G´ eom´ etrie ´ el´ ementaire de l’espace

G´ eom´ etrie ´ el´ ementaire de l’espace

1 Modes de rep´ erages dans l’espace

1.1 Coordonn´ees cart´esiennes

D´efinition. Un rep`ere orthonormal de l’espace E est R pO;~ı, ~, ~kq, o`u O est un point de l’espace appel´e origine du rep`ereetp~ı, ~, ~kq est unebase orthonormale de l’espace vectoriel E.

Remarque.

Rappel. Une base orthonormalede l’espace vectoriel est la donn´ee de trois vecteurs unitaires deux `a deux orthogonaux.

Propri´et´e. Tout point M de l’espace est rep´er´e, de fa¸con unique, par ses coordonn´ees cart´esiennes dans

R: C’est le triplet px, y, zq P R³ tel que :

ÝÝÑOM x~ı y~ z~k

Remarque.

1.2 Coordonn´ees cylindriques

Propri´et´e. Un point de l’espace peut ˆetre rep´er´e par sescoordonn´ees cylindriques pr, θ, zq d´efinies par : ÝÝÑOM rcosθ~ı rsinθ~ z~k

Formules de changement de coordoon´ees.

$'

&

'%

xrcosθ yrsinθ zz

On peut imposer r¥0, θP r0,2πretzP R.

1.3 Coordonn´ees sph´eriques

Propri´et´e. Un point de l’espace peut ˆetre rep´er´e par sescoordonn´ees sph´eriquespρ, ϕ, θq d´efinies par : ÝÝÑOM ρcosϕsinθ~ı ρsinϕsinθ~ ρcosθ~k

Formules de changement de coordoon´ees.

$'

&

'%

xρcosϕsinθ yρsinϕsinθ zρcosθ

On peut imposer ρ¥0,ϕP r0,2πretθP r0, πs.

Remarque.

2 Quelques outils vectoriels

2.1 Produit scalaire

D´efinition. Dans l’espace vectoriel muni d’une base orthonormale p~ı, ~, ~kq, pour deux vecteurs ~u et ~u¹ de

coordonn´ees respectives

_x

yz et x¹

y¹ z¹

, on d´efinit leproduit scalairede ~u et~u¹ par :

~

u~u¹ xx¹ yy¹ zz¹

Remarque.

Propri´et´e. Pour~uet~u¹ deux vecteurs non nuls,

~

u~u¹}~u} }~u¹}cosp>p~u, ~u¹qq o`u >p~u, ~u<sup>1</sup>q d´esigne l’angle orient´e de ~u `a~u¹.

En particulier,

~

u~u}~u}² et ~u~u¹0 ðñ ~uK~u¹

Corollaire. SoitApxa, ya, zaqetBpxb, yb, zbq deux points du plan. La distance deA `aB est :

dpA, Bq ABa

px_bxaq² py_byaq² pz_bzaq²

2.2 Produit vectoriel

D´efinition. Dans l’espace vectoriel muni d’une base orthonormale directe p~ı, ~, ~kq, pour deux vecteurs ~u et ~u¹

de coordonn´ees respectives

_x

yz et x¹

y¹ z¹

, on d´efinit leproduit vectorielde~uet~u¹ par :

~

u^~u¹ pyz¹zy¹q~ı pzx¹xz¹q~ pxy¹yx¹q~k

Remarque.

Propri´et´e. Le produit vectoriel est bilin´eaire et antisym´etrique, c’est-`a-dire (notations ´evidentes) :

~

u^ pα~u¹ β~v¹q α~u^~u¹ β~u^~v¹ pα~u β~vq ^~u¹ α~u^~u¹ β~v^~u¹

~

u¹^~u~u^~u¹

Propri´et´e. Les vecteurs~u et~v sont colin´eaires (i.e.la famille est li´ee) si et seulement si ~u^~v ~0.

Propri´et´e. Si~u et~v sont non nuls et non colin´eaires, alors~u^~v est le vecteur : de norme}~u} }~v}sinp>p~u, ~vqq

orthogonal `a ~u et~v

tel quep~u, ~v, ~u^~vq soit une base directe

Remarque.

Corollaire. L’aire du parall´elogramme construit sur~u et~v est}~u^~v}.

2.3 D´eterminant ou produit mixte

D´efinition. Dans l’espace vectoriel, pour trois vecteurs ~u, ~v et w, on d´~ efinit le produit mixte de ~u,~v et w~ par :

r~u, ~v, ~ws ~u p~v^w~q

Remarque.

Expression du produit mixte dans un rep`ere orthonormal direct.

Remarque.

Propri´et´e. Le produit mixte est une forme trilin´eaire antisym´etrique, Th´eor`eme.

Une famille de trois vecteurs p~u, ~v, ~wq est libre (i.e. ils sont non coplanaires) si et seulement si

r~u, ~v, ~ws 0.

Une base p~u, ~v, ~wq est directe (resp. indirecte) si et seulement sir~u, ~v, ~ws ¡0 presp.  0q.

Remarque. Le volume du parall´el´epip`ede construit sur ~u,~v etw~ est| r~u, ~v, ~ws |.

2.4 R´esum´e : quand utiliser ces outils

• Produit scalaire : test d’orthogonalit´e de 2 vecteurs.

• Produit vectoriel : test de colin´earit´e de 2 vecteurs, construction d’un vecteur orthogonal `a 2 vecteurs

donn´es.

• Produit mixte : test de coplanarit´e de 3 vecteurs.

3 Plans et droites

3.1 Plans

3.1.1 D´efinitions

D´efinition. Soit A un point de l’espace, ~u et~v deux vecteurs non colin´eaires. On appelle plan passant par A, dirig´e par ~u et ~v l’ensemble des points M de l’espace tels que la famille pÝÝÑAM , ~u, ~vq soit une famille li´ee, c’est-`a-dire que ces vecteurs soient coplanaires.

Remarque.

D´efinition. p~u, ~vqs’appelle unsyst`eme directeurde P. Un vecteur orthogonal `a~u et~vs’appelle un vecteur normal deP.

3.1.2 Equations´ Remarque.

Equation cart´´ esienne. Un plan admet une´equation cart´esienne de la forme : ax by cz d0

Repr´esentation param´etrique. Un plan admet unerepr´esentation param´etrique de la forme :

$'

&

'%

xxa αt α¹t¹ yy_a βt β¹t¹ zza γt γ¹t¹ Exemple.

(a) SoitPle plan passant parAp1,2,3qdont un syst`eme directeur estp~u, ~u¹qavec~u ₃

21 et~u¹ ₁

00 . Donner une ´equation cart´esienne deP.

(b) Donner une repr´esentation param´etrique deP

(c) SoitQle plan passant parAp1,2,3qdont un vecteur normal est~n ₀

54 . Donner une ´equation cart´esienne de Q.

(d) Soit Ap1,2,3q,Bp1,0,2q etCp2,0,3q. Donner une ´equation cart´esienne du plan pABCq.

3.1.3 Propri´et´es

Propri´et´e. SoitP un plan d’´equation cart´esienne ax by cz d0.

Un vecteur normal de Pest~n

_a

bc .

Un syst`eme directeur est obtenuen trouvant deux vecteurs non colin´eaires satisfaisant l’´equation de la direction

du plan ax by cz0.

Propri´et´e. SoitPplanpA, ~nq le plan passant parAet de vecteur orthogonal~n. SoitM un point. Ladistance

de M `a Pest :

dpM,Pq |ÝÝÑAM~n }~n}

Propri´et´e.SoitPun plan d’´equationax by cz d0 etMpx0, y0, z0qun point. Ladistance deM `aPest :

dpM,Pq |ax0? by0 cz0 d|

a² b² c²

Propri´et´e. Tout plan Padmet une´equation normale

Propri´et´e.Quatre pointsA_kde coordonn´ees respectivespx_k, y_k, z_kq,k1,2,3,4 sont coplanaires si et seulement si pÝÝÝÑA₁A₂,ÝÝÝÑA₁A₃,ÝÝÝÑA₁A₄q est li´ee, ce qui se traduit par la nullit´e d’un d´eterminant.

D´efinition.Deux plans sont ditsparall`eles(resp.perpendiculaires) si et seulement sileurs vecteurs normaux sont colin´eaires (resp. orthogonaux).

3.2 Droites

3.2.1 D´efinitions

D´efinition. SoitAun point et ~uun vecteur non nul de l’espace. On appelledroite passant par A, dirig´ee par ~u

l’ensemble des points M de l’espace tels que pÝÝÑAM , ~uqsoit une famille li´ee, c’est-`a-direÝÝÑAM et~u colin´eaires.

3.2.2 Equations´ Remarque.

Repr´esentation param´etrique. Une droite admet unerepr´esentation param´etriquede la forme :

$'

&

'%

xx_a αt yy_a βt zza γt

Syst`eme d’´equations cart´esiennes. Une droite admet un syst`eme d’´equations cart´esiennesde la forme :

#

ax by cz d0 a¹x b¹y c¹z d¹ 0

Une autre ´equation. On reconnaˆıtra aussi les caract´eristiques d’une droite donn´ee par une ´equation de la forme pα, β, γ 0q :

xx_a

α yy_a

β zz_a γ qui traduit la proportionnalit´e des coordonn´ees de deux vecteurs.

Exemples.

(a) Soit Dla droite passant parAp1,2,3q et dirig´ee par~u ₂

01 . Donner une repr´esentation param´etrique deD.

(b) Donner un syst`eme d’´equation cart´esienne deDpar trois m´ethodes.

(c) Soit la droiteDd´efinie par la repr´esentation param´etrique

$'

&

'% xt y23t z1

. Donner un point et un vecteur directeur deD.

3.2.3 Propri´et´es

Propri´et´e.Si une droite est donn´ee par un syst`eme d’´equations cart´esiennes, donc comme intersection de deux

plans P etP¹, un vecteur directeur deDs’obtient en consid´erantle produit vectoriel d’un vecteur normal `aP

par un vecteur normal `a P¹.

Remarque. On peut aussi obtenir un vecteur directeur en r´esolvant l’´equation sans second membre

#

ax by cz0 a¹x b¹y c¹z0

qui est l’´equation deD, la direction deD: c’est l’ensemble des vecteurs qui dirigentD. Exemple. Soit la droiteDd´efinie par le syst`eme d’´equations cart´esiennes

#

x y z20

3yz 20 .

Donner un point et un vecteur directeur de D.

Propri´et´e. La distance d’un pointM₀ `a une droiteDpassant par A, dirig´ee par~u est donn´ee par : dpM0,Dq }ÝÝÝÑAM0^~u}

}~u}

Propri´et´e. Les deux droites droitepA, ~uq et droitepB, ~vq sont coplanaires si et seulement sila famillepÝÝÑAB, ~u, ~vq est li´ee.

3.2.4 Perpendiculaire commune `a deux droites Th´eor`eme.

Si D1 etD2 sont non parall`eles, il existe un unique couple pA₁, A₂q PD1D2 tel quedpD1,D2q

A1A2.

SiD1 etD2 ne sont pas s´ecantes, alorsA1A2. La droitepA1A2q est orthogonale `aD1 etD2.

D´efinition. Cette droite est l’unique droite orthogonale `aD1 etD2et les rencontrant : on l’appelle la perpen- diculaires commune de D1 etD2.

Exemple. Soit B₁p1,1,2q, B₂p2,0,2q,~v₁ 0

2 1 et~v₂

1

1 1

. On note D1 la droite passant par B₁ et dirig´ee par~v1,D2 par B2 et~v2.

(a) D´eterminer dpD1,D2q

(b) D´eterminer ∆ perpendiculaire commune `a D1 etD2. En d´eduiredpD1,D2q.

Une formule permettant de calculerdpD1,D2q dans le cas o`uD1droitepB1, ~v1q etD2 droitepB2, ~v2q ne

sont pas parall`eles.

dpD1,D2q

ÝÝÝÑB₁B₂w~

}w}~ |ÝÝÝÑB₁B₂, ~v₁, ~v₂ | }~v1^~v2} Exemple. Avec les donn´ees ci-dessus, dpD1,D2q ^|

1 01 1 2 1 4 1 1

|

?9 1 4 ^3?₇¹⁴

4 Sph` eres

4.1 D´efinition, ´equation

D´efinition. Soit Ω un point de l’espace etR¥0. On appellesph`ere de centre Ω de rayonR l’ensemble des

points M de l’espace tels queΩM R.

Equation cart´´ esienne. Une sph`ere admet une ´equation cart´esienne de la forme x² y² z²2αx2βy2γz δ 0

R´eciproquement, une telle ´equation est l’´equation d’une sph`ere ou du vide.

Exemple. Caract´eriser l’ensemble d’´equation x² y² z² x2y4zλ, o`uλP R. Remarque.

4.2 Intersections

Remarque. On peut trouver des figures sur http: // www. mathsgeo. net/ rep/ sphere. html Plan/sph`ere. SpΩ, Rq,P.

Sph`ere/sph`ere. SoitS₁ SpΩ₁, R₁q etS₂ SpΩ₂, R₂q.

Droite/sph`ere. L’´etude est un peu analogue `a l’intersection plan/sph`ere.

´ Equationsdeplans,dedroites,distancesetc. 6.1V´erifierquelespointsAp3,2,1q,Bp4,1,3qetCp1,3,2qne sontpasalign´es.Formerune´equationcart´esienneduplanaffinequi lescontient.geospace_1.tex 6.2Formerunsyst`emed’´equationscart´esiennesdeladroiteD 1 passantparAp2,1,3qetdirig´eepar~u3.geospace_2.tex 2 6.3Trouverunerepr´esentationparam´etriquedeladroited´efinie par: # 2xy3z10 xy4z60 geospace_3.tex 6.4CalculerladistancedupointAp1,2,1qauplanP:2xy 3z10.geospace_20.tex 6.5CalculerladistancedupointAp1,2,3q`aladroiteD: # xy2z10 .geospace_21.tex 2xyz10 6.6CalculerladistancedupointAp1,1,3q`aladroiteD:

$ ' &x12t y2t ' % z22t

.geospace_22.tex 6.7SoitP:3x2yz20.D´eterminerlescoordonn´eesdu sym´etriquedeMpx,y,zqparrapportauplanP.geospace_31.tex 6.8DansE3munid’unrep`erepO;e1,e2,e3q,onconsid`erelesplans PetP1 telsque: PpasseparAp1,1,0qetestdirig´epar~u ^{2 1} 1et~v ^{1 4 1} P1 passeparA1 p1,2,1qetestdirig´epar~u1 ^{0 2} 1et~v1 1 1 3

MontrerquePetP1 secoupentsuivantunedroiteDdontond´etermi- neraunpointetunvecteurdirecteur.geospace_9.tex 6.9TrouveruneC.N.S.portantsurlavaleurdeaPRpourqueles droitessuivantessoientcoplanaires: D# xaz10 y2z30D1# xz20 y3z10 geospace_4.tex 6.10D´eterminerDXD1 sachantqueDpasseparAetestdiri- g´eepar~uetD1 passeparA1 etestdirig´eepar~u1 danslesdeuxcas suivants: (a)Ap2,1,0q,~u 1 1 2A1 p0,2,1q,~u1 2 1 1 (b)Ap2,0,1q,~u 1 1 2A1 p1,1,1q,~u1 2 1 1 geospace_10.tex Perpendiculairescommunes 6.11Onseplacedansl’espaceaffineeuclidienusuelmunid’un rep`ereorthonormal.Formerunsyst`emed’´equationscart´esiennesdela perpendiculairecommuneauxdeuxdroites: D# xy3z40 2xz10D1# xz1 yz1 geospace_18.tex 6.12Soit D:# xyz20 x2y3z10etD1 :# xy2z10 2xyz20 D´eterminerleurperpendiculairecommune.Calculerladistancedeces deuxdroites.geospace_23.tex 6.13SoitM1p1,0,1qetM2p1,1,0q,DpM1M2qetD1 : # xyz1 2xy5z0.D´eterminerlaperpendiculairecommune`aDet D1 .geospace_24.tex

6.14SoitDetD1 d´efiniesparleursrepr´esentationsparam´etriques: D:$ ' & ' %x1t y5t z22tD1 :$ ' & ' %x3t y3t z1 (a)D´emontrerqueDetD1 nesontpascoplanaires. (b)Donnerunerepr´esentationparam´etriquedelaperpendiculaire commune`aDetD1 . (c)CalculerladistancedeD`aD1 . geospace_26.tex Divers 6.15SoitλPR.DansE3usuel,onconsid`ereAdecoordonn´ees p1,1,λqetlesplansd´efinispar: P1:xy10 P2:yz10 P3:zx10 P4:xyz0 DonneruneC.N.Spourquelesprojet´esorthogonauxdeAsurlesPk soientcoplanaires.geospace_17.tex 6.16 Onsaitquelelyc´eeLaMartini`ereMonplaisirsesitue`aunela- titudede45 441 nord,etunelongitudede4 511 est.Caliest`aune latitudede3 251 nord,etunelongitudede76 311 ouest.D´eterminer ladistance`alasurfacedelaTerreentrecesdeuxvilles,enassimilant laTerre`aunesph`eredecentreOetderayonR6380km. geospace_38.tex 6.17Surunesph`erederayonRetdecentreO,onappelleor- thodromielepluscourtcheminjoignantdeuxpoints.C’estunarcde grandcercle,c’est-`a-dired’uncercledecentreO.

Donnerunerepr´esentationencoordonn´eessph´eriquesd’unetelle courbeenconsid´erantl’intersctiondelasph`ereavecleplanfaisant unangleϕ0avecl’axepOzqetdontl’intersectionavecleplanpxOyq faitunangleθ0avecpOxq.geospace_39.tex 6.18Onconsid`ere: D:# xyz20 x2y3z10D1 :# xy2z10 2xyz20 P:xyz20P1 :x2y3z10 P2 :xy2z10 D´eterminerl’´ecartangulairedesdroitesDetD1 ,celuidesplansPet P1 etceluideladroiteDetduplanP2 .geospace_27.tex 6.19DansE3munid’unrep`ereorthonormalpO;e1,e2,e3q,onpose lestroisquestionsind´ependantessuivantes: (a)D´eterminerunsyst`emed’´equationscart´esiennesdeladroite∆ passantparAp1,4,3qetparall`ele`aD# 2xy5z10 3xyz10 (b)Onconsid`ereladroiteD1# 3x2y4z0 xyz50etladroiteD2 passantparBp1,1,0qetdevecteurdirecteur~u 4 14 10

. (b.1)D´eterminerD1XD2. (b.2)D´emontrerqueD1etD2sontcoplanairesetdonnerune ´equationcart´esienneduplanlescontenant. (c)Onconsid`erelesdroitesD1# x2y4z10 3y5z20etD2: x1 3y3 2z4 4.D´eterminerunedroite∆devecteurdirec- teur~v 1 5 4

rencontrantD1etD2. geospace_8.tex 6.20SoitIp1,2,1q,D:# 2x4y4 xyz4etD1 :

# 3xy2 xz1. (a)D´eterminerunedroite∆passantparIetrencontrantDetD1 . (b)D´emontrerquelesplanspassantparpI,DqetpI,D1 qsontper- pendiculaires. (c)QuelleestladistancedupointSp1,1,1q`aladroite∆? geospace_25.tex Cerclesetsph`eres 6.21Soita,betctroisr´eelsstrictementpositifs. (a)D´eterminerunsyst`emed’´equationscart´esienneducerclepas- santparlespointsApa,0,0q,Bp0,b,0qetCp0,0,cq.(Onappelera Da 2,b 2,c 2 .) (b)Danslecaso`uabc1,d´eterminerlecentreetlerayonce cecercle. geospace_28.tex 6.22Onconsid`erelesensemblesd’´equation: S:x2 y2 z2 4x2y2z5 20P:x2yz20 S1 :x2 y2 z2 2x2y4z20P1 :3xy2z100 S2 :x2 y2 z2 4x6y2z80 Soitd’autrepartDladroitepassantparAp1,3,4qdevecteurdi- recteur~u 1 1 2 .Reconnaˆıtreetcaract´eriserS,S1 ,S2 ,SXP,S1 XP1 , S2 XDetSXS1 .geospace_30.tex 6.23Onconsid`erelespointsΩp4,1,2q,Ap3,0,2qetBp2,1,0q.On noteSlasph`eredecentreΩetderayon? 2. (a)Donnerune´equationduplantangent`aSenA. (b)D´emontrerqueladroitepΩBqcoupeSendeuxpointsdiam´etra- lementoppos´esA1etA2.

(c)Pourquelle(s)valeur(s)dekPRa-t-on: StMPEt.q.MA2 1MA2 2ku geospace_29.tex 6.24Onseplacedansl’espaceaffineeuclidienusuelmunid’un rep`ereorthonormal.Formerune´equationcart´esiennedelasph`ere tangenteenAp1,2,1q`aD# xy2z1 2xy3z3ettangenteen A1 p1,1,2q`aD1# 2xy2z3 xyz4

geospace_19.tex 6.25Dansl’espaceaffineeuclidienusuel,munid’unrep`ereortho- normaldirect,onconsid`erelespoints: Mptq$ ' & ' %xptqcost? 3sint1 yptqcost? 3sint1 zptq2cost1 Montrerquelorsquetparcourtsπ,πs,Mptqd´ecrituncercledonton pr´eciseraleplan,lecentreetlerayon.geospace_6.tex Barycentresetc. 6.26SoitABCDunt´etra`edredel’espaceaffineusuel.Onconsid`ere lesisobarycentreA1 ,B1 ,C1 etD1 destrianglesBCD,ACD,ABDet ABDrespectivement.OnnoteI,J,K,L,MetNlesmilieusrespectifs derABs,rACs,rCDs,rBDs,rADsetrBCs. (a)Montrerquelesdroitesjoignantunsommet`al’isobarycentrede lafaceoppos´eeetlesdroitesjoignantlesmilieuxdedeuxarˆetes oppos´eessontconcourantes. (b)Quepeut-ondireduquadrilat`ereIJKL? geospace_11.tex