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Propri´ et´ es effectives d’un mat´ eriau composite
Sujet propos´e par B. Maury Bertrand.Maury@math.u-psud.fr
On consid`ere un domaine bidimensionnel (le carr´e unit´e) assimil´e `a un mat´eriau conducteur de la chaleur, non homog`ene. On note a(x) la conductivit´e au point x, de telle sorte que le flux de chaleur est donn´e par la loi de Ficke J = −a(x)∇u, o`u u est le champ de temp´erature. On s’int´eresse `a la conductivit´e apparente de ce mat´eriau d´efinie selon le protocole suivant : on porte la fronti`ere Γ3 et Γ1 aux temp´eratures 0 et 1, respectivement, et on suppose nul le flux de chaleur au travers des bords lat´eraux Γ2 et Γ4.
Γ1
Γ2
Γ3
Γ4
Ω
∂u/∂n= 0 ∂u/∂n= 0
u= 0
u= 1
Le syst`eme s’´ecrit donc
−∇ ·a(x)∇u = 0 dans Ω
∂u
∂n = 0 sur Γ2∪Γ4
u = 1 sur Γ1
u = 0 sur Γ3
(1)
Le flux de chaleur traversant la plaque s’´ecrit J =−
Z
Γ3
a∂u
∂n.
On d´efinit la conductivit´e apparente comme la constante de proportionalit´e entre le flux moyen et le gradient de temp´erature (L repr´esente dans ce qui suit la largeur puis la hauteur du domaine) : J/L=−aapp(0−1)/L, d’o`u
aapp =− Z
Γ3
a∂u
∂n. 1
1) a) ´Ecrire la formulation variationnelle associ´ee au probl`eme (1), et ´etablir son caract`ere bien pos´e, sous l’hypoth`ese qu’il existe deux constantes telles que 0< amin ≤a(x)≤amin presque partout sur Ω.
b) Montrer que la conductivit´e apparente est croissante par rapport `a a(·), au sens o`u pour deux champs de conductivit´ea1 et a2, avec a1(x)≤a2(x), on a a1app≤a2app. 2)a) Pour a(x) v´erifiant les conditions indiqu´ees ci-dessus, ´ecrire une routine Freefem++
permettant d’estimer num´eriquementaapp. On s’attachera (mˆeme si le logiciel permet un calcul explicite des int´egrales de bord) `a exprimer l’int´egrale de bord sous la forme d’une int´egrale en volume, calculable `a l’aide de la routine int2d.
b) Calculer explicitement aapp dans les cas suivants
a(x, y) = 1 + 0.5 sin(10πx), a(x, y) = 1 + 0.5 sin(10πy),
et commenter les r´esultats obtenus.
c) Dans le cas o`u des ´el´ements finis d’ordre 1 sont utilis´es, et que la fonctions a(·) est lisse, que peut-on dire sur la pr´ecision du calcul de aapp? (On admettra que la solution du probl`eme continu a la r´egularit´e H2.)
3) On suppose que le mat´eriau est compos´e de deux mat´eriaux homog`enes de conductivit´es respectives εet 1/ε, de telle sorte queapuisse s’´ecrire
a(x) =εχ+ (1−χ)/ε,
o`u χ est la fonction caract´eristique d’un domaineω⊂Ω, de mesure 1/2.
Essayer d’intuiter pour quelles formes de ω la conductivit´e apparente est susceptible de tendre vers +∞ (respectivement 0) quand ε tend vers 0, et ´etayer votre r´eponse par des tests num´eriques.
4) Proposer une d´emarche analogue pour estimer num´eriquement le module d’Young d’un mat´eriau composite (mat´eriaux de Lam´e dont les coefficients µ et λ sont constants par morceaux).
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