Vecteurs et Rep´ erages
I. Vecteurs
D´ efinition :
Soient A et B deux points distincts.
LevecteurÝAB se caract´erise par :Ñ
Sadirection : celle de la droite (AB) (et des parall`eles `a (AB)).
Sonsens: du point A au point B.
Sanorme : la longueur du segment [AB]. Elle est not´ee||ÝABÑ||. Cas particulier :
Lorsque A = B, le vecteurÝAB s’appelle vecteur nul, not´eÑ ~0.
D´ efinition :
Deux vecteurs sont´egaux, s’ils ont
$
&
%
mˆeme direction mˆeme sens mˆeme norme
Propri´ et´ e :
Soient A, B, C et D quatre points.
ÝÑ
ABÝCDÑðñABDC est un parall´elogramme.
ÝÑ
ABÝCDÑðñD est l’image du point C par la translation de vecteurÝAB.Ñ
Relation de Chasles :
Pour tous points A, B et C, on a : ÝABÑ ÝBCÑÝAC.Ñ
R` egle du parall´ elogramme :
Pour tous points A, B et C, on a :ÝABÑ ÝACÑÝAD tel que ABDC est un parall´elogramme ´eventuellementÑ aplati.
II. Colin´ earit´ e de deux vecteurs
1. Multiplication par un r´ eel
D´ efinition :
Soit un r´eelknon nul et un vecteur~unon nul.
Le vecteurk~use caract´erise par :
la mˆeme direction que~u
"
le mˆeme sens de~usik¡0 le sens contraire de~usik 0
La norme|||k|.~u||. Cas particulier :
Si k0 ou si~u~0, alorsk~u~0.
Propri´ et´ e :
Soitket k1 deux r´eels et~uet~vdeux vecteurs.
pk k1q~uk~u k1~u kpk1~uqpkk1q~u kp~u ~vqk~u k~v
Remarque :
Le vecteurÝBAÑoppos´eau vecteurÝAB a mˆeme direction, mˆeme norme, mais son sens est contraire.Ñ ÝBAÑÝABÑ
2. Vecteurs colin´ eaires
D´ efinition :
Deux vecteurs sont ditscolin´eaireslorsqu’ils ont mˆeme direction.
Th´ eor` eme :
Deux vecteurs sont colin´eaires si et seulement si l’un est le produit de l’autre par un r´eel.
~
uet~v sont colin´eairesðñ~vk~uaveckPR.
kest appel´e coefficient de colin´earit´e.
Propri´ et´ e :
Tout vecteur colin´eaire `a ÝAB est un vecteur directeur de la droite (AB).Ñ
Les droites (AB) et (CD) sont parall`eles si et seulement siÝAB etÑ ÝCD sont colin´eaires.Ñ
Propri´ et´ e :
Les points A, B et C sont align´es si et seulement siÝAB etÑ ÝAC sont colin´eaires.Ñ
Le point I est le milieu du segment [AB] si et seulement siÝABÑ2ÝAI.Ñ
III. Rep´ erage dans le plan
1. Rep` ere
Un rep`ere du plan est constitu´e de trois points distincts (O ; I ; J).
O ´etant l’origine.
(OI) la droite repr´esentant l’axe des abscisses.
(OJ) la droite repr´esentant l’axe des ordonn´ees.
Ce rep`ere est ´egalement not´epO;~i,~jqavec~iÝOI etÑ ~jÝOJ.Ñ
p~i,~jqforme unebasedu rep`ere.
D´ efinition :
Dans le rep`erepO;~i,~jq,
les coordonn´ees d’un point M sont l’unique couplepx;yqv´erifiant : ÝOMÝÑx~i y~j.
x´etant l’abscisse du point M ety l’ordonn´ee.
Les coordonn´ees d’un vecteur~usont l’unique couplepx;yqv´erifiant :~ux~i y~j.
~
u3~i 2~j
D’o`u : ~ua pour coordonn´ees (3 ; 2).
2. Coordonn´ ees
Propri´ et´ e :
Deux vecteurs sont dits ´egaux si et seulement si leurs coordonn´ees, dans un rep`ere, sont ´egales.
DanspO;~i,~jq, soit~u
a b
et~v
a1 b1
, on a :~u~vðñ
"
aa1 bb1.
~
u3~i 2~j
~
v3~i 2~j
*
ðñ~u~v
Propri´ et´ e :
Soient~uet~v deux vecteurs etkun r´eel.pO;~i,~jq, un rep`ere.
Si~u
a b
et~v
a1 b1
, alors~u ~v
a a1 b b1
et k~u
ka kb
.
Cons´equence :
Soit dans le rep`ere pO;~i,~jq, A (xA;yA) et B(xB; yB) deux points.
On a ÝABÑ
xBxA yByA
.
3. Vecteurs colin´ eaires
Propri´ et´ e :
Deux vecteurs~u
x y
et~v
x1 y1
sont colin´eaires si et seulement si leurs coordonn´ees sont proportion- nelles :
"
xkx1
yky1 , aveckPR.
Corollaire :
Deux vecteurs~u
x y
et~v
x1 y1
sont colin´eaires si et seulement si xy1x1y0.
Avec le produit en croix, nous avons :xy1x1y.
Propri´ et´ e :
Dans un plan muni d’un rep`ere, on a :
I milieu du segment [AB] si et seulement si les coordonn´ees de I v´erifient : xA xB
2 ;yA yB 2
4. Rep` ere orthonorm´ e
D´ efinition :
Un rep`ere est ditorthonorm´esi||~i||=||~j|| = 1 et si l’axe des ordonn´ees est perpendiculaire `a l’axe des abscisses.
Les calculs de longueur ne se font que dans un rep`ere orthonorm´e !
Propri´ et´ e :
Dans un rep`ere orthonorm´e, on a :
||~u|| =
a
x2 y2avec~u
x y
.
Soient ApxA;yAqet BpxB;yBq, alors AB
b
pxBxAq2 pyByAq2
