerez l’expression en termes deE et ν.

4. Discutez des miracles que peut accomplir un mat´eriau qui a ν >0,5.

4

En un point d’une plaque d’acier charg´ee dans son plan (x, y), dans le domaine ´elastique, on connaˆıt : (σxx= 145 MPa

σxy= 42 MPa εzz =−3,6×10⁻⁴ Quelle est la valeur deσ_yy?

5

Dans un milieu, isotrope, ´elastique,a priori infini...

1. On se demande si, et `a quelle(s) condition(s), ce milieu peut-ˆetre le si`ege d’un d´eplacement

u(x, t)= ˆ^dfx u₀e^i(ωt−kx),

du type “onde longitudinale”. (Une prise de partie r´eelle est sous-entendue si vous en avez envie.) i) En consid´erant, d’une part, l’acc´el´eration d’un ´el´ement de mat´eriau r´esultant du d´eplacement propos´e et, d’autre part, le bilan des forces sur l’´el´ement r´esultant des contraintes induites par le d´eplacement, montrez que ledit d´eplacement est loisible `a condition que

c_l^df= ω k =

s 1−ν (1 +ν)(1−2ν)

E ρ.

ii) Ce type de d´eplacement peut-il se produire dans une tige d’axe ˆx? Qu’en est-il alors ? (Consid´erer les contraintes et d´eformations sur des faces orthogonales `a ˆy, puis `a ˆz.)

2. On se pose la mˆeme question pour un d´eplacement

u(x, t)^df= ˆy u₀e^i(ωt−kx), du type “onde transverse”. Montrez que l’on a alors

ctdf

=ω k =

s 1 2(1 +ν)

E ρ.

3. Repr´esentez l’allure de la courbe du rapportcl/cten fonction de ν.