Le programme de premi`ere ann´ee MPSI est organis´e en trois parties. Dans une premi`ere partie figurent les notions et les objets qui doivent ˆetre ´etudi´es d`es le d´ebut de l’ann´ee scolaire. Il s’agit essentiellement, en partant du programme de la classe de Terminale S et en s’appuyant sur les connaissances pr´ealables des ´etudiants, d’introduire des notions de base n´ecessaires tant en math´ematiques que dans les autres disciplines scientifiques (physique, chimie, sciences industrielles. . . ). Certains de ces objets seront consid´er´es comme d´efinitivement acquis (nombres complexes, coniques, . . . ) et il n’y aura pas lieu de reprendre ensuite leur ´etude dans le cours de math´ematiques ; d’autres, au contraire, seront revus plus tard dans un cadre plus g´en´eral ou dans une pr´esentation plus th´eorique (groupes, produit scalaire, ´equations diff´erentielles, . . . ).
Les deuxi`eme et troisi`eme parties correspondent `a un d´ecoupage classique entre l’analyse et ses applications g´eom´etriques d’une part, l’alg`ebre et la g´eom´etrie euclidienne d’autre part.
Premi` ere partie
PROGRAMME DE D´ EBUT D’ANN´ EE
1 NOMBRES COMPLEXES ET G´ EOM´ ETRIE ´ EL´ EMENTAIRE
1.1 Nombres complexes
Colles : Semaine 1 Exercices : Feuille 1
• CorpsCdes nombres complexes
• GroupeUdes nombres complexes de module 1
• Equations du second degr´´ e
• Exponentielle complexe
• Nombres complexes et g´eom´etrie plane
1.2 G´ eom´ etrie ´ el´ ementaire du plan
Colles : Semaine 4
• Modes de rep´erage dans le plan
• Produit scalaire
• D´eterminant
• Droites
• Cercles
1.3 G´ eom´ etrie ´ el´ ementaire de l’espace
Colles : Semaine 5
• Modes de rep´erage dans l’espace
• Produit scalaire
• Produit vectoriel
• Droites et plans
• Sph`eres
2 FONCTIONS USUELLES ET ´ EQUATIONS DIFF´ ERENTIELLES LIN´ EAIRES
2.1 Fonctions usuelles
Colles : Semaine 2
• Fonctions exponentielles, logarithmes, puissances
• Fonctions circulaires
• Fonction exponentielle complexe
2
2.2 Equations diff´ ´ erentielles lin´ eaires
Colles : Semaine 3
• Equations lin´´ eaires du premier ordre
• M´ethode d’Euler
• Equations lin´´ eaires du second ordre `a coefficients constants
2.3 Courbes param´ etr´ ees. Coniques
Colles : Semaine 6
• Courbes planes param´etr´ees
• Coniques
Deuxi` eme partie
ANALYSE ET G´ EOM´ ETRIE DIFF´ ERENTIELLE
3 NOMBRES R´ EELS ET COMPLEXES, SUITES ET FONCTIONS
3.1 Suites de nombres r´ eels
Colles : Semaine 9
• CorpsRdes nombres r´eels
• Suites de nombres r´eels
• Limite d’une suite
• Relations de comparaison
• Th´eor`emes d’existence de limites
• Br`eve extension aux suites complexes
3.2 Fonctions d’une variable r´ eelle ` a valeurs r´ eelles
Colles : Semaine 10
• Fonctions d’une variable r´eelle `a valeurs r´eelles
• Etude locale d’une fonction´
• Relations de comparaison
• Fonctions continues sur un intervalle
• Br`eve extension aux fonctions `a valeurs complexes
4 CALCUL DIFF´ ERENTIEL ET INT´ EGRAL
4.1 D´ erivation des fonctions ` a valeurs r´ eelles
Colles : Semaine 11
• D´eriv´ee en un point, fonction d´eriv´ee
• Etude globale des fonctions d´´ erivables
• Fonctions convexes
• Br`eve extension aux fonctions `a valeurs complexes
4.2 Int´ egration sur un segment des fonctions ` a valeurs r´ eelles
Colles : Semaine 17
• Fonctions continues par morceaux
• Int´egrale d’une fonction continue par morceaux
• Br`eve extension aux fonctions `a valeurs complexes
4
4.3 Int´ egration et d´ erivation
Colles : Semaine 18
• Primitives et int´egrale d’une fonction continue
• Calcul des primitives
• Formules de Taylor
• D´eveloppement limit´es
4.4 Approximation
Colles : Semaine 19
• Calcul approch´e d’une int´egrale
• Valeursapproch´ees de r´eels
5 NOTIONS SUR LES FONCTIONS DE DEUX VARIABLES R´ EELLES
5.1 Analyse dans un plan r´ eel, fonctions continues
Colles : Semaine 27
5.2 Calcul diff´ erentiel
Colles : Semaine 28
• D´eriv´ees partielles premi`eres
• D´eriv´ees partielles d’ordre 2
5.3 Calcul int´ egral
Colles : Semaine 29
6 G´ EOM´ ETRIE DIFF´ ERENTIELLE
6.1 Etude m´ ´ etrique des courbes planes
Colles : Semaine 26
6.2 Champs de vecteurs du plan et de l’espace
Colles : Semaine 29
Troisi` eme partie
ALG` EBRE ET G´ EOM´ ETRIE
7 NOMBRES ET STRUCTURES ALG´ EBRIQUES USUELLES
7.1 Vocabulaire relatif aux ensembles et aux applications
Colles : Semaine 7
7.2 Nombres entiers naturels, ensembles finis, d´ enombrements
Colles : Semaine 7
• Nombres entiers naturels
• Ensembles finis
• Op´erations sur les ensembles finis, d´enombrements
7.3 Structures alg´ ebriques usuelles
Colles : Semaine 12
• Vocabulaire relatif aux groupes et aux anneaux
• Arithm´etique dansZ. Calculs dansRouC.
8 ALG` EBRE LIN´ EAIRE ET POLYN ˆ OMES
8.1 Espaces vectoriels
Colles : Semaine 12
• Espaces vectoriels
• Translations, sous-espaces affines
• Applications lin´eaires
8.2 Dimension des espaces vectoriels
Colles : Semaine 13
• Familles de vecteurs
• Dimension d’un espace vectoriel
• Dimension d’un sous-espace vectoriel
• Rang d’une application lin´eaire
8.3 Polynˆ omes
Colles : Semaine 14,Semaine 15
• Polynˆomes `a une ind´etermin´ee et corpsKK(X)
• Fonctions polynomiales et rationnelles
• Polynˆomes scind´es
• Divisibilit´e dans l’anneau K[X]
• Etude locale d’une fraction rationnelle´
6
8.4 Calcul matriciel
Colles : Semaine 20,Semaine 21
• Op´erations sur les matrices
• Matrices et applications lin´eaires
• Op´erations ´el´ementaires sur les matrices
• Rang d’une matrice
• Syst`emes d’´equations lin´eaires
8.5 D´ eterminants
Colles : Semaine 22
• Groupe sym´etrique
• Applications multilin´eaires
• D´eterminant denvecteurs
• D´eterminant d’un endomorphisme
• D´eterminant d’une matrice carr´ee
9 ESPACES VECTORIELS EUCLIDIENS ET G´ EOM´ ETRIE EU- CLIDIENNE
9.1 Produit scalaire, espaces vectoriels euclidiens
Colles : Semaine 23,Semaine 24
• Produit scalaire
• Orthogonalit´e
• Isom´etries affines du plan et de l’espace
• Automorphismes orthogonaux du plan vectoriel euclidien
• Automorphismes orthogonaux de l’espace
• D´eplacements
• Similitudes directes du plan
