Nombres complexes 1/2

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Nombres complexes 1/2

C H A P I T R E

L’ensemble de Mandelbrot est une fractale d´efinie comme l’ensemble des pointsc du plan complexe pour lesquelles la suite d´efinie parz₀= 1 et zn+1=zn2+cne tend pas vers l’infini en module.

Ensemble des nombres complexes

1

1 1 Motivations

Etant donn´´ e que certaines ´equations polynomiales `a coefficients r´eels n’ont pas toujours de solution, on cherche `a construire un nouvel ensemble de nombres :

• contenant tous les nombres r´eels,

• muni de deux op´erations prologeant l’addition et la multiplication des nombres r´eels et ayant les mˆemes r`egles de calculs,

• contenant un ´el´ement not´eitel quei²=−1,

• tout nombrezs’´ecrive de mani`ere uniquez=a+ibo`uaetb sont des r´eels.

Un tel ensemble existe, il s’agit de l’ensemble des nombres complexes not´eC. 1 2 Vocabulaire et premi`eres propri´et´es

Un nombre complexe est un nombre de la formea+ib, o`u aet bsont deux r´eels etiest le nouveau nombre tel que i²=−1.

D´efinition 1

On d´efinit un ensembleC

• muni d’une addition et d’une multiplication qui prolongent celles deR

• contenant un nombreiv´erifianti²=−1

• tel que chaque ´el´ementz deCpeut s’´ecrire de mani`ereunique sous la forme z=a+ib avecaetb deux nombres r´eels

Th´eor`eme 1

Cette ´ecriturez=a+ibunique est appel´eeforme alg´ebriquedu complexez.

Le nombre r´eel aest appell´epartie r´eelledez et not´eeRe(z)

Le nombre imaginairebest appell´epartie imaginaire dezet not´ee Im(z) D´efinition 2

Soitz=a+ibetz⁰ =c+iddeux nombres complexes on d´efinit les deux op´erations addition et multiplication :

• z+z⁰ = (a+c) +i(b+d) • z×z⁰ = (ac−bd) +i(ad+bc) D´efinition 3

On v´erifie que ces deux op´erations sont associatives, communatives que la multiplica- tion est distributive par rapport `a l’addition.

identit´es remarquables complexes

• (a+ib)²=a²+ 2iab−b²

• (a−ib)²=a²−2iab−b²

• (a+ib)×(a−ib) =a²+b² Propri´et´e 1

3 Chapitre 2. Nombres complexes 1/2

Repr´ esentation g´ eom´ etrique

2

Dans le plan muni d’un rep`ere orthonorm´e (O;−→u ;−→v) :

• `a tout complexe z = a+ib avec a et b deux r´eels, on associe le point M(a;b) et le vec- teur−→w(a;b).

• R´eciproquement `a tout point M(a;b) et vec- teur −→w(a;b) du plan on associe le nombre complexez=a+ib. On dit que le pointM et le vecteur ont pouraffixez.

Le plan est alors appel´e plan complexe.

−

→ u

−

→ v

−

→ w

M

D´efinition 4

Remarques.

• Si b= 0 alorsz=a d’o`u z est un r´eel, le pointM d’affixez appartient `a l’axe des abscisses.

• Si a = 0 alors z = ib on dit que z est un imaginiare pur, le point M d’affixe z appartient `a l’axe des ordonn´ees.

• L’axe des abscisses est appell´e axe des r´eels et l’axe des oordonn´ees est appell´e axe des imaginairs purs.

Soit les points A et B d’affixes respectives z_A et z_B alors le vecteur−−→ AB a pour affixez_B−z_A.

Propri´et´e 2

Conjugu´ e d’un complexe

3

On appelleconjugu´edu nombre complexe z=a+ible nombrez=a−ib.

D´efinition 5

Exemples.

3−2i= 3 + 2i 5 +i= 5−i 3 = 3 i=−i

lien entre conjugu´e et parties r´eelle et imaginaire

• Re(z) =1

2(z+z) • Im(z) = 1

2i(z−z) Propri´et´e 3

D´emonstration.

soitz un nombre complexez=a+ibavecaet bdeux r´eels on a : z+z=a+ib+a−ib

z+z= 2a z+z= 2Re(z) Re(z) =1

2(z+z)

z−z=a+ib−(a−ib) zz= 2ib

z−z= 2iIm(z) Im(z) = 1

2i(z−z)

3

Propri´et´es des conjugu´es

• z=z

• z1+z2=z1+z2

• z1z2=z1 z2

• zⁿ =zⁿ

• 1

z

= 1 z

• z1

z₂

= z1

z₂ Propri´et´e 4

Remarques.Le produitzzest un r´eel positif, en effetzz=a²+b²

• zest un r´eel ⇐⇒z=z • zest un imaginaire pur ⇐⇒z=−z Propri´et´e 5

Remarques.

• Pour d´emontrer qu’un nombre complexezest r´eel, on peut calculer son conjugu´ez et v´erifier qu’il est ´egal `az.

• Obtenir la forme alg´ebrique d’une nombre complexe non-nul `a l’aide de son conjugu´e : 1

2 +i = 1

2 +i ×2−i

2−i = 2 +i 4 + 1 =2

5 +1 5i

Equations du second degr´ ´ e dans C

4

Soit l’´equation du second degr´eaz²+bz+c= 0 aveca6= 0,b etc des r´eels.

Cette ´equation admet toujours des solutions dans l’ensemble des nombres com- plexesC

A l’aide de son discriminant ∆ =` b²−4ac, on distingue trois cas :

• Si ∆ = 0, il existe une unique solutionz=− b 2a.

• Si ∆>0, il existe deux solutions r´eellesz=−b±√

∆ 2a .

• Si ∆<0, il existe deux solutions complexes conjugu´eesz= −b±i√

−∆

2a .

Th´eor`eme 2

D´emonstration.

On utilise la forme cannonique vu en classe de premi`ereaz²+bz+c=a

(z+ b 2a)

2

− ∆ 4a²

• Pour les deux premiers cas ∆ = 0 et ∆>0 ont retrouve les cas vus en premi`ere.

• si ∆<0, on a−∆>0 d’o`u ∆ = (ip

−∆)².On utilise la forme cannonique

z+ b 2a

²

− ∆ 4a² =

z+ b

2a ²

− (ip

−∆) 2a

!2

=

z+b−i√

−∆

2a z+b+i√

−∆

2a

. On en d´eduit les deux solutions de l’´equation du second degr´eaz²+bz+c= 0 dans ce cas.