K6 – Nombres complexes
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NOMBRES COMPLEXES 1
Exercice
On note ℂ l’ensemble des nombres complexes. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (𝑂 ; 𝑢⃗ , 𝑣 ).
Le graphique sera complété au fur et à mesure des questions.
On note 𝒞 le cercle de centre 𝑂 et de rayon 2, et 𝐴 le point appartenant au cercle 𝒞 d’affixe 𝑧𝐴 = −1 + 𝑖√3
On considère la fonction 𝑓 qui à tout nombre complexe 𝑧 associe le nombre complexe 𝑓(𝑧) = 𝑧2+ 2𝑧 + 9.
1. Placer le point 𝐵 d’affixe 𝑧𝐵 = 𝑧̅𝐴 et le point 𝐶 d’affixe 𝑧𝐶 = 5.
2. Calculer l’image de 𝑧𝐴 par la fonction 𝑓.
3. Résoudre dans ℂ l’´equation 𝑓(𝑧) = 5.
4. a) Soit 𝑧 un nombre complexe.
Prouver l’équivalence suivante : |𝑓(𝑧) − 8| = 3 ⇔ |𝑧 + 1| = √3 .
b) En déduire l’ensemble (𝐹) des points du plan complexe dont l’affixe 𝑧 vérifie |𝑓(𝑧) − 8| = 3.
Construire l’ensemble (𝐹).
5. Soit 𝑧 un nombre complexe, tel que 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 où 𝑥 et 𝑦 sont des nombres réels.
a) Montrer que la forme algébrique de 𝑓(𝑧) est 𝑥2− 𝑦2+ 2𝑥 + 9 + 𝑖(2𝑥𝑦 + 2𝑦).
b) On note (𝐸) l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe 𝑧 est telle que 𝑓(𝑧) soit un nombre réel.
Montrer que (𝐸) est la réunion de deux droites (𝐷1) et (𝐷2) dont on précisera les équations.
Construire ces deux droites.
